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专题 01 三角形的高线、中线、角平分线与内角和外角和之十大
题型
构成三角形的条件
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系逐项判定即可求解．
【详解】解：A、∵ ，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵ ，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵ ，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵ ， ，∴能组成三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任
意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【变式训练】
1．（2022上·新疆塔城·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，【答案】B
【分析】根据三角形三边关系进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、 ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：熟知：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；是解
本题的关键．
2．（2023下·甘肃平凉·七年级统考期末）以下列三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3、4、7 B．3、2 、6
C．3、4、5 D．3、3、6
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分
析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、 ，不能组成三角形；
B、 ，不能组成三角形；
C、 ，能组成三角形；
D、 ，不能够组成三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是
否大于第三个数．
确定第三边的取值范围
例题：（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）现有两根长度分别为 和 的木棒，若要钉成一
个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．【详解】解：设第三根木棒长为 ，
则 ，即 ，
四个选项中，第三根木棒长可以为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是
解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）已知三条线段的长分别是3，8，a若它
们能构成三角形，则整数a的最大值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．7
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【详解】解：∵三条线段的长分别是3，8，a，它们能构成三角形，
∴ ，
∴ ，
∴整数m的最大值是10．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第
三边是解题的关键．
2．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）小华有两根长度为 的木棒，他想摆一个三角形
木框摆件，现有 、 和 五根木棒供他选择，则小华可选择的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】设选择的木棒长为 ，根据第三边大于两边之差小于两边之和即可求出范围，再结合题
意即可得出答案．
【详解】由题意得，设选择的木棒长为 ，
则 ，即 ，
选择木棒长度可以是 和 ，共3种
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题的关键．判断三角形的高线
例题：（2023下·浙江·九年级阶段练习）下列四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作 边上的高，垂足为E，其中线段 是 的高，
再结合图形进行判断．
【详解】解：根据三角形高的画法知，过点B作 边上的高，垂足为E，
则线段 是 的高，
观察四个选项，所以线段 是 的高的图是选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶
点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板
的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形高的画法进行判断即可．
【详解】解：选项A，C，D中都不是 的边 上的高，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键．
2．（2021下·安徽宿州·七年级校联考期末）如图， 于点 ， 于点 ，于点 ， 于点 ，则 中， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂线的定义去分析， 、 等都不是 所对顶点向 所在直线所作的垂线，由
此即可判定．
【详解】解：∵ 边上的高是指过 所对顶点B向 所在直线所作的垂线
∴在 于点 ， 于点 ， 于点 ， 于点 中，只有 符合上
述条件．
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对三角形的高这一知识点的理解和掌握，难度不大，要求学生应熟练掌
握．
利用三角形的稳定性的应用
例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期末）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬
索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身
通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固，
故选A．【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，为了安全，建筑工地的塔吊上部设计成三角形结
构，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】根据三角形的稳定性回答即可．
【详解】解：三角形具有稳定性，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解这一道理是关键．
2．（2023下·贵州六盘水·七年级统考期末）如图，空调安装在墙上时，一般都会用如图所示的方
法（用三角形支架）固定在墙上，这样做是由于三角形具有 ．
【答案】稳定性
【分析】固定在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的数学知识是三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
根据三角形中线求长度或面积例题：（2023下·福建宁德·七年级统考期末）如图， 是 的中线，点D在线段 上．若
， ，则 的长是（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】先求出 的长，再根据中线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁本溪·七年级统考期末）如图，在 中， 为 边上的中线，若 与
的周长差为3， ，则 ．
【答案】5
【分析】根据三角形中线的定义可得 ，然后根据已知条件和线段的和差解答即可．
【详解】解：∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∵ 与 的周长差为3，
∴ ，
即 ，∵ ，
∴ ；
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握基本知识是解题的关键．
2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）如图，已知 ， 分别是 的中线和高，若
， ，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】先根据中线的定义，可求出 的长，再由三角形的面积计算公式可求出入 的面积．
【详解】解：∵ 是 的中线，且 ，
∴ ，
又∵ 是 的高，且 ，
∴ ，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，以及三角形的面积计算公式．熟练掌握这些知识点是解题
的关键．
与三角形的高、角平分线有关的计算问题
例题：（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）如图， ， ， 分别是 的中线，角平分
线，高，下列各式中错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
【详解】解：A．∵ 是 的中线
∴ ，
故选项正确，不符合题意；
B．∵ 是 的角平分线
∴
故选项正确，不符合题意；
C．∵ 是 的高，
∴
故选项正确，不符合题意；
D． 不一定成立，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的
定义进行判断即可．
【变式训练】
1．（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，
，则 cm；
（2）若AD是△ABC的角平分线，则 ；若 ，则
；
（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是 三角形．
【答案】 6 ∠BAC 53° 直角
【分析】（1）根据三角形的中线是三角形的一个顶点与它对边的中点所连的线段求解即可；
（2）根据三角形的角平分线平分它对应的内角求解即可；
（3）根据三角形的高线定义得到∠AHB=90°，再根据直角三角形的定义即可判断；【详解】解：（1）∵AM是△ABC的中线， ，
∴BM=CM= BC=6cm，
故答案为：6；
（2）∵若AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC，
∵∠BAC=106°，
∴∠DAC=53°，
故答案为： ∠BAC，53°；
（3）∵AH是△ABC的高，
∴∠AHB=90°，
∴△AHB直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形的角平分线、中线和高线的定义是
解答的关键．
2．（2019上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在 中， 是 边上的高， 是
的角平分线， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）10°；（2）2．
【分析】(1)由题知∠ABE=∠BAE=40°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求得
∠AEC=80°，因为 是 边上的高，即可求解.
