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专题 03 轴对称十大重难题型
实战训练
一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）
1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点
三角形共有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然
后依据对称找出相应的三角形即可．
答案详解：解：与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、
△DBH，△BCG共5个，
所以选：C．
2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC
成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．
试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．
答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．
所以答案是：5．
二．轴对称的性质
3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若
n
∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为 + 36° （用含n的式子表示）．
5试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．
答案详解：解：如图，设∠BAD′＝x，则∠CAE＝2x，
由翻折变换的性质可知，∠DAE＝∠EAD′＝2x+n，
∵∠DAB＝90°，
∴4x+2n+x＝90°，
1
∴x= （90°﹣2n），
5
1 n
∴∠DAE＝2× （90°﹣2n）+n= +36°．
5 5
n
所以答案是： + 36°．
5
4．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P 关于OA对称，点P与点P 关于OB对称，OP
1 2
＝8，∠AOB＝45°，则△OP P 的面积为 3 2 ．
1 2
试题分析：根据轴对称的性质，可得 OP 、OP 的长度等于 OP的长，∠P OP 的度数等于
1 2 1 2
∠AOB的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．
答案详解：解：∵点P 和点P关于OA对称，点P 和点P关于OB对称，
1 2
∴OP ＝OP＝OP ＝8，且∠P OP ＝2∠AOB＝90°．
1 2 1 2
∴△P OP 是直角三角形，
1 2
1
∴△OP P 的面积为 ×8×8＝32，
1 2 2
所以答案是：32．
三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；
（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．
答案详解：解：
6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N
的距离分别相等（保留作图痕迹）．
试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．
答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）
如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：
线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离 相等 ．
如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，
（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，
不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为 2 6 cm．
试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相
等）求解即可求得答案；
（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，
即AC+BC＝16+10＝26cm．
答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，
所以答案是：两个端点；相等；
（1）如图所示，
（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长＝BD+DC+BC，
∴△BCD的周长＝AD+DC+BC，
即AC+BC＝16+10＝26cm．
所以答案是：26．
8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和
△ABC关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．
（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．
试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案．
答案详解：解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
1
（2）△A′B′C′的面积为： ×2×4＝4．
2
9．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（4，﹣1），C
（3，1）．
（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后
顺次连接即可；
（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．
答案详解：解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．
四．坐标的轴对称
10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．1 B．−1 C．5 D．﹣5
试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出 a，b的值，进
而得出a+b的值．
答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．
所以选：D．
11．已知点P （﹣1，﹣2）和P （a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）
1 2A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）2021
试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后
代入计算即可得解．
答案详解：解：∵P （﹣1，﹣2）和P （a，b﹣1）关于y轴对称，
1 2
∴a＝1，b﹣1＝﹣2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴a+b＝0，
∴（a+b）2021＝02021＝0．
所以选：A．
12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N
的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
试题分析：作出相关对称后可得点 P与点N关于原点对称，那么依据点 P的坐标为（2，﹣
3），可得点N的坐标．
答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，
∴点N与点P关于原点对称，
又∵点P的坐标为（2，﹣3），
∴点N的坐标为（﹣2，3），
所以选：D．
13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：
（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；
（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．
试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出
答案；
（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．
答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，
解得：a＝2，
则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣3），
若点A在第二象限或第四象限，则a﹣5+1﹣2a＝0，
解得a＝﹣4，则a﹣5＝﹣9，1﹣2a＝9，
∴点A的坐标为（﹣9，9），
综上所述，点A的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；
（2）∵若点A向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a），
又∵点A向右平移若干个单位后与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，
∴1﹣2a+（﹣3）＝0，
a＝﹣1，a﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，
1﹣2a＝1﹣2×（﹣1）＝3，
即点A的坐标为（﹣6，3）．
14．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k
阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对
（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
3 1
