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专题 27.2 相似三角形的判定与性质
1.理解相似三角形的判定定理，会选择恰当的方法判定两个三角形相似；
2.理解相似三角形的性质定理，会利用性质定理解决问题；
3.能运用相似三角形的知识求出不能测量的物体的长度和高度问题，利用图相关的相似解决一些简单的实
际问题
一、相似三角形的相关概念
在 和 中，如果 ， ，我们就说
与 相似，记作 ， 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ，则说明点 的对
应点是 ，点 的对应点是 ，点 的对应点是 ；②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三
角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
二、相似三角形的判定
1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相
似；
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边
的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：
5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若
有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似
三、相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ，则
由比例性质可得：
A A
B C
B C
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二， ，则 分别作出 与 的高 和 ，
1 1
BCAD kBCkAD
S △ABC 2 2 =k2
S 1 1
△ABC BCAD BCAD
2 2
则
A A
B D C
B D C
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
考点01根据图形数据判断三角形相似
例1．如图， 中， ．将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与
原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形
相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中， 的两边分别为 ，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角
形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
变式1-1．已知在 中， ， ， ，下列阴影部分的三角形与原 不相似的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原 相似，故选
项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原 相似，故选项B符合题
意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原 相似，故选项C不符合题
意；D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
变式1-2．如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是 ， ， ，若按图中标
注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据“两边对应成比例及其相等的两三角形相似”进行逐一判定
即可求解，找出对应边是解题的关键．
【详解】解：A.因为 ， ，所以两三角形相似，故不合题意；
B.因为 ， ，所以两三角形相似，故不合题意；
C.因为 ， ，所以两三角形相似，故不合题意；
D.因为 或 ， ，所以两三角形不相似，故合题意；
故选：D．
变式1-3．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题先计
算出各三角形的三边，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断．
【详解】解：已知三角形的三边长为 ， ， ，
A选项中的三角形的三边长为2， ， ，
因为 ，不符合题意；
B选项中的三角形的三边长为2，4， ，
因为 ，
所以B选项中的三角形与已知三角形相似；
C选项中的三角形的三边长为2，3， ，
因为 ，不符合题意；
D选项中的三角形的三边长为 ， ，4， ，不符合题意．
故选：B．
考点02补充条件使两个三角形相似
例2．如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角
形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三
角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据 求出 ，再根据相似
三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
添加 ，可用两角法判定 ；
添加 ，可用两角法判定 ；
添加 ，可用两边及其夹角法判定 ；
若添加 ，而夹角不一定相等，不能判定 ；
观察四个选项，C符合题意，
故选：C．
变式2-1．如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定 的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据 得到 ，结合相似三角形判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时，不能得到相似，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．
变式2-2．如图，在 中，D，E分别是 ， 上的点，请你添加一个条件 ，使得
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查相似三角形的判定，由条件可知 和 有公共角，根据三角形相似的判定方法
可再添加一组角对应相等，或添加 和 的两边对应成比例，即可使得 ．
【详解】解：在 和 中， ，
添加一组对应角相等可得 ，添加条件为： ，或 ；
添加 和 的两边对应成比例，可得 ，添加条件为 ，
添加 ，可证 ， ，也可得 ；
因此添加的条件可以是： 或 或 或 ．
故答案为： （答案不唯一）．
变式2-3．如图，在正方形 中，E是边 的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定
，还需添加的一个条件是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理和正方形的性质。
