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27.2.2 相似三角形的判定
基础篇
一、单选题:
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】解： 由题意可得得 的三边长分别是
， ， ，
A．图中三角形的三边长分别是：1， ， ，
∴ ，两个三角形相似，故选项符合题意；
B．图中三角形的三边长分别是：1， ， ，三边不成比例，故选项不符合题
意；
C．图中三角形的三边长分别是： ， ，3，三边不成比例，故选项不符合题意；
D．图中三角形的三边长分别是：2， ， ，三边不成比例，故选项不符合题意；
故选：A
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三边成比例的两个三角形相似是解题的关键．
2．如图，下列条件能使 BPE和 CPD相似的有（ ）
△ △①∠B=∠C；② ；③∠ADB=∠AEC；④ ；⑤ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相
似”证明 ，可得 ，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得 ，再
结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相
似”判断⑤即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
所以①符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
所以④符合题意，②不符合题意；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
所以③符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
所以⑤符合题意．
则符合题意的有4个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
3．已知在 中， ，则下列选项中阴影部分的三角形与原 不相似的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原 相似，故选项
A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原 相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原 相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图，在四边形 中，已知 ，那么补充下列条件后不能判定 和 相似
的是（ ）A． 平分 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件 ，再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两
三角形相似，据此即可求解．
【详解】解：在四边形 中，已知 ，
A． 平分 ，则 ，可以判断 相似；不符合题意；
B． ，可以判断 相似；不符合题意；
C． ，即 ，不能判断 相似；符合题意；
D． ，可以判断 相似；不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．如图， 是 的边 的延长线上的一点，连结 交 于 ，则图中共有相似三角形（ ）．
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
又 ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
∴ ；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定方法，
注意相似三角形具有传递性．
6．如图， 是半圆 的直径， ， 是半圆上任意两点，连结 ， ， 与 相交于点 ，要使
与 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定
理得到 ，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比
相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定．
【详解】解： ， ，
，故A选项正确；
，
，
，
，
，故B选项正确；
，
，，故C选项正确；
，
，
，
与 不相似，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且
夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；也考查了圆周角定理，解题的关
键是掌握相似三角形的判定方法．
7．已知 ，在线段BD上有一点P，使得 和 相
似，则满足条件的点P的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】B
【分析】分两种情况讨论，当 或 时， 和 相似，列出等式求解即可．
【详解】解：∵ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 或 时，
和 相似，
当 时，则 ，
解得 ；
当 时，
则 ，
解得 ，
∴ 或6，
∴满足条件的点P的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题:
8．如图，已知 ，则______ ______，______ ______．
【答案】 △ACD △ABE △BOD △COE
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明哪两个三角形相似，填空即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴△ACD∽△ABE，
∵ ， ，
∴△BOD∽△COE，
故答案为：△ACD，△ABE，△BOD，△COE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角对应相等的两个三角形相似进行判断
推理．
9．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】 （答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定问题，由题意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一对应角相等即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，
要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，
∴添加的条件为∠B＝∠D．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的性质及判定定理是解题的关键．
10．如图，若 ，则 ．
【答案】DE
【分析】结合相似三角形的性质即可求解
【详解】解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
【点睛】本题主要考察相似三角形的性质，属于基础理解题，难度不大．解题的关键是掌握相似三角形的
性质和相似三角形顶点的对应关系．注意：在相似三角形中，用相似符号（ ）连接的两个三角形，则相
同位置的顶点是对应顶点．
11．如图，在 中，点 为边 上的一点，选择下列条件：① ；② ；③ ；④ 中的一个，不能得出 和 相似
的是：__________（填序号）．
【答案】③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：① ， 时， ，故①不符合题意；
② ， 时， ，故②不符合题意；
③ ， 时，不能推出 ，故③符合题意；
④ ， 时， ，故④不符合题意，
故答案为：③
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角
形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
12．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有___对．
【答案】6
【分析】根据相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
∴ ；∵ ， ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ；
综上所述：有6对相似三角形．
故答案为：6
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相
似三角形．
提升篇
1．如图，在 中， ，BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 得到 ，接着可以判断 得到比例式 ，再利
用含 的直角三角形三边的关系得到 ，即 ，可得到 的值．
【详解】∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，∴ ，
∵ ，∴ ，
，即 .又∵ ，∴ ，∴ .
