文档内容
训练 3 基本不等式
一、单项选择题
1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我
们可用该图证明( )
A．如果a>b，b>c，那么a>c
B．如果a>b>0，那么a2>b2
C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D．如果a>b，c>0那么ac>bc
答案 C
解析 可将直角三角形的两直角边长记作a，b，斜边长为c(c2＝a2＋b2)．则外围的正方形的
面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为 2ab.故对任意正实数
a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．
2．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为( )
A．2 B．3 C. D．4
答案 B
解析 因为a，b为正实数，所以
a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3，
当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立．
3．(2023·苏州模拟)设a，b是正实数，以下不等式恒成立的为( )
A.>
B．ab＋>9
C．a2＋b2>4ab－3b2
D．a>|a－b|－b
答案 D
解析 对于A，因为a，b是正实数，所以a＋b≥2，则1≥，可得到≥，当且仅当a＝b时等
号成立，故A错误；
对于B，因为a，b是正实数，所以ab＋≥2＝2，当且仅当ab＝，即ab＝时取等号，故B错
误；
对于C，a2＋b2－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，当且仅当a＝2b时取等号，故C
错误；对于D，a＋b>|a－b|，则a>|a－b|－b恒成立，故D正确．
4．已知x>0，x>0，x＋x1 B．x＋x<1
1 2 1 2
C.＋< D.＋>
答案 A
解析 由题意得＝＋
＝＋>1.
1 2
二、多项选择题
5．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是( )
A．a2＋b2的最小值为
B．ab的最大值为
C．4a2＋b2的最小值为4
D.＋的最小值为＋
答案 BD
解析 由题意得，a>0，b＝2－2a>0，
从而00，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说
法正确的是( )
A．ab≥ B．ab≤
C.＋≥4 D.2≤答案 BCD
解析 因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，
即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以ab≤＝，即A错误，B正确；
因为a2＋b2＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4
，即C正确；
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以2＝≤＝
(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．
三、填空题
7．若对∀1≤x≤4，不等式 x2－(a＋2)x＋4≥－a－1 恒成立，则实数 a 的取值范围为
________．
答案 {a|a≤4}
解析 对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，
即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．
当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R；
当1