由于 与 都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相
等，则当 时能得到 ，即可得到 ．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 与 都是直角三角形，
∴当 时能得到 ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
故答案为：
考点03证明相似三角形
例3．如图，点 是平行四边形 的边 延长线上一点，连接 ，交 于点 ．写出图中任意一
对相似三角形，并说明理由．
【答案】有三对三角形相似，它们是： ； ； ，理由见解析．
【分析】本题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质及相似三角形的判定
定理求解即可．
【详解】解：① ，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
② ，理由如下：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴
③ ，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
综上所述有三对三角形相似，它们是： ．
变式3-1．已知：如图，在 中，D、E分别在边 上，连接 ， ， ， ，
，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
变式3-2．如图，在 中， ， ，点D，E分别是 ， 上的点，且
，求证： .【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据 ，结合外角定理可得 ，即可证明
；
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
变式3-3．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，点 是边 上一点， 于点
，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定；过点O作 ，
交 于点M，先证明 ，得出 ，从而证出 ，再根据
，即可证出结论．
【详解】证明：过点O作 ，交 于点M，，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
考点04利用相似三角形的性质求线段
例4．如图，菱形 ，点M，N在AC上， ， ．若 ， ，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角可得
，然后求出 和 相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．
【详解】如图， 在菱形 中， ，
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
故选B．
变式4-1．如图，在 中， ， ， ， ．求 的长．
【答案】 ．
【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用．
变式4-2．如图，已知 是 的直径，C是 上一点， ，垂足为D，连接 ，过点A作
的切线与 的延长线相交于点E．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为4， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和，垂径定理等相关的知识点，
掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和即可得到 ；
（2）利用相似三角形的判定与性质得到 的长，再利用勾股定理即可得到 的长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图，
在 中， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
．
变式4-3．如图，已知矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点B落在 边上的P点
处．已知折痕与边 相交于点O，连接 ， ， ．
(1)求证： ．
(2)若 与 的面积比为 ，求边 的长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和
性质是解题关键．
（1）由矩形和折叠的性质求出 ， ，即可证明 ；（2）由相似三角形的性质可得出 ，即可求出 ．设 ，则 ，再根
据勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出 ，进而可求 ，最后由
求解即可．
【详解】（1）∵四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠的性质可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
设 ，则 ，
由折叠可知 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
考点05利用相似三角形的性质求面积、周长
例5．如图，四边形 中，对角线 和 相交于点 ， ， （字母“ ”表示面积），则 的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，过点C作 交 延长线于点F，过点E作
，交 于点H，根据 ，得到 ，进而得到 ，即 ，根
据 ，易得 ，即可得出结果．
【详解】解：如图，过点C作 交 延长线于点F，过点E作 ，交 于点H，
，
，
，即 ，
，
，
中 边上的高和 中 边上的高之比为 ，
，
故选：C．变式5-1．如图， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
变式5-2．已知两个相似三角形的周长比为 ，那么这两个相似三角形的面积比为 ．
【答案】 /
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解．本题主要考查相似三角
形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为 ，
∴相似比为 ，
∴这两个相似三角形的面积比为 ，
故答案为： ．
变式5-3．如图，在 中， 是高，矩形 的顶点 、 分别在 、 上， 在 上，交 于点 ．设 ， ， ，求矩形 的面积．
【答案】矩形 的面积为180．
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定和矩形的性质，因为 ，可设 ， ，
再利用相似比求得 ，即可解题．
【详解】解： ，设 ， ，
四边形 矩形，
，
，
，
交 于 ，
， ，
， ，
，解得 ，则 ， ，
矩形 的面积为 ．
考点06利用相似求坐标
例6．如图，点 的坐标分别是 ，如果以点 为顶点的直角三角
形与 相似，则 点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相
