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专题 27.2 相似三角形
1.相似三角形的定义：
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
2.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定定理
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
4.相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形对应线段的比等于相似比；
（4）相似三角形周长的比等于相似比；
（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例题1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则
BC等于（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例 ＝ ，即可得出结果．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝6
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
【例题2】如图，l∥l∥l ，直线a、b与l 、l 、l 分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE
1 2 3 1 2 3
＝2，BC＝6，则EF＝ ．
【答案】4
【解析】根据l∥l∥l，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．
1 2 3
解：∵l∥l∥l，
1 2 3
∴ ＝ ，
又AB＝3，DE＝2，BC＝6，
∴EF＝4
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．
【例题3】（2019•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜
子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地
面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【答案】楼的高度OE为32米．
【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴OE＝32
【例题4】已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、
B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．【答案】见解析。
【解析】（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴
（2）证明：
∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE＝ ， ， ，
∴△DEF∽△ABC
同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
【点拨】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可所求．
（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F'一、选择题
1.（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作
PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
B． C． D．
A.
【答案】B．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据
相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝ ＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，解得，CP＝ ，
∴AP＝CA﹣CP＝
2．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【答案】B
【解析】直接利用相似三角形的性质求解．
∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边
形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也
等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
3．如图，在△ABC中，点 D、E分别是 AB、AC的中点，若△ADE的面积为 4，则△ABC的面积为
（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【解析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝ BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16。
4.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点 G，则是相似三角形共有
（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
【解析】图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
共有 6 个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，
△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA
5.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，
AB＝6，AC＝4，则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝3
6.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若
AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．由平行
线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例 ＝ ，即可得出结果．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝6
7.（2019•广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD
＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
【答案】C．
【解析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长
度，以及 ，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出 ＝ ，从而可求
出CD的长度．
设AD＝2x，BD＝x，
∴AB＝3x，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝4， ＝ ，
∵∠ACD＝∠B，
∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴ ＝ ，
设AE＝2y，AC＝3y，
∴ ＝ ，
∴AD＝ y，
∴ ＝ ，
∴CD＝2
8.（2019▪黑龙江哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，
交AD于点N，则下列式子一定正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】D．
【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形
∴易证△BEM∽△BAD∽△END
∴ ＝ ＝ ，A项错误
＝ ，B项错误
＝ ＝ ，C项错误
＝ ＝ ，D项正确。
9. （2019•江苏苏州）如图，在 中，点 为 边上的一点，且 ， ，过点 作
， 交 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A
E
B C
D
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型
易证
即
由题得
解得
的高易得：10.（2019山东枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为
16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形
的判定与性质等知识点．
由 S ＝16.S ＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 S ＝ S ＝ ，S ＝ S ＝8，根据
△ABC △A′EF △A′DE △A′EF △ABD △ABC
△DA′E∽△DAB知（ ）2＝ ，据此求解可得．
∵S ＝16.S ＝9，且AD为BC边的中线，
△ABC △A′EF
∴S ＝ S ＝ ，S ＝ S ＝8，
△A′DE △A′EF △ABD △ABC
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（ ）2＝ ，即（ ）2＝ ，
解得A′D＝3或A′D＝﹣ （舍）。
二、填空题
11.（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC
相交于F，则S ：S 是 ．
△AEF △CBF
【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．
分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
①当AE：ED＝2：3时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，
∴△AEF∽△CBF，
∴S ：S ＝（ ）2＝4：25；
△AEF △CBF
②当AE：ED＝3：2时，
同理可得，S ：S ＝（ ）2＝9：25。
△AEF △CBF
12.（2019•浙江宁波）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．
点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
【答案】6.5或3 ．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝ ＝6 ，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝ ＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，
∴ ，∴ ＝ ，∴AP＝3 ，
∵CD＝5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3 ，
13. 2019黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边
上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，
则CD的长为________．
【答案】3或 .