A．﹣2 B．− C．0 D．−
2 2
试题分析：根据新定义可得：有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣
b），并根据y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．
答案详解：解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
{ a−b=b
∴ ，
a+ka+b=0
3
解得：k=− ．
2
所以选：B．
五．格点等腰三角形
15．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为
顶点的等腰三角形有 3 个．
试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．
答案详解：解：如图，
则符合要求的有：C ，C ，C 共3个点；
1 2 3
所以答案是：3．
16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点 A、B是两格点，若点C也是图中
的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连
接即可得到等腰三角形，
答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
所以选：D．
17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为 1，点A，B均在格点上，
在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰
三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标 （﹣ 2 ， 0 ），（﹣ 2 ， 1 ），（﹣ 2 ， 2 ），（ 2 ，
2 ），（ 2 ， 0 ），（ 1 ， 0 ），（ 1 ，﹣ 1 ），（ 1 ，﹣ 2 ）， ；满足条件的点C一共有 8 个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．
答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），
（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，
所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，
﹣1），（1，﹣2），8．
六．规律类--坐标与图形的变化
18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，
3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一
次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（2022，2） B．（2022，﹣2） C．（2020，2） D．（2020，﹣2）
试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求
得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点
M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得
把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），
第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为
（2+n，2），
∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．
所以选：A．
19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A 、A 、
1 2
A 、A …A 的位置上，则点A 的坐标为
3 4 2020 2020
（ ）
A．（2019，0） B．（2019，1） C．（2020，0） D．（2020，1）
试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．
答案详解：解：由题意A （0，1），A （2，1），A （3，0），A （3，0），A （4，1），A
1 2 3 4 5 6
（5，1），A （6，0），A （7，0），A （8，1），…
7 8 9
每4个一循环，
∵2020÷4＝505
则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），
所以选：A．
20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，
2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余
数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，
2）．
所以选：C．
七．等腰三角形判定与性质
21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作
DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为 8 ．
试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出
DE的长，最后求出BE的长．
答案详解：解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCF，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴GC＝GD＝6，
∵EG＝2，
∴ED＝EG+GD＝2+6＝8，
∴BE＝ED＝8，
所以答案是：8．
22．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，
1 1
下列结论中：①CP⊥CD；②∠P= ∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°− ∠A；⑤PD∥AC．
2 2
其中正确的结论是 ①②④⑤ （直接填写序号）．
1 1
试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB= ∠ACB，∠BCD= ∠BCF，根据垂直的定义得
2 2
1
到CP⊥CD；故①正确；延长CB，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P= ∠A，
2
故②正确；根据平行线的判定定理得到 AB∥CD，推出△ABC是等边三角形，而△ABC中，
∠A＝∠ACB，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠DBC，
1
∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°−
2
∠A，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得
∠EBD＝∠A，于是得到PD∥AC．故⑤正确．
答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，
1 1
∴∠PCB= ∠ACB，∠BCD= ∠BCF，
2 2
∵∠ACB+∠BCF＝180°，1 1 1
∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD= ∠ACB+ ∠BCF= （∠ACB+∠BCF）＝90°，
2 2 2
∴CP⊥CD；故①正确；
延长CB，
∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，
∴BP平分∠ABH，
∴∠PBH＝∠BCP+∠P，
∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，
∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，
∴∠A＝2∠P，
1
即：∠P= ∠A，故②正确；
2
假设BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠DCF＝∠A，
∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
而△ABC中，∠A＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴假设不成立，故③错误；
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
1
∴∠D＝90°− ∠A，故④正确；
2
∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，
1
∴∠A= ∠EBC，
2
1
∵∠EBD= ∠EBC，
2
∴∠EBD＝∠A，
∴PD∥AC．故⑤正确；
所以答案是：①②④⑤．
23．Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EO∥AB，
FO∥AC，若S△ABC ＝32，则△OEF的周长为 8 ．
试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定
义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE
即可得到结论．
答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC ＝32，
1
∴ BC2＝32，
2∴BC＝8，
∵OE∥AB
∴∠ABO＝∠BOE
∵OB平分∠ABC
∴∠ABO＝∠OBE
∴∠ABO＝∠BOE
∴BE＝OE，
则同理可得OF＝CF，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．
所以答案是：8．
24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于