等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在 中， ， ，则 是等腰直角三角形，
，
①、当点 的坐标为 时， ， ，则 ，故符合题意；
②、当点 的坐标为 时， ， ，则 ，故符合题意；
③、当点 的坐标为 时， ， ，则 ，故符合题意；
④、当点 的坐标为 时， ， ，则 ，故符合题意；
故选：D．
变式6-1．已知直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，且两直线的夹角为 ，则点 的坐
标为 ．
【答案】 或【分析】根据直线 恒经过点 ，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角
形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解．
【详解】解：∵直线 ，即恒过点 ，
当 时，过点 作 轴交 于点 ，点 作 轴交 于点 ，点 作 交 于点 ，过
点 作 轴交 于点 ，如图：
∵ ，故 ， ，
在 中， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ，
解得 ， ，
∵两直线的夹角为 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∵点 到 轴的距离为1，故点 到 轴的距离为 ，
点 到 轴的距离为2，故点 到 轴的距离为 ，
即点 的纵坐标为 ，点 的横坐标为 ，
故 ；
当 时，过点 作 轴交 于点 ，点 作 轴交 于点 ，点 作 交 于点 ，过
点 作 交 于点 ，如图：∵ ，故 ， ，
在 中， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
解得 ， ，
∵两直线的夹角为 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故 ，∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∵点 到 轴的距离为1，故点 到 轴的距离为 ，
点 到 轴的距离为2，故点 到 轴的距离为 ，
即点 的纵坐标为 ，点 的横坐标为 ，
故 ；
综上，点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式6-2．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，将 绕点O顺时针
旋转得到 ，使点A的对应点 在线段 上，连接 ，则
（1） 与 的位置关系是 ；
（2）求点 的坐标是 ．
【答案】 平行【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可．
（2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等
角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可．
【详解】（1）如图所示，延长 至H，使得 ，连接
绕点O顺时针旋转得到 ，使点A的对应点 在线段 上
， ，
，
那么在 和 中
(SAS)
，
那么在 和 中
(SAS)
三点共线（2）如图所示，过 作 于M，过 作 于N
，
设AB所在直线解析式为
带入 ，
，解得
设
在 中，
，解得故答案为：平行；
【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，
解题关键是构造一线三等角的相似来求解．
变式6-3．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．若a，b
的值是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ．
(1)直接写出 ___________， ___________
(2)若点P在y轴上，且 ，求点P的坐标．
【答案】(1)2，3
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先求出 的长，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）解： ，
因式分解，得 ，
解得 或 ，
的值是关于 的一元二次方程 的两个根，且 ，
，
故答案为：2，3．
（2）解：由（1）可知， ，
，
，
， ，
，
解得 ，
又 ，且点 在 轴上，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关
键．
考点07多结论问题
例7．如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 与 、
分别交于点 ．对于下列结论：① ；② ；③ ；
④ ．其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定．
①由等腰 和等腰 三边关系可证；②通过等积式倒推可知，证明 即可；③
转化为 ，证明 ，问题可证；④根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：由已知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
所以①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以②正确；
由② ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
所以③正确；
设 与 相交于O，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
所以④正确，
综上，正确的结论共有4个，
故选：D．
变式7-1．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 ， ，
连接 、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】①②④⑤
【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得 ，故①正确；通过证明
，可得 ，可求 ，可证 ，故⑤④正确；由相似三角形的性质可得 ，故③错误，根据 ，得 ，
是等边三角形， ， ，得 ，所以 ②正确；即可求解．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，故①正确；
是等边三角形，
， ，
四边形 是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在 中，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，
， ，
而 ，
，故⑤正确；
，
，
，，
又 ，
，故④正确；
，
，
，
，
，
，故③错误，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角
形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
