第二十七章相似[教学设计]_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_课件+教案_第二十七章相似（章末复习课件+教学设计+预习导学）

相似章末复习 教学目标 1．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比． 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 3．了解相似三角形的判定定理及证明．了解相似三角形的性质定理． 4．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． 5．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 教学重点 了解相似三角形的判定和性质，并能利用它们解决问题． 教学难点 熟练地应用图形的相似解决实际问题． 教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！ 1．相似三角形有哪些性质？位似图形呢？ 2．三角形的相似与三角形的全等有什么关系？如何判断两个三角形相似？ 3．举例说明三角形相似的一些应用． 4．如何利用位似将一个图形放大或缩小？你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的 异同，并举出一些它们的实际应用的例子吗？ 【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识，通过学生回答， 检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力． 要点复习 考点一 相似多边形 【例1】在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下． 甲：将边长为3，4，5的三角形按图①中的方式向外扩张，得到新三角形．它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间 距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师讲评． 【答案】A 【解析】图①中两个三角形的三组角分别对应相等，两个三角形一定相似； 图②中的两个矩形，虽然四组角分别对应相等，但较短边之比与较长边之比不相等， 两个矩形一定不相似．只有同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”这两个条件的矩 形才是相似矩形． 【特别提醒】相似三角形的判定方法比较多，但判定两个多边形相似时，只能按照定 义，从边和角两个方面分别论证． 【设计意图】通过例1，考查学生是否能判定两个多边形相似，加深学生对相似多边 形的理解． 【跟踪训练1】如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结 论正确的是（ ）． A．∠B＝2∠K B．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长 C．BC＝2HI D．S ＝2S 六边形ABCDEF 六边形GHIJKL【答案】C 【解析】∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，且相似比为2∶1， ∴∠B＝∠H，BC＝2HI，六边形ABCDEF和六边形GHIJKL的周长比为2∶1，面积比 为4∶1，故选项A，B，D错误，选项C正确． 考点二 相似三角形的判定 【例2】如图，已知AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE．求证△ABC∽△AFG． 【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评． 【答案】证明：AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE． ∴∠B＝∠ADE． ∴DE∥CB． ∵FG∥DE， ∴FG∥CB， ∴△ABC∽△AFG． 【设计意图】通过例2，考查学生是否会运用平行线分线段成比例的推论判定三角形 相似，巩固学生对利用平行线判定两个三角形相似的定理的掌握． 【例3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E， 交BC的延长线于点F．求证△ABF∽△CAF． 【师生活动】学生独立思考完成作答，教师讲评． 【答案】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵EF垂直平分线段AD，∴AF＝DF． ∴∠FAD＝∠FDA． ∵∠FAD＝∠CAD＋∠CAF，∠FDA＝∠BAD＋∠B， ∴∠B＝∠CAF． 又∵∠AFB＝∠CFA， ∴△ABF∽△CAF． 【设计意图】通过例3，考查学生是否会选用合适的方法判定三角形相似，巩固学生 对三角形相似的判定定理的掌握． 【跟踪训练2】如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40． 求证△ABC∽△AED． 【答案】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40， ∴ ＝ ＝1.2， ＝ ＝1.2． ∴ ＝ ． ∵∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 考点三 相似三角形的性质 【例4】如图，已知△ABC的面积为12 cm2，D，E分别是AB，AC边的中点，则梯形 DBCE的面积为___________cm2． 【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导． 