点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的
中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有 ②④ ．（只填序号）
1 1
试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC= ∠ABC，∠ACD＝∠DCB= ∠ACB，然
2 2
后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平
行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝
∠FDC，进而利用等角对等边可得 ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得
ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．
答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
1 1
∴∠ABD＝∠DBC= ∠ABC，∠ACD＝∠DCB= ∠ACB，
2 2
∵∠ABC≠∠ACB，
∴∠DBC≠∠DCB，
∴DB≠DC，
故①不正确；
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴△BED和△CFD都是等腰三角形，
故②正确；
∵EB≠FC，
∴ED≠FD，
故③不正确；
∵EB＝ED，FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC，
故④正确；
综上所述：上列结论其中正确的有②④，
所以答案是：②④．
八．等边三角形的判定与性质
25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝ 7
．
试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出BM＝EM＝BE
＝5，从而得出BN的长，进而求出答案．
答案详解：解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM为等边三角形，
∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，
∵DE＝2，
∴DM＝3，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
1 3
∴NM= DM= ，
2 2
3 7
∴BN＝BM﹣MN＝5− = ，
2 2
∴BC＝2BN＝7．
所以答案是：7．
26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段
AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出 AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出
∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出
即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
{
AC=BC
∠ACD=∠BCE，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，1 1
∴AM= AD，BN= BE，
2 2
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
{
AC=BC
∠CAM=∠CBN，
AM=BN
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE
中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
答案详解：（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
九．直角三角形斜中线的灵活运用。
28．如图，Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D 是 AB 上一点（不与 A、B 重合），
DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
1
试题分析：由直角三角斜边上的中线性质得出PA＝PC= CD，由等腰三角形的性质和三角形的
2
外角性质得出∠APD＝2∠ACD，同理得出∠DPE＝2∠DCB，PA＝PE，再证出∠APE＝2∠ACB
＝60°，即可得出结论．
答案详解：解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
1
∴PA＝PC= CD，
2
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
1
同理：在Rt△CED中，PE＝PC= CD，∠DPE＝2∠DCB，
2
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．
29．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．
如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．
相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．
下面让我们用演绎推理证明这一猜想．
1
已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD= AB．
2
定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半”的证明．
定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边
上的中线，DG垂直平分CE．求证：∠B＝2∠BCE；
（2）在（1）条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD．当△DEF是等边三角形，且BD
＝3时，△DEF的周长为 9 ．
试题分析：定理证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，
根据矩形的性质即可证得结论；
（1）连接DE，由线段线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得∠DEC＝∠BCE，由直
角三角形斜边的中线和等腰三角形的性质证得∠B＝∠BFE，根据三角形外角定理及等量代换即可证得结论；
（2）证得△BDE和△CDF都是等边三角形，即可求得结果．
答案详解：解：定理证明：
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，
1
则CD= CE，
2
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴ ▱ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
1
∴CD= AB；
2
（1）连接DE，
∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∵AD⊥BC，
1
∴DE= AB＝AE＝BE，
2
∴∠B＝∠BDE，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠BDE＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE；
（2）由（1）得DE＝BE，
∵BF⊥AC，AD⊥BC，点E是AB中点，
∴EF＝BE＝DE，
∵DE＝DC，EF＝CF，
∴DE＝DC＝EF＝FC，
∴四边形EFCD是菱形，∵△DEF是等边三角形，
∴∠FED＝60°，DF＝DE，
∴DF＝CF＝CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠CDF﹣∠EDF＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝3，
∴等边△DEF的周长为9，
所以答案是：9．
十．度数的录用--直角中的30°
30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，E是AC的中点，DE⊥AC交AB于D，连接
CD．若AD＝8，BD的长等于 1 2 ．
试题分析：先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝30°，再利用线段垂直平分线的性质可
得DA＝DC＝8，从而可得∠ACD＝∠A＝30°，进而可得∠BCD＝30°，然后利用含30度角的直
1
角三角形的性质可得BD= CD＝4，最后进行计算即可解答．
2
答案详解：解：∵∠B＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝30°，
∵E是AC的中点，DE⊥AC，∴DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC＝8，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
1
∴BD= CD＝4，
2
∴AB＝AD+BD＝12，
所以答案是：12．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 2 5 ．
试题分析：由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得∠DAC的度数，由含30°角的直角
三角形的性质可求解CD的长，利用三角形的面积公式可求解△ABC的面积．
答案详解：解：∵AB＝AC，∠ABC＝15°，
∴∠ACB＝∠ABC＝15°，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝30°，
∵AB＝AC＝10，
1
∴CD= AC＝5，
2
1 1
∴△ABC的面积为： AB⋅CD= ×10×5=25．
2 2
所以答案是：25．