变式7-2．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 的延长线分别交 于点 ，连
接 与 相交于点H，给出下列结论：其中正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性
质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型；
①正确利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；
②根据 平行得出 ，再根据 ， ，
得出 即可判断；
③通过 ， 得出 与 不相似，即可判断；
④证明 ，利用相似三角形的性质即可证明；【详解】∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，故②正确，
∵ ，
∴ 与 不相似，故③错误，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
故选：C．
变式7-3．如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边
与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ，有以下五个结论：① ；②
；③A、F、C三点共线；④若 ，则 ．你认为其中正确的是
．（填写序号）【答案】①②③
【分析】①由正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得出 ，再根据角的和差
即可得证；
②根据等腰直角三角形的性质可得出 ，从而得证；
③连接 ，根据正方形的性质得出 ，再根据相似三角形的性质即可证得 ，从而得出结
论；
④根据设 ，可设 ， ，根据勾股定理得出 ，易证 ，然
后根据相似三角形的性质可得出 、 的值，再求比即可得出答案．
【详解】解：①∵正方形 和正方形 ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
∴①正确，符合题意；
②∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴②正确，符合题意；
③连接四边形 为正方形， 、 为对角线
∵ ，
∴ ，
∴ ；
A、F、C三点共线；
∴③正确，符合题意；
④∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理知：
，
，
∴ ，
∴④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、正方形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
考点08网格中的相似三角形
例8．如图，在由小正方形组成的方格纸中， 和 的顶点均在格点上，要使 ，
则点 所在的格点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等
的两个三角形相似)即可判断．
【详解】解： 中， 是正方形的对角线，
∴ ，且 ， ，
即 ，
要使 ，
则 ，
观察图形，只有 是正方形的对角线，即 ，
且 ， ，
即 ，
∴点 符合题意，
故选：A．
变式8-1．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点 都是格点．仅
用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图1中，在边 上取一点 ，作出 的中线 ；
(2)在图2中，在边 上取一点 ，使得 ；
(3)在图3中，在线段 上取一点 ，在线段 上取一点 ，连结 使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、勾股定理，中线的定义及相似三角形的性质
是解题的关键；
（1）根据网格线的特征中线的定义作图；
（2）根据网格线的特征作图；
（3）根据网格线的特征和相似三角形的性质作图；
【详解】（1）如图， 即为中线；
（2）如图， ，点 ，即可使得 ；
（3）如图3和4，在线段 上取一点 ，在线段 上取一点 ，连结 使得 ；
如图3，可得 ，
；
如图4，可得 ，
．变式8-2．校考阶段练习）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段
的端点在格点上，且 ．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中依次完成下列画图，保留
连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)作 ，使线段 ，线段 ；
(2)C为线段 的中点，画 ；
(3)选择适当的格点E，作 ；
(4)若 与 交于点F，则 的比（值）为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查了勾股定理以及利用相似变换作图，解题关键是熟练理解掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理即可得出点B的位置；
（2）依据相似三角形的判定，即可得到格点D的位置；
（3）根据等腰直角三角形的底角等于 ，即可得到格点E的位置；
（4）证明 可求出 ， ，再证 即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；， ；
（2）解：如图， 即为所求，
， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图， 即为所求，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
变式8-3．已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
图1 图2
(1)在图1中画 ，使得 ，且相似比为 ．
(2)在图2中画 ，使得 ，且面积比为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）本题主要考查了相似作图，画出所有对应边为原来两倍的三角形即可；根据题意得出对应边的长是解题关键；
（2）本题主要考查了根据三角形的面积作图，由面积的比得两三角形相似比为 ，画出所有对应边为
原来 倍的三角形即可．
【详解】（1）解：如图： 即为所求．
（不唯一）
（2）解：如图： 即为所求．
（不唯一）
考点09相似三角形的应用举例
例9．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触
到容器口边缘．图2是此时的示意图，若 ， ，水面 离桌面的高度为 ，则此时
点C离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线 ，垂足为点M，交 于点N；过点B作桌面的垂线 ，垂足为点P；根据题意易得 ，通过证
明 ，求出 ，再根据勾股定理求出 ，最后根据 ，
即可求解．
【详解】解：过点C作桌面的垂线 ，垂足为点M，交 于点N；过点B作桌面的垂线 ，垂足为点
P，
∵水面 离桌面的高度为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