(2) 是 的角平分线，结合题(1)得出∠DAC=30°，即可求解.
【详解】解：（1）∵
∴∴
∵ 是 边上得高，
∴
∴
（2）∵ 是 的角平分线，
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，掌握这两个知识点是解题的关键.
利用三角形内角和求角度问题
例题：（2023下·河北承德·七年级统考期末）如图， ， ， ．
（1） ；
（2）在直线 上取一点 ，使得 ，则 的度数是 ．
【答案】 70° 40°或80°
【分析】（1）根据平行可得 ，即可求出 ；
（2）画出图形，先求出 ，再求出 的度数即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，；
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴
当 在 右边时，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 在 左边时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40°或80°．
【点睛】本题考查三角形内角和及平行线的性质，熟记平行线的性质并选择合适的角度关系是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图， 中，点 是 延长线上的一点，
于点 的平分线与 的平分线交于点 ．当 时，则 的度数为 ．
【答案】 /110度
【分析】如图所示，设 交 于点 ，根据 可求出 的关系，根据角平分线的性质可得 的关系，由此可得 ，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交 于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2019上·江苏南京·八年级校考期中）在 中，将 、 按如图所示方式折叠，点 、
均落于边 上一点 处，线段 、 为折痕．若 ，则 ．【答案】
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据折叠的性质可得
，根据平角的性质即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ 、 按如图所示方式折叠，线段 、 为折痕，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 、 均落于边 上一点 处，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，折叠的性质，平角的性质的综合，掌握以上知识是解题
的关键．
三角形的外角的定义及性质
例题：（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）如图，在 中， 和 的角平分线
交于点 ，延长BO与 的外角平分线交于点 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】由 是 的平分线， 为 的外角平分线，可得 ，
，则 ，根据
，可得 ，然后计算求解即可．
【详解】解：∵ 是 的平分线， 为 的外角平分线，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2022上·云南红河·八年级统考期末）如图所示， ， ，那么
．
【答案】 /80度
【分析】根据三角形外角性质，求出结果即可．
【详解】解：∵ 为 的外角，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与其不
相邻的两个内角的和．
2．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图，直线 ，一块有 的直角三角尺如图放置，
，则 ．【答案】 /105度
【分析】根据平行线的性质，得到 ，再根据三角形外角的定义，得出 ，最后利
用对顶角相等，即可求出 的度数．
【详解】解： ，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角尺的特征，平行线的性质，三角形外角的定义，对顶角，解题关家 是掌
握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
多边形内角和与外角和问题
例题：（2022上·江苏南通·八年级统考期末）若一个多边形的内角和等于 ，则它是
边形．
【答案】八
【分析】根据 边形的内角和为 列出关于 的方程式，解方程即可求出边数 的值．
【详解】解：设这个多边形的边数是 ，
则： ，
解得 ，
故答案为：八．
【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练的建立方程求解是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2019下·山东菏泽·八年级统考期末）若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】设多边形的边数为n，根据题意可得该多边形的内角和为： ，再利用多边
形的内角和公式即可求解．
【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得：
该多边形的内角和为： ，
则 ，
解得： ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式及外角和，熟练掌握其内角和公式是解题的关键．
2．（2019上·四川自贡·八年级校考阶段练习）一个多边形的内角和为 ，从这个多边形的一个
顶点出发的对角线有 条．
【答案】6
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可．
【详解】解：设此多边形的边数为 ，
由题意得: ，
解得： ，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数:
故答案为: 6．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内
角和公式 ．
多边形截角后的边数问题
例题：（2022上·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）若一个多边形截去一个角后
变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8【答案】C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能
漏掉其中的任何一种情况．
【变式训练】
1．（2022上·四川自贡·八年级校考期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】A
【详解】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
2．（2021·黑龙江大庆·九年级统考期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一
个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当
剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19
边形，不可能是16边形.
