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专题 03 轴对称十大重难题型
实战训练
一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）
1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点
三角形共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC
成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．
二．轴对称的性质
3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若
∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为 （用含n的式子表示）．
4．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P 关于OA对称，点P与点P 关于OB对称，OP
1 2
＝8，∠AOB＝45°，则△OP P 的面积为 ．
1 2
三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线
5．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N
的距离分别相等（保留作图痕迹）．
7．线段的垂直平分线的性质1：
线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离 ．
如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，
（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，
不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为 cm．
8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和
△ABC关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．
（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．9．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（4，﹣1），C
（3，1）．
（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标．
四．坐标的轴对称
10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．1 B．−1 C．5 D．﹣5
11．已知点P （﹣1，﹣2）和P （a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
1 2
A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2021
12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N
的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：
（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；
（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．
14．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k
阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
3 1
A．﹣2 B．− C．0 D．−
2 2
五．格点等腰三角形
15．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为
顶点的等腰三角形有 个．
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点 A、B是两格点，若点C也是图中
的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为 1，点A，B均在格点上，
在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰
三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 ；满足条件的点C一共有 个．
六．规律类--坐标与图形的变化
18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，
3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（2022，2） B．（2022，﹣2） C．（2020，2） D．（2020，﹣2）
19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A 、A 、
1 2
A 、A …A 的位置上，则点A 的坐标为
3 4 2020 2020
（ ）
A．（2019，0） B．（2019，1） C．（2020，0） D．（2020，1）
20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，
2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
七．等腰三角形判定与性质
21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作
DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为 ．22．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，
1 1
下列结论中：①CP⊥CD；②∠P= ∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°− ∠A；⑤PD∥AC．
2 2
其中正确的结论是 （直接填写序号）．
23．Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EO∥AB，
FO∥AC，若S△ABC ＝32，则△OEF的周长为 ．
24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于
点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的
中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有 ．（只填序号）
八．等边三角形的判定与性质
25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝
．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段
AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
九．直角三角形斜中线的灵活运用。
28．如图，Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D 是 AB 上一点（不与 A、B 重合），
DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．29．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．
如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．
相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．
下面让我们用演绎推理证明这一猜想．
1
已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD= AB．
2
定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半”的证明．
定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边
上的中线，DG垂直平分CE．求证：∠B＝2∠BCE；
（2）在（1）条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD．当△DEF是等边三角形，且BD
＝3时，△DEF的周长为 ．
十．度数的妙用--直角中的30°
30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，E是AC的中点，DE⊥AC交AB于D，连接
CD．若AD＝8，BD的长等于 ．31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 ．