即此时点C离桌面的高度为 ．
故选：C．
变式9-1．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， 和CB相交于点O，点
A，B之间的距离为 米， ，根据图2中的数据可得C，D之间的距离为 米．【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
本题根据相似三角形对应高的比等于相似比，建立方程即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
变式9-2．如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高 的竹竿 直立在离旗杆
的点 处（即 ），然后走到点 处，这时目测到旗杆顶部 与竹竿顶部 恰好在同一
直线上，又测得 两点间的距离为 ，小刚的目高（眼睛到地面的距离） 为 ，且
，点 在同一水平直线上，求旗杆 的高度．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用．设 ，过 作 于点 ，交 于点 ，证明
，列出比例式进行求解即可．解题的关键是构造相似三角形．【详解】解：设 ，过 作 于点 ，交 于点 （如图），
则四边形 和四边形 均为矩形，
，
．
，
，
，即 ，
，
旗杆 的高度为 ．
变式9-3．学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑 的
高度（如图1）．如图2，在地面 上取 两点，分别竖立两根高为 的标杆 和 ，两标杆间
隔 为 ，并且古建筑 ，标杆 和 在同一竖直平面内，从标杆 后退 到 处，从 处
观察 点， 三点成一线；从标杆 后退 到 处，从 处观察 点， 三点也成一线．
请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【答案】该古建筑的高度为 米
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得： ， ， ，从
而得到 ，进而得到 ， ，由相似三角形的性质可得 ，，由 得出 ，求出 的长，即可得解，熟练掌握相似三角形的判定
与性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得： ， ， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
解得： ，
，
，
该古建筑的高度为 米．
考点10相似三角形的动点问题
例10．如图，在 中， ， ，动点 从 点出发到 点止，动点 从 点出发到
点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 ， 两点同时出发，则当以点 ， ，
为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：① 与 对应；②
与 对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：根据题意，点 从点 到点 的时间为 ；点 从点 到点 的时间为 ，
如果两点同时运动，设运动 秒时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，
则 ．①当D与B对应时，有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 与 对应时，有 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故当以点 、 、 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是 或 ，符合题意，
故答案为： 或 ．
变式10-1．如图，在 中， ， 于点D， ．点M从点A出发，沿
方向匀速运动，速度为 ；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为 ，运动
过程中始终保持 ．直线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．设运动时间
为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)设四边形 的面积为 ，求y与t之间的函数关系式：
(3)是否存在某一时刻t，使 若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，
【分析】（1）由平行四边形对边平行可得，四边形 是平行四边形时 ，根据相似三角形
对应边成比例可得 ，结合 ，可得 ，结合运动方式即可求解；
（2）四边形 为梯形，先证 ，根据相似三角形相似比等于高的比可求出 ，再用含
的代数式表示出梯形的上下底即可；
（3）先根据三角形面积公式求出 ，再根据 ，得出
，代入（2）所求的函数关系式，得出 ，解此方程即可求解．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形时， ，
在 中， ，
， ，
，
，
，
，
由运动方式可知 ， ，
，
，
即当 时，四边形 是平行四边形；
（2）解： ，
， ，
，
中， ，即 是等腰三角形，也是等腰三角形， ，
，
，即 ，
解得 ，
，
又 ，
，
即 与 之间的函数关系式为 ；
（3）解：∵
∴当
由（2）知
∴
化简整理，得
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴存在，当 时，使 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，一元
二次方程的应用．求出二次函数解析式是解题的关键．
变式10-2．如图，在 中， ， ， ．点 从 点出发沿 向 点运动，
速度为每秒 ，同时点 从 点出发沿 向 点运动，速度为每秒 ，当点 到达顶点 时， 、
同时停止运动，设 点运动时间为 秒．(1)当 为何值时， 是以 为顶角的等腰三角形？
(2)当 为何值时， 的面积为 ？
(3)当 为何值时， 与 相似？
【答案】(1)
(2)
(3) 或 时， 与 相似
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）勾股定理求得 ，由题意 ， ， ， ，根据 是以
为顶角的等腰三角形，则 ，列出方程，解方程，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，证明 得出 ，根据三角形的面积公
式建立方程，解方程，即可求解；
（3）分类讨论，当 时， ，当 时， ，分别列出比例
式，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
由题意 ， ， ，
∵ 是以 为顶角的等腰三角形，∴ ，
∴ ，
解得 ．
（2）过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
（3）当 时， ，
∴ ，
解得： ．
当 时， ，
∴ ，
解得： ．
综上所述 或 时， 与 相似．变式10-3．如图1，在等腰三角形 中， ， ，有两动点P、Q分别在边 、