【答案】9 【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝ AB． ∴△ADE∽△ABC． ∴ ＝ ＝ ． 即S ＝ S ＝ ×12＝3（cm2）． △ADE △ABC ∴S ＝S －S ＝12－3＝9（cm2）． 梯形DBCE △ABC △ADE 【归纳】相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，周长 的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．利用这些性质，可以求有关三角形的角度、 线段长、周长和面积． 【设计意图】通过例4，检测学生对相似三角形的性质定理的掌握情况． 【跟踪训练3】如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，DE⊥AC，垂足为点 E．求证 ＝ ． 【师生活动】教师提示：本题直接证明有难度，可先转化为证明△ACD∽△ABC和 △BCD∽△BAC，再由DE∥BC，证明比例式成立．学生根据提示，完成作答． 【答案】证明：在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ＝ ． ∴AC2＝AB·AD． 同理可证BC2＝BD·AB， ∴ ＝ ＝ ． 又∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴DE∥BC．∴ ＝ ． ∴ ＝ ． 考点四 相似三角形的应用 【例5】如图（示意图），为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮首先在操 场上点C处竖立一根高3 m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电 线杆顶端B重合；小亮又在点C 处竖立一根高3 m的竹竿C D ，然后退到点E 处，此时 1 1 1 1 恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面的高度EF＝1.5 m，测量得 1 CE＝2 m，EC ＝6 m，C E ＝3 m．连接F F并延长，分别交BA，DC，D C 于点G，M， 1 1 1 1 1 1 N． （1）求证△FDM∽△FBG，△FDN∽△FBG； 1 1 1 （2）求电线杆AB的高度． 【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评． 【答案】（1）证明：∵DC⊥AE，BA⊥AE， ∴DC∥BA． ∴△FDM∽△FBG． 同理，△FDN∽△FBG． 1 1 1 （2）解：由（1），知△FDN∽△FBG，△FDM∽△FBG， 1 1 1 ∴ ＝ ， ＝ ． ∵DN＝DM， 1 ∴ ＝ ．即 ＝ ． ∴GM＝16 m． ∵ ＝ ， ∴ ＝ ． ∴BG＝13.5 m． ∴AB＝BG＋GA＝15 m． 故电线杆AB的高度为15 m． 【归纳】利用相似三角形解决测量问题的思路： （1）建模型：根据实际问题直接利用相似三角形或构造相似三角形； （2）得比例：利用相似三角形对应边成比例列比例式； （3）求结果：把测量出的已知数据代入比例式求解． 【设计意图】通过例5，检测学生对相似三角形的判定和性质的掌握情况，让学生能 熟练地利用相似三角形解决实际问题． 【跟踪训练4】如图（示意图），小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁 有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在 点C处，人在点F处正好看到树尖A；第二次他把镜子放在点C′处，人在点F′处正好看到 树尖A，已知小明的眼睛距地面1.6 m，量得CC′＝10 m，CF＝2 m，C′F′＝3 m，求这棵 古松树的高AB． 【答案】解：依题意，有∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′， ∠ABC＝∠EFC＝∠E′F′C′＝90°， ∴△BAC∽△FEC，△AC′B∽△E′C′F′． 设AB＝x m，BC＝y m，则 解得 ∴这棵古松树的高为16 m． 考点五 位似 【例6】如图，在直角坐标系中，正方形网格的边长为1，已知△ABC和点M(1，2)． （1）以点M为位似中心，相似比为2，在第一象限内画出△ABC的位似图形 △A′B′C′； （2）写出△A′B′C′的各顶点坐标． 【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导． 【答案】解：（1）如图所示． （2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)． 【归纳】图形的位似主要考查三个方面： （1）判断两个图形是不是位似图形；（2）找位似图形的位似中心； （3）作某个图形关于某一点的位似图形． 【设计意图】通过例6，检测学生对图形的位似的掌握情况，让学生能熟练地利用位 似将一个图形放大或缩小． 【跟踪训练5】如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与 △DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE＝__________． 【答案】4.5 【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，它们的位似中心为原点，A(1，0)，D(3， 0)， ∴AO＝1，DO＝3． ∴ ＝ ＝ ． ∵AB＝1.5， ∴DE＝4.5． 课堂小结 板书设计一、相似多边形 二、相似三角形的判定 三、相似三角形的性质 四、相似三角形的应用 五、位似 课后任务 完成教材第57页复习题27第1～5题． 教学反思 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________