【解析】在△BDE中，∠B是锐角，∴有两种可能，∠DEB或∠EDB是直角，画出示意图，逐步求解即
可.
如图1，∠DEB是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC= =8,设CD=x，则BD=8-x，
由折叠
知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴ ，即 ，解得x=3;如图2，∠EDB是直角时，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴ ,即 ，解得x= ，综上，
CD的长为3或 .
A A
E
F
E
B B
C D C D
图1 图2
14．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将
△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
【答案】2 ．
【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当
的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．
连接EC，利用矩形的性质，求出 EG，DE的长度，证明 EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证
△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．
如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3 ，∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝ AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝ ×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴ ，
∵EC＝ ＝ ＝3 ，
∴ ，
∴FE＝2
15.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3 ．点P是AD的中点，点E在BC上，CE
＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________．
A P D
B E C
【答案】6．
【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得 BD＝10，然后由“AD＝3AB＝3 ．点P是AD的中点，点E
在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝ ，CE＝2 ，这样由tan∠DEC＝ ；第四步过点P作
PH⊥BD于点H，在BD上依次取点M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合条件的图形；
第五步由△DPH∽△DBA，得 ，即 ，得PH＝ ，于是MN＝4PH＝6，本题答
案为6．
A P D
N
H
M
B E C
16.（2019•山东滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于
点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S ＝4S ；③AC：BD＝
△AOD △OCF
：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④．
【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．
①正确．只要证明EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位线定理即可判断．
②错误．想办法证明BF＝2OF，推出S ＝3S 即可判断．
△BOC △OCF
③正确．设BC＝BE＝EC＝a，求出AC，BD即可判断．
④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，∴∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°，
∵EC平分∠DCB，∴∠ECB＝ ∠DCB＝60°，
∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB是等边三角形，∴EB＝BC，
∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正确，
∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，
∴ ＝ ＝ ，∴OF＝ OB，
∴S ＝S ＝3S ，故②错误，
△AOD △BOC △OCF
设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝ a，OD＝OB＝ ＝ a，
∴BD＝ a，
∴AC：BD＝ a： a＝ ：7，故③正确，
∵OF＝ OB＝ a，
∴BF＝ a，
∴BF2＝ a2，OF•DF＝ a•（ a+ a）＝ a2，
∴BF2＝OF•DF，故④正确，
故答案为①③④．
三、解答题
17.（2019•四川凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．
连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【答案】见解析。
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC的长度是本题的关
键．
证明：（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得 ，可得结论；
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，∴
∴BD2＝AD•CD
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求
MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得 ，即可求MN的长．∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28，∴MC＝2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴ ，且MC＝2∴MN＝
18.（2019年广西梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长
线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．
（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角
形的性质与判定是解题的关键．
（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE∽△FCE，则
，可求出DE长；
∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，
∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，
∵AB＝4，BC＝3，
∴ ＝ ＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，
∴△ADE∽△FCE，∴ ，
设DE＝x，则 ，
解得x＝ ∴ ；
，
（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则 ，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF∥AH，可得
∠AHC＝∠DFC，结论得证．
∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，
∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，
∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，
∴ ，∴ ，∴DG＝ ，
∵DE＝ ，∴ ＝ ，
∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，
又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC．
19.（2019年湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，
连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
【答案】见解析。
【解析】根据平行四边形的性质得到AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证
明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD＝BC，
∴△EBF∽△EAD，
∴ ＝ ＝ ，
∴BF＝ AD＝ BC，
∴BF＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，
∴△FGC∽△DGA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，FG＝2．
20.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
【答案】见解析。
【解析】首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可
得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．首先设CD为x，则AB= x，
OC=OB= x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得： = ，据此求出CB的值是多
少，即可求出⊙O半径是多少．
（1）证明：如图，连接CO，，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x，
则AB= x，OC=OB= x，
∵∠OCD=90°，
∴OD= = = x，
∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴ = ，
即 ，
解得CB=1，
∴AB= = ，
∴⊙O半径是 ．