上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时
出发，点P沿线段 按 方向向终点B运动，点Q沿线段 按 方向向终点C运动，当其中
一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
(1)如图1，当t为何值时， ；
(2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与 相似；
(3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得 的面积等于4？若存在，请求出 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）根据平行线的性质判定 ，得到 ，表示出 ， ，代入
比例式，解方程即可；
（2）分 和 分别讨论即可；
（3）过P作 ，垂足为D，作 边上的高 ，利用三线合一和勾股定理求出 ，证明，得到 ，表示出 ，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
当 时， ；
（2）∵ ， ， ，
∴当 时，
同（1）可得： ；
当 时，
，即 ，
解得： ；
综上：当 或 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与 相似；
（3）存在，理由是：
如图，过P作 ，垂足为D，作 边上的高 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时， ，故不合题意，
∴ ，即存在 ，使得 的面积等于4．
【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元
二次方程，分类讨论．
考点11相似三角形的判定与性质的综合
例11．如图，在 中，连接 ，点 是 上一点， ，连接 交 于点 ，若
，则四边形 的面积是 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知
识点．先根据平行四边形的性质得 ， ，由 得 ，证明
得 ，进而得到 ， 的面积，即可得 的面积，再根据平行四边形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：11．
变式11-1．将三角形纸片 按如图所示的方式折叠，使点 落在边 上，记为点 ，折痕为 ，
已知 ， ．若以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，则 的长度是 ．
【答案】 或2
【分析】本题考查折叠的性质，三角形相似的判定和性质．利用分类讨论的思想是解题关键．结合折叠的性质可设 ，则 ．分类讨论：①当 时，此时 ，得出
，代入数据，即得出关于x的方程，解之即可；②当 时，此时 ，
同理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知 ，
设 ，则 ．
∵ ，
∴可分类讨论：①当 时，则此时 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴此时 的长度是 ；
②当 时，则此时 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴此时 的长度是2．
故答案为： 或2．
变式11-2．如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点 在边 上，以 为圆
心的圆经过 ， 两点， 交 于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．【分析】（ ）连接 ，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性
质和圆的切线的判定定理解答即可；
（ ）利用相似三角形的判定与性质得到 ，利用勾股定理求得 的长，再利用相似
三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线
的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的根据．
变式11-3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别是 上的两点，连接 ， ，则 的
值为______；
(2)如图2，在矩形 中， ， ，点E是 上的一点，连接 ， ，且 ，则
的值为______；(3)如图2，在矩形 中，若 ．点E是 上的一点，连接 ，且 ，点E是否为
的中点？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）设 与 的交点为 ，利用 证明 ，得 ；
（2）利用两个角相等证明 ，得 ；
（3）设 ，则 ，利用两个角相等证明 ，得 解题即可；
【详解】（1）设 与 的交点为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，∴ ，
，
故答案为: ；
（2）如图 , 设 与 交于点 ,
∵四边形 是矩形,
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
故答案为： ；
（3） ，理由为：
设 ，则 ，
如图 , 设 与 交于点 ,∵四边形 是矩形,
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的
性质．采用类比的数学思想方法是解题的关键．
基础过关练
1．如图，D是 中边 上一点，添加一个条件后，仍不能使 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、当 时，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
B、当 时，再由 ,可得出 ，故此选项不合题意；
C、当 时,无法得出 ，故此选项符合题意；
D、当 时，即 ，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
故选：C.
2．如图，四边形 ∽四边形 ，则下列角的度数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和；
根据相似多边形的对应角相等，四边形的内角和是 逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形 ∽四边形 ，
∴ ， ， ，
，
故选：A．
3．如图， 中， ， ， ， ，点 是边 上的一个动点，连接 ，
当 是直角三角形时， 的值是（ ）A．2或 B． C．3或 D．3
【答案】A
【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出 ，分两种情况：① ，根据相似三角形的性
质和判定求出 ，求出 ；② ，根据相似三角形的性质和判定求出 ，求出 即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
当 时，
， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ；