故选A.
【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；
经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.一、单选题
1．（2023下·云南红河·八年级统考期末）将下列长度的三根火柴棒首尾顺次连接，不能组成三角
形的是（ ）．
A．2，3，4 B．3，4，5 C．2，3，5 D．3，5，7
【答案】C
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只
要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A． ，能构成三角形，故不符合题意；
B． ，能构成三角形，故不符合题意；
C． ，不能构成三角形，故符合题意；
D． ，能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，掌握定理是解题的关键．
2．（2019上·重庆·八年级重庆市江津第二中学校校考阶段练习）一个多边形的内角和是它的外角
和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】B
【分析】多边形的外角和是 ，则内角和是 ．设这个多边形是 边形，内角和是
，这样就得到一个关于 的方程，从而求出边数 的值．
【详解】解：设这个多边形是 边形，根据题意，得
，
解得： ．
故这个多边形是六边形．故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的
关键．
3．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示，在 中， ，将 沿着直
线 折叠，点 落在点 的位置．则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及轴对称的性质，由轴对称的性质得出 ，再
由 ， ，即可得到 ，从而求出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得： ，
， ，
，
．
故选：A．
4．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）如图，在 中， 是中线， 是角平分线，
是高，下列结论不一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中线即为三角形的顶点与其对边中点的线段、角平分线即为三角形的一个内角
的平分线与对边相交的线段、三角形的高即为过三角形的一个顶点作对边的垂线段，据此进行解答
即可．
【详解】解：∵ 是中线，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
∵ 是角平分线，
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∵ 是高，
∴ ，故选项C正确，不符合题意；
根据题意不一定得出 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线等定义，熟记相关定义是解本题的关键．
5．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图，把一块含有 角（ ）的直角三角板
的直角顶点放在长方形桌面 的一个顶点C处，如果 ，那么 （ ）
A．50° B．40° C．20° D．10°
【答案】D
【分析】由四边形 为长方形，得到 与 平行，利用两直线平行同位角相等求出
的度数，根据 为三角形 的外角，利用外角性质求出 的度数即可．【详解】解：∵四边形 为长方形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的外角，且 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解
本题的关键．
二、填空题
6．（2019上·山东临沂·八年级统考期中）正n边形的每个内角都是120°，这个正n边形的对角线
条数为 条．
【答案】9
【分析】根据多边形的内角和公式，列出方程，求出边上，再根据对角线的条数的计算方法，求解
即可．
【详解】解：由题意，得：
解得， ．
∴该正多边形为正六边形．
∴该六边形对角线条数 9（条）．
故答案为9．
【点睛】本题考查求正多边形的对角线的条数．熟练掌握多边形的内角和定理，以及对角线的条数
的计算公式，是解题的关键．
7．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如图，在 中， 是中线，若四边形 的
面积是4，则 的面积为 ．【答案】
【分析】利用三角形中线的定义和三角形面积公式得到 ，从而得到
，进一步证得 ，从而求得 ．
【详解】解：连接 ，如下图：
∵ 和 为 的中线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线把三角形分成面积相等两部分是解题的关键．8．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）如图，将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的
位置摆放，如果 ， ，那么 的度数等于 度．
【答案】
【分析】根据三角形的外角和为 ，结合等边三角形，正方形，正五边形的内角度数可列出关
于 的等式，求解即可．
【详解】解：∵正方形的一个内角为 ，正三角形的一个内角为 ，正五边形的一个内角为
， ，
由三角形的外角和为 可知：
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角和，正多边形的应用，能够列出关于 的等式是解本题的关键．
9．（2022上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，在 中， ，
与 的平分线交于点 ，得 ； 与 的平分线交于点 ，得 ；……；
与 的平分线交于点 ，得 ，则 ．（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】利用三角形的外角性质及角平分线的性质，可得出 ，进而可求出 的值．【详解】解：∵ 是 的外角，
∴ ．
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∵ 是 的外角， ，
∴ ．
同理可得： ，
，
，
……，
∴ （n为正整数），
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及规律型：数字的变化类，根据各角之
间的关系，找出 （n为正整数）”是解题的关键．
10．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度
数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为 的三角形是
“和谐三角形”，如图， ， ，当 是“和谐三角形”时， 的
度数是 ．【答案】 或 或 或 ．
【分析】分四种情况进行讨论：①当 时；②当 时；③当
时；④当 时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
当 是“和谐三角形”时，分四种情况：
①当 时， ，
∴ ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ ；
③当 时，
∵
∴ ，
∴ ．
④当 时， ，
∴ ．