∵在 中， ，
∴ ， .故选项A正确.
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定及含有 的直角三角形具有的特殊边的关系 ．
2．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（
）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
【答案】B
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM
＝ ，MO＝3，进而得出答案．
【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在 ABN和 OCM中，
△ △
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，
∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知
识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
3．如图，把菱形 向平移至 的位置，作 ，垂足为 与 相交于点 的延
长线交 于点 ，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
，则正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先证明 ，再根据直角三角形性质和菱形性质以及相似三角形的判定即可一
一判断．
【详解】解：∵把菱形 向右平移至 的位置，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故①正确；
∵DE=DH，
∴∠DHE=∠DEH，
∵四边形CDFE是菱形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，故②正确；∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故④正确；
正确的有：①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，三角形
中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考
常考题型．
4．如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋
转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在 ABC中截得的三角形与 ABC相似．
△ △
【答案】50、70或160
【分析】分三种情况，当 ， ， 时，直径DE在 ABC中截得的三角形都与
ABC相似，既如图1，2，3，数形结合即可得出结果． △
△【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到 时，DE交BC于点
F，连接OC，是 的直径，
故当 时， 直径DE在 ABC中截得的三角形与 ABC相似．
△ △
如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到 时，DE与BC交于点F，连接
OC，
是 的直径，故当 时， 直径DE在 ABC中截得的三角形与 ABC相似．
△ △
如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到 时，DE与AC交于点F，连接
OC，
是 的直径，
故当 时， 直径DE在 ABC中截得的三角形与 ABC相似．
△ △
故答案为：50、70或160．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的知识，涉及到图形的旋转，分三种情况讨论，数形结合是解此题的
关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP
与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】
【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ ，
∴
∴CQ＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度
是常用的方法．
6．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于点G，AF的
中点为点H，连接BG，DH．现有以下结论：
①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．
其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】证明 ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①②；
如图所示，连△接AE，得到A、B、E、G四点共圆，则∠AEB=∠AGB，当∠AED=∠DEC时，可证明
，又E是BC上任意一点，则∠AED不一定等于∠DEC，即可判断③；△DHF是等腰三角形，
而G点是动点，△ABG不一定是等腰三角形，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，
又∵DF=EC=，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠AFD =90°，
∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；
∴∠DGA=∠ECD=90°，
又∵∠DAG=∠EDC，
∴△ADG∽△DEC，故②正确；
如图所示，连接AE，
∵∠ABE=∠AGE=90°，∴A、B、E、G四点共圆，
∴∠AEB=∠AGB，
∵点H是AF的中点，
∴AH=HF=DH，
∴∠HDF=∠HFD，
∴∠DHF+2∠AFD=180°，
当∠AED=∠DEC时，则∠AEB+2∠DEC=180°，
∴∠AEB=∠DHF=∠AGB，
∴ ，
又∵E是BC上任意一点，
∴∠AED不一定等于∠DEC，
∴DH与BG不一定平行，故③错误；
∵△DHF是等腰三角形，而G点是动点，△ABG不一定是等腰三角形，
∴△ABG与△DHF不一定相似，故④错误；
故答案为：①②．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，直角三角形
斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段和角度关系．
7．如图，在平行四边形 中，过点B作 ，垂足为E，连接 为 上一点，且
(1)求证：(2)若 ， ，求 的长
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得到 ，结合条件可证得 ；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合勾股定理可求得AE；
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关
键．注意方程思想的应用．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若CE＝5， ，BD＝6．求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断；
（2）解直角三角形求出 ， ，利用相似三角形的性质求出 ， 即可．
【详解】（1）证明： ，
，
为 边上的高，
，
，
，
是 的平分线，
，
．
（2）解：如图，作 于 ．
∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFD=∠CEB，
∵∠BFD=∠CFE，
，
为等腰三角形，
，
，
∴点 为 的中点，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
根据 ，即 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