综上： 的值是2或 ，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意
的所有情况是解此题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， 的圆心为点 ，半径为1．若 是
上的一个动点，线段 与 轴交于点 ，则 面积的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：由题意可得当
与 相切时， 面积最大，然后连接 ，由切线的性质，根据勾股定理，可求得 的长，易
证得 ，根据相似三角形的对应边成比例，易求得 的长，继而求得 面积的最大值．
【详解】解：由图可知：当 与 相切时， 面积最大，
连接 ，则 ，
， ， 的圆心为点 ，半径为1，
， ，
，
， ，
，
，
即 ，
，
，
．
故选：C．
5．如图， 中，D、E分别是 边上一点，连接 ．请你添加一个条件，使 ，
则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ．
故答案为： （答案不唯一）．
6．如图， 的中线 和中线 相交于点G，如果 ，那么图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相
等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 是解题的关键．根据三角形的中线把
三角形的面积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 ，即可得出结果．
【详解】解：连接 并延长交 于 ，则 为 的中线，
的三条中线 、 ， 交于点 ，
， ，
，
， ，
．
故答案为：4．
7．如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联
结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）【答案】见解析
【分析】利用相似三角形的判定方法——“两组对边成比例且夹角相等”作图即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则 ， ， ，
利用格点作 ，
若△DEF与△ACB相似，则 ，
即 ，
解得 ，
因此在DF上取点D使得 即可．
如图所示，△DEF与△ACB相似．
【点睛】本题主要考查画相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的顶点D在反比例函数 （x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为 ．
【答案】－12
【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，
最后根据AB∥OE，得出 ，即BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．
【详解】解：设D（a，b），则CO=-a，CD=AB=b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y= （x＜0）的图象上，
∴k=ab，
∵△BCE的面积是6，
∴ ×BC×OE=6，即BC×OE=12，
∵AB OE，
∴ ，即BC•EO=AB•CO，
∴12=b×（-a），即ab=-12，
∴k=-12，
故答案为：-12．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合
应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在
一起，体现了数形结合的思想方法．
9．如图，已知 ，求证： ．【答案】证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只
需再证一角相等即可；由等式的性质得出 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
10．如图，在 中， ，点D在 上， 于点E．
(1)求证： ；
(2) ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：
（1）由 得到 ，然后得到 ；
（2）利用勾股定理求出 ，根据相似三角形的性质得到 ，代入已知数据可得结果．
【详解】（1）解：证明： 于点 ， ，
，
，；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
，
，即 ，
∴ ．
11．如图，在 的网格中，请按要求作图．
(1)在图1中画出线段 绕点 顺时针旋转 后的线段 ；
(2)图2中在 上作点 ，使 ．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转作图和相似三角形的性质的应用：
（1）利用旋转变换的性质作出点A的对应点 ，连接 即可；
（2）构造相似比为 的相似三角形即可解决问题
【详解】（1）如图所示，线段 即为所作，
（2）如图所示，点P即为扎作，12．如图，在 中， ， ．点 分别从 同时出发，沿 分别向
终点 移动．己知点 移动端的速度分别为 ．设 两点移动的时间为 ，当以
为顶点的三角形与 相似时，求 的值．
【答案】 的值为 或 时，以 为顶点的三角形与 相似
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握以判定方法及性质是解题的关键，根据相似三角形
的判定方法，分类讨论，① ；② ；结合相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：点 从 的运动时间为 ，点 从 的运动时间为 ，根据题意
可得， ，则 ， ，则 ，
以 为顶点的三角形与 相似，分类讨论，
① ，
∴ ，即 ，解得， ，
∵ ，
∴运动时间为 时，以 为顶点的三角形与 相似；
② ，
∴ ，即 ，解得， ，
∵ ，
∴运动时间为 时，以 为顶点的三角形与 相似；综上所述， 的值为 或 时，以 为顶点的三角形与 相似．
能力提升练
1．在 中， ，用直尺和圆规在边 上确定一点 ，使 ，根据作图痕迹
判断，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图—作角平分线、尺规作图—作垂线、直角三角形两
锐角互余等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．
根据 ，可得 ，即 是 的垂线，根据作图痕迹判断即可获得答案．
【详解】解：当 是 的垂线时，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
根据作图痕迹可知，
A选项中， 是 的角平分线， 不一定与 垂直，不符合题意；
B选项中， 是 的中线， 不一定与 垂直，不符合题意；
C选项中， 是 的垂线，符合题意；D选项中， 不与 垂直，不符合题意．
故选：C．
2．如图1，正方形纸片 的边长为2，翻折 ，使两个直角的顶点重合于对角线 上一
点 分别是折痕（如图2）．设 ，给出下列判断：①当 时，点 是正方形
