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专题01 三角形的三边、高线、中线及角平分线
考点一 三角形的稳定性 考点二 三角形的三边关系
考点三 三角形的高线 考点四 三角形的中线
考点五 三角形的角平分线
考点一 三角形的稳定性
例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形的稳定性解答即可．
【详解】
解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；
而B选项中，用到了四边形的不稳定性.
故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则
说明物体中必然存在三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．
这样做蕴含的数学道理是（ ）A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】
人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．
【详解】
三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，
叫做三角形的稳定性.
故选A
【点睛】
本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．
2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形
具有___．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】
根据是三角形的稳定性，即可求解．
【详解】
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．【点睛】
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
考点二 三角形的三边关系
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（
）．
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，11 D．6，3，3
【答案】B
【解析】
【分析】
比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．
【详解】
解：A、1+2=3，不符合题意；
B、3+4>5，符合题意；
C、4+5<11，不符合题意；
D、3+3=6，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（
）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．10，7，3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在 ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇
数，那么第三边的长是( ) △
A．5或7 B．7或9 C．3或5 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．
【详解】
解：因为三条边长分别为3和6，
所以6-3＜第三边＜6+3，
所以3＜第三边＜9，
因为第三边长为奇数，
∴第三边的长为5或7，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的
关键．
3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为 3，x，14，若 x 为正整数，则
这样的三角形个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据三角形的三边关系求出 的取值范围，进而可得出结论．
【详解】
解： 三角形三边长分别为 ， ， ，
，即 ．为正整数，
， ， ， ， ，即这样的三角形有5个．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关
键．
考点三 三角形的高线
例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中， 是 的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．
【详解】
解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
【点睛】
考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是 ABC的AC边上的高线 B．线段CD是 ABC的AB边上的高线
C．线段AD是 ABC的BC边上的高线 D．线段AD是 ABC的AC边上的高线
【答案】B【解析】
【分析】
根据高线的定义注意判断即可．
【详解】
∵ 线段CD是 ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是 ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是 ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是 ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．
2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC中， ，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
则点C到AB的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据面积相等即可求出点C到AB的距离．
【详解】
解：∵在直角三角形ABC中， ，
∴ ，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴ ，
∴CD= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．
3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点 、点 是直线 上两点， ，点 在直线 外， ，
， ，若点 为直线 上一动点，连接 ，则线段 的最小值是______．
【答案】4.8
【解析】
【分析】
根据垂线段最短可知：当 时， 有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解 的最小值．
【详解】
解：当 时， 有最小值，
， ， ， ，
，
即 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到 最小时的 点位置是解题的关键．
考点四 三角形的中线
例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且
△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．【答案】10
【解析】
【分析】
先根据三角形的中线、线段中点的定义可得 ，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【详解】
解： BD是 的中线，即点D是线段AC的中点，
，
， 的周长为12，
，即 ，
解得： ，
，
则 的周长是 ．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在 中， 边上的中线 将 分成的两个新
三角形的周长差为 ， 与 的和为 ，则 的长为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据三角形的中线的定义可得 ，然后求出 与 的周长差是 与 的差或 与
的差，然后代入数据计算即可得解．
【详解】
如图1，图2，∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵中线 将 分成的两个新三角形的周长差为 ，
∴ 或 ，
∴ 或者 ，
∵ 与 的和为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．
2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，
AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC=16，则S1－S2的值为
_________．
【答案】
【解析】
【分析】
S ADF−S CEF＝S ABE−S BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝
2△BD，BE＝△CE，且△S ABC＝△16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.