综上所述， 的度数是 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，三角形内角和定理，理解“和谐三角形”的定义并且能够应用是解题
的关键．
三、解答题
11．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
【答案】(1)这个正多边形的边数为8；(2)
【分析】（1）利用正多边形的性质和多边形的外角和计算即可；
（2）由题意确定截完角后所形成多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
即这个正多边形的边数为8；
（2）解：∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点），
∴截完角后所形成的多边形为九边形，
则其内角和为： ．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，（2）中根据题意确定截完角后所
形成多边形的边数是解题的关键．
12．（2023下·四川·七年级统考期末）如图，在 中， 为边 上的高，点E为 上一点，
连结 ．
(1)当 为边 的中线时，若 ， 的面积为40，求 的长；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的度数．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出 ，然后根据 为边 上的中线得到 的长；
（2）先根据三角形内角和求出 ，再利用角平分线的定义得到 ，再求出
，然后根据 计算即可．
【详解】（1）∵ 为边 上的高， 的面积为40，
∴ ，
∴ ，∵ 为边 上的中线，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 为 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积
等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理．
13．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图， ， ， ， 是
的角平分线．
(1) 与 平行吗？请说明理由；
(2)试说明 ；
(3)试说明 是 的角平分线．
【答案】(1) ，见解析
(2)见解析
(3)见解析【分析】（1）首先根据平行线的性质，可证得 ，进而证明 ，再根据
平行线的判定即可证得；
（2）根据 是 的角平分线可得到 的度数，再根据 ，即可得到 的度
数，进而即可得到 ；
（3）根据平行线的性质得到 ，即可得到 是 的角平分线．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ (已知)，
∴ (两直线平行，内错角相等)，
又∵ ，(已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)；
（2）解：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线 是 的角平分线．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键在于结合角平分线的定义并熟练掌握平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
14．（2023上·江西赣州·八年级校考期末）如图1，已知线段 相交于点 ，连接 ，
则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 和 的平分线 和 相交于点 ，与 分别相交于点 ．
①以线段 为边的“8字型”有_______个，以点 为交点的“8字型”有________个；
②若 ， ，求 的度数；③根据②的结果直接写出 、 、 之间的关系（不需要证明）．
【答案】(1)见详解
(2)①3，4② ③
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得在 和 中，
，在 和 中， ，两式相加再由角
平分线的定义即可解答；③根据角平分线的定义可得 ， ，在 和 中，
可有 ，即 ，同理在 和 中，可有
， ，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：①以线段 为边的“8字型”有： 和 ， 和 ， 和
，共3个；
以点 为交点的“8字型”有： 和 ， 和 ， 和 ，
和 ，共4个；
故答案为：3，4；
②∵在 和 中， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ；
③ 、 、 之间的关系为 ．理由如下：
如下图，
∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 、 之间的关系为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解
并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
15．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）在 中， 与 的平分线相
交于点 ．
(1)如图1，如果 ， ， ，求 的度数；
(2)如图1，如果 ，用含 的代数式表示 ；
(3)探索：如图2，作 外角 、 的平分线交于点 ，试写出 、 之间的数量
关系；
(4)拓展：如图3，延长线段 、 交于点 ， 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 或 或
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ， ，根据三
角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的性质可得 ， ，根据三角形内角和定理即可
求解；
（3）根据角平分线的性质可得 ， ，根据三角形的外角性质可得
， ，根据三角形内角和定理即可求解；
（4）根据角平分线的性质求得 ，结合（3）中结论和三角形内角和定理求得
，分四种情况进行讨论： ； ； ；
；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵ 与 的平分线相交于点 ，
∴ ， ，
在 中， ．
（2）解：∵ 与 的平分线相交于点 ，
∴ ， ，
在 中， ，即 ，
在 中， ．
（3）解： 、 之间的数量关系为： ．
理由：∵ 、 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
且 ， ，
∴ ， ，
故 ，
在 中， ．
（4）解：∵ 是 的角平分线， 是 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
由（3）可得 ，
则 ，
如果 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
若 是 的 倍，即 ，
∴ ，
解得： ；
若 是 的 倍，即 ，
∴ ，
解得： ；
若 是 的 倍，即 ，∴
解得： ；
若 是 的 倍，即 ，
∴
解得： ；
综上所述， 的度数是 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质等，灵活运用三角形
的内角和定理，外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