的中心；②当 时， ；③当 时，六边形 面积的最大值是3；④
当 时，六边形 周长的值不变．其中正确的选项是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】①由折叠的性质可知， 和 是等腰直角三角形，由此即可判断①的正误；
②由折叠的性质可知， ，得出 ，同理 ，则可判断②的正误；
③利用六边形 面积 正方形 的面积 的面积 的面积得到函数关系式，从而即
可确定最大值；
④利用六边形 的周长为 即可判断④的正误．
【详解】解：正方形纸片 ，翻折 ，使两个直角顶点重合于对角线 上一点 ，
∴ 和 是等腰直角三角形，
∴当 时，重合点P是 的中点，
∴点P是正方形 的中心，故①正确；
正方形纸片 ，翻折 ，使两个直角顶点重合于对角线 上一点 ，
∴ ，
，
，，
即 ，
．
同理， ．
，故②错误；
六边形 面积 正方形 的面积 的面积 的面积，
∵ ，
∴六边形 面积为：
，
∴六边形 面积的最大值为3，故③正确；
当 时，
，
六边形 的周长为
，故④正确；
∴正确的是①③④，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，掌握折
叠的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质是解题的关键．
3．如图，将等边 折叠，点 落在 边上的点 处，折痕交 于 ，交 于 ．若 ，，则 的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】首先由翻折性质得到 ，所以 ，再利用一线三等角证明出
，设 ， ，则 ，最后根据相似三角形对应
边的比相等计算出 的长即可解答．
【详解】∵ 边长为4，
∴ ，
∵由翻折性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则
∴ ，
解得：∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的两个图形全等，等边三角形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与
性质，解二元一次方程组；解题关键是利用一线三等角证明三角形相似．
4．如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点（不与点A， 重合），
连接 ， ．若 ，则 的值是 ．
【答案】2或 4/4或2
【分析】根据矩形的性质，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
， ，
∴ ，
或4．
【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，解一元二次方程等知识，解
决问题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型．
5．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同
一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度 ，淇淇与镜子的水平距离 ，镜子与旗杆的水平距离 ．
（1） 与 是否似？ （填“是”或“否”）；
（2）旗杆高度 为 ．
【答案】 是 8
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性
质.
（1）根据镜面反射性质，可求出 ，再利用垂直证 ；
（2）根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：（1）如图所示，作 ，
由图可知， ， ，
.
根据镜面的反射性质，
∴ ，
∴ ，
，
，
故答案为：是；
（2） ，
.， ， ，
.
.
故答案为：8.
6．如图是一张矩形纸片 ，在 上任意取一点 ，将 沿 折叠，若点 恰
好落在对角线 上的点 处， ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，设 交于F，由
矩形的性质可得 ， ，利用勾股定理求出 ，
设 ，则 ，由折叠的性质可得 ，里面面积法求出 ，
则 ，证明 ，得到 ，即 ，解方程即可得到答
案．
【详解】解：设 交于F，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
故答案为： ．
7．在平面直角坐标系中，已知 ，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动；
点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．如果 同时出发，用 表示移动的时间，
(1)用含 的代数式表示：线段 ； ．
(2)当 为何值时 的面积为 ？
(3)当 与 相似时，求出 的值．
【答案】(1)
(2)当 或3时，三角形 的面积为
(3)当 或1时， 与 相似
【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质，
（1）由运动知， 得出结论；
（2）根据 的面积为 ，建立方程 ，解方程即可求出答案；
（3）分 或 两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）由运动知， ，
故答案为： ；
（2）由（1）知， ，
的面积为 ，
，或3，
当 或3时，三角形 的面积为 ．
（3） 与 相似， ，
或 ，
或 ，
当 ，则 ，
，
当 时，则 ，
，
当 或1时， 与 相似．
8．如图，点 是正方形 的对角线 延长线上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，
连接 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若正方形 的边长为 ，点 为 的中点，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 是正方形 的对角线得到 ，
，结合三角形内外角关系即可得到 ，根据 绕点B顺时针旋转 至 ，
得到 ， ，即可得到 ， ，即可得到证明；（2）根据中点得到 ，由（1）得 ，即可得到 ，即可得到 ，
进而勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是正方形 的对角线，
∴ ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ 绕点B顺时针旋转 至 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵正方形 的边长为 ，点 为 的中点，
∴ ，
由（1）得，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
过点 作 于点 ，如图所示，
∵
∴ 是等腰直角三角形，则
在 中，∴
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，同角余角相等及三角形内角和定理,勾股定理，等腰三角形的
性质与判定，解题的关键是根据题意找到判断三角形相似的条件．