△【详解】
解：∵BE＝CE，
∴BE＝ BC，
∵S ABC＝16，
△
∴S ABE＝ S ABC＝8．
△ △
∵AD＝2BD，S ABC＝16，
△
∴S BCD＝ S ABC＝ ，
△ △
∵S ABE−S BCD＝（S＋S BEFD）−（S＋S BEFD）＝S−S＝ ，
1 四边形 2 四边形 1 2
△ △
故答案为 ．
【点睛】
本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出
差．
3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，
EF BC 于点 F．若 ，BD 4 ，则 EF 长为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
因为S ABD= S ABC，S BDE= S ABD；所以S BDE= S ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．
△ △ △ △ △ △
【详解】
解：∵AD是△ABC的中线，S ABC=24，
△∴S ABD= S ABC=12，
△ △
同理，BE是△ABD的中线， ，
∵S BDE= BD•EF，
△
∴ BD•EF=6，
即
∴EF=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解
题的关键．
考点五 三角形的角平分线
例题：（2022·全国·八年级）如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线，
交 于 ，交 于 ，下列说法正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据∠CAB=90°，AD是高，可得∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，又因为BE是角平分线，可得
∠ABE=∠DBE，故能得到∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；
②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，可得∠EAG=∠DBA，因为∠DBA=2∠EBC，故能得到该说法正确；
④根据中线平分面积，可得该说法正确．
【详解】
解：①∵∠CAB=90°，AD是高，
∴∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠AEG=∠DGB，
∵∠DGB=∠AGE，
∴∠AEG=∠AGE，故该说法正确；
②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∵∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠EAG=∠DBA，
∵∠DBA=2∠EBC，
∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；
④根据中线平分面积，可得S =S ，故该说法正确．
ACF BCF
△ △
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分
∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．S AEB＝S EDB
△ △
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、∵AE＝DE，
∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B、∵BD平分∠EBC，
∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C、∵BD平分∠EBC，
∴∠2＝∠3，
但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D、∵S AEB＝ ×AE×BC，S EDB＝ ×DE×BC，AE＝DE，
△ △
∴S AEB＝S EDB，故本选项不符合题意；
△ △
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线
段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫
三角形的角平分线是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是 ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的
是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个
角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三
角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形
一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．
【详解】
解：A、BE是 ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是 AB△C的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角△形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是 ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．△
【点睛】
本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：
（1）如图（1） 是 的三条中线，则 ______， ______， ______．
（2）如图（2） 是 的三条角平分线，则 ______， ______， ______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E、F、D
分别是AC、AB、BC上的中点，进而得到答案．
（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分
线即可解答．
【详解】
解：（1）∵CF是AB边上的中线，
∴AB＝2AF＝2BF；
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝ AC，
（2）∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∵BE是 的角平分线，
∴ ，
∵CF是 的角平分线，
∴ ．
故答案为： 或 ； ；AC； ； ；
【点睛】
此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．
一、选择题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画 的 边上的高，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形的高线的定义判断即可．
【详解】
解：画 ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．
△∴只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的
高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的
高线有两条是三角形的直角边．
2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的 中，连接点A
和BC上的一点D，线段AD等分 的面积，则AD是 的（ ）．
A．高线 B．中线 C．角平分线 D．对角线
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用三角形中线的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵线段AD等分△ABC的面积，
∴△ABD的面积等于△ACD的面积，
∵两个三角形的高为同一条高，
∴BD=CD，
∴AD为△ABC的中线，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．
3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定
【详解】
解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；
B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；
C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；
D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图
形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．
4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线，
是 的边 上的中线，若 的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．20【答案】B
【解析】
【分析】
利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】
∵ 是 的边 上的中线，
∴ ，
∵ 是 的边 上的中线，
∴ ，
又∵ 是 的边 上的中线，则 是 的边 上的中线，
∴ ， ，
则 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．
5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折
出如下线段：①BC边上的中线AD，②BC边上的角平分线AE，③BC边上的高AF．根据所学知识与相关
活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．
【详解】
沿着A点和BC中点的连线折叠，其折痕即为BC边上的中线，故①符合题意；折叠后使B点在AC边上，且折痕通过A点，则其折痕即为BC边上的角平分线，故②符合题意；
折叠后使B点在BC边上，且折痕通过A点，则其折痕即为BC边上的高，故③符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若 的三条边长分别为3cm，xcm，4cm，则x的取值范围______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系进行求解即可.
【详解】
解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到 ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解
答此类题目的关键.
7．（2022·云南红河·八年级期末）已知 是 的三边长， 满足 ， 为偶数，
则 _______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求
出c的取值范围，再根据c是偶数求出c的值．
【详解】
解：∵a，b满足 ，
∴a-6=0，b-1=0，
解得a=6，b=1，
∵6-1=5，6+1=7，∴5＜c＜7，
又∵c为偶数，
∴c=6，
故答案为：6
【点睛】
本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少
的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一
种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】
利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
【详解】
解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图，AB⊥BD 于点 B，AC⊥CD 于点 C，且 AC 与 BD 交
于点 E，已知 AE=10，DE=5，CD=4，则 AB 的长为_________．
【答案】8【解析】
【分析】
根据三角形高的定义可判断出边上的高，然后利用三角形面积求解即可．
【详解】
解：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴AB是△ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，
∴S = ，
AED
△
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查三角形高的定义，三角形的面积等知识，掌握基本概念是解题关键，学会用面积法求线段的长．
10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，P是 边上的任意一点，
于点E， 于点F.若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，结合已知条件，即可求得 的值．
【详解】
解：如图，连接于点E， 于点F
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·全国·八年级）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
(1)若AC是整数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
【答案】(1)8
(2)24
【解析】
【分析】
（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数
得AC＝8；
（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，
即可得．
(1)
解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8．(2)
解：如图所示，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为17，
∴AB+AD+BD＝17，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝16，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．
【点睛】
本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．
12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a、b、c满足 求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说
明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)能构成三角形，周长为
【解析】
【分析】
（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形
的周长即可．
(1)解：∵ ， ， ，
a、b、c满足 ，
∴ ， ， ，
解得 ， ， ；
(2)
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴能构成三角形，
三角形的周长 ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等
于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．
13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角
形的周长的取值范围是什么？
（2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线， ABD比 BCD周长长
4cm，求 ABC各边长． △ △
【答案】△（1）14
