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专题 01 三角形的高线、中线、角平分线与内角和外角和之十大
题型
构成三角形的条件
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022上·新疆塔城·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．（2023下·甘肃平凉·七年级统考期末）以下列三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3、4、7 B．3、2 、6
C．3、4、5 D．3、3、6
确定第三边的取值范围
例题：（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）现有两根长度分别为 和 的木棒，若要钉成一
个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）已知三条线段的长分别是3，8，a若它
们能构成三角形，则整数a的最大值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．7
2．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）小华有两根长度为 的木棒，他想摆一个三角形
木框摆件，现有 、 和 五根木棒供他选择，则小华可选择的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
判断三角形的高线
例题：（2023下·浙江·九年级阶段练习）下列四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2021上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板
的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021下·安徽宿州·七年级校联考期末）如图， 于点 ， 于点 ，
于点 ， 于点 ，则 中， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．利用三角形的稳定性的应用
例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期末）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬
索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身
通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
【变式训练】
1．（2023下·山西临汾·七年级统考期末）如图，为了安全，建筑工地的塔吊上部设计成三角形结
构，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
2．（2023下·贵州六盘水·七年级统考期末）如图，空调安装在墙上时，一般都会用如图所示的方
法（用三角形支架）固定在墙上，这样做是由于三角形具有 ．根据三角形中线求长度或面积
例题：（2023下·福建宁德·七年级统考期末）如图， 是 的中线，点D在线段 上．若
， ，则 的长是（ ）
A．7 B． C．8 D．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁本溪·七年级统考期末）如图，在 中， 为 边上的中线，若 与
的周长差为3， ，则 ．
2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）如图，已知 ， 分别是 的中线和高，若
， ，则 的面积是 ．
与三角形的高、角平分线有关的计算问题
例题：（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）如图， ， ， 分别是 的中线，角平分
线，高，下列各式中错误的是（ ）A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，
，则 cm；
（2）若AD是△ABC的角平分线，则 ；若 ，则
；
（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是 三角形．
2．（2019上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在 中， 是 边上的高， 是
的角平分线， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．利用三角形内角和求角度问题
例题：（2023下·河北承德·七年级统考期末）如图， ， ， ．
（1） ；
（2）在直线 上取一点 ，使得 ，则 的度数是 ．
【变式训练】
1．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图， 中，点 是 延长线上的一点，
于点 的平分线与 的平分线交于点 ．当 时，则 的度数为 ．
2．（2019上·江苏南京·八年级校考期中）在 中，将 、 按如图所示方式折叠，点 、
均落于边 上一点 处，线段 、 为折痕．若 ，则 ．
三角形的外角的定义及性质
例题：（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）如图，在 中， 和 的角平分线
交于点 ，延长BO与 的外角平分线交于点 ，若 ，则 ．【变式训练】
1．（2022上·云南红河·八年级统考期末）如图所示， ， ，那么
．
2．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图，直线 ，一块有 的直角三角尺如图放置，
，则 ．
多边形内角和与外角和问题
例题：（2022上·江苏南通·八年级统考期末）若一个多边形的内角和等于 ，则它是
边形．
【变式训练】
1．（2019下·山东菏泽·八年级统考期末）若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的
边数是 ．
2．（2019上·四川自贡·八年级校考阶段练习）一个多边形的内角和为 ，从这个多边形的一个
顶点出发的对角线有 条．多边形截角后的边数问题
例题：（2022上·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）若一个多边形截去一个角后
变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【变式训练】
1．（2022上·四川自贡·八年级校考期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
2．（2021·黑龙江大庆·九年级统考期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一
个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
一、单选题
1．（2023下·云南红河·八年级统考期末）将下列长度的三根火柴棒首尾顺次连接，不能组成三角
形的是（ ）．
A．2，3，4 B．3，4，5 C．2，3，5 D．3，5，7
2．（2019上·重庆·八年级重庆市江津第二中学校校考阶段练习）一个多边形的内角和是它的外角
和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示，在 中， ，将 沿着直
线 折叠，点 落在点 的位置．则 的度数是（ ）
A． B． C． D．4．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）如图，在 中， 是中线， 是角平分线，
是高，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图，把一块含有 角（ ）的直角三角板
的直角顶点放在长方形桌面 的一个顶点C处，如果 ，那么 （ ）
A．50° B．40° C．20° D．10°
二、填空题
6．（2019上·山东临沂·八年级统考期中）正n边形的每个内角都是120°，这个正n边形的对角线
条数为 条．
7．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如图，在 中， 是中线，若四边形 的
面积是4，则 的面积为 ．
8．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）如图，将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的
位置摆放，如果 ， ，那么 的度数等于 度．9．（2022上·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，在 中， ，
与 的平分线交于点 ，得 ； 与 的平分线交于点 ，得 ；……；
与 的平分线交于点 ，得 ，则 ．（用含 的式子表示）
10．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度
数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为 的三角形是
“和谐三角形”，如图， ， ，当 是“和谐三角形”时， 的
度数是 ．
三、解答题
11．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
12．（2023下·四川·七年级统考期末）如图，在 中， 为边 上的高，点E为 上一点，连结 ．
(1)当 为边 的中线时，若 ， 的面积为40，求 的长；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的度数．
13．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图， ， ， ， 是
的角平分线．
(1) 与 平行吗？请说明理由；
(2)试说明 ；
(3)试说明 是 的角平分线．
14．（2023上·江西赣州·八年级校考期末）如图1，已知线段 相交于点 ，连接 ，
则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 和 的平分线 和 相交于点 ，与 分别相交于点 ．
①以线段 为边的“8字型”有_______个，以点 为交点的“8字型”有________个；
②若 ， ，求 的度数；③根据②的结果直接写出 、 、 之间的关系（不需要证明）．
15．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）在 中， 与 的平分线相
交于点 ．
(1)如图1，如果 ， ， ，求 的度数；
(2)如图1，如果 ，用含 的代数式表示 ；
(3)探索：如图2，作 外角 、 的平分线交于点 ，试写出 、 之间的数量
关系；
(4)拓展：如图3，延长线段 、 交于点 ， 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，
请直接写出 的度数．
