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专题 27.2 相似三角形的判定与性质
1.理解相似三角形的判定定理，会选择恰当的方法判定两个三角形相似；
2.理解相似三角形的性质定理，会利用性质定理解决问题；
3.能运用相似三角形的知识求出不能测量的物体的长度和高度问题，利用图相关的相似解决一些简单的实
际问题
一、相似三角形的相关概念
在 和 中，如果 ， ，我们就说
与 相似，记作 ， 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
注意：①书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ，则说明点 的对
应点是 ，点 的对应点是 ，点 的对应点是 ；②对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三
角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
二、相似三角形的判定
1.判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
2.判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
3.判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相
似；
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边
的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：
5.要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若
有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似
三、相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ，则
由比例性质可得：
A A
B C
B C
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二， ，则 分别作出 与 的高 和 ，
1 1
BCAD kBCkAD
S △ABC 2 2 =k2
S 1 1
△ABC BCAD BCAD
则 2 2
A A
B D C
B D C
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
考点01根据图形数据判断三角形相似
例1．如图， 中， ．将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与
原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．变式1-1．已知在 中， ， ， ，下列阴影部分的三角形与原 不相似的是
（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．如图，已知A、B、C、D四张三角形卡纸的边长都是 ， ， ，若按图中标
注的数据沿虚线剪一下，则剪得的小三角形卡纸与原三角形卡纸不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-3．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（ ）A． B． C． D．
考点02补充条件使两个三角形相似
例2．如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定 的是（
）
A． B． C． D．
变式2-2．如图，在 中，D，E分别是 ， 上的点，请你添加一个条件 ，使得
．变式2-3．如图，在正方形 中，E是边 的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定
，还需添加的一个条件是 ．
考点03证明相似三角形
例3．如图，点 是平行四边形 的边 延长线上一点，连接 ，交 于点 ．写出图中任意一
对相似三角形，并说明理由．
变式3-1．已知：如图，在 中，D、E分别在边 上，连接 ， ， ， ，
，求证： ．
变式3-2．如图，在 中， ， ，点D，E分别是 ， 上的点，且
，求证： .变式3-3．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，点 是边 上一点， 于点
，连接 ．求证： ．
考点04利用相似三角形的性质求线段
例4．如图，菱形 ，点M，N在AC上， ， ．若 ， ，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式4-1．如图，在 中， ， ， ， ．求 的长．变式4-2．如图，已知 是 的直径，C是 上一点， ，垂足为D，连接 ，过点A作
的切线与 的延长线相交于点E．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为4， ，求 的长．
变式4-3．如图，已知矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点B落在 边上的P点
处．已知折痕与边 相交于点O，连接 ， ， ．
(1)求证： ．
(2)若 与 的面积比为 ，求边 的长．
考点05利用相似三角形的性质求面积、周长
例5．如图，四边形 中，对角线 和 相交于点 ， ， （字母“ ”表示面
积），则 的值是（ ）．A． B． C． D．
变式5-1．如图， ， ，则 ．
变式5-2．已知两个相似三角形的周长比为 ，那么这两个相似三角形的面积比为 ．
变式5-3．如图，在 中， 是高，矩形 的顶点 、 分别在 、 上， 在 上，
交 于点 ．设 ， ， ，求矩形 的面积．
考点06利用相似求坐标
例6．如图，点 的坐标分别是 ，如果以点 为顶点的直角三角
形与 相似，则 点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
变式6-1．已知直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，且两直线的夹角为 ，则点 的坐
标为 ．
变式6-2．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，将 绕点O顺时针
旋转得到 ，使点A的对应点 在线段 上，连接 ，则
（1） 与 的位置关系是 ；
（2）求点 的坐标是 ．
变式6-3．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．若a，b
的值是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ．(1)直接写出 ___________， ___________
(2)若点P在y轴上，且 ，求点P的坐标．
考点07多结论问题
例7．如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 与 、
分别交于点 ．对于下列结论：① ；② ；③ ；
④ ．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式7-1．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 ， ，
连接 、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中正确的结论是 （填序号）．
变式7-2．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 的延长线分别交 于点 ，连接 与 相交于点H，给出下列结论：其中正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
变式7-3．如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边
与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ，有以下五个结论：① ；②
；③A、F、C三点共线；④若 ，则 ．你认为其中正确的是
．（填写序号）
考点08网格中的相似三角形
例8．如图，在由小正方形组成的方格纸中， 和 的顶点均在格点上，要使 ，
则点 所在的格点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
变式8-1．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点 都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，在边 上取一点 ，作出 的中线 ；
(2)在图2中，在边 上取一点 ，使得 ；
(3)在图3中，在线段 上取一点 ，在线段 上取一点 ，连结 使得 ．
变式8-2．校考阶段练习）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段
的端点在格点上，且 ．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中依次完成下列画图，保留
连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)作 ，使线段 ，线段 ；
(2)C为线段 的中点，画 ；
(3)选择适当的格点E，作 ；
(4)若 与 交于点F，则 的比（值）为______．
变式8-3．已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：图1 图2
(1)在图1中画 ，使得 ，且相似比为 ．
(2)在图2中画 ，使得 ，且面积比为 ．
考点09相似三角形的应用举例
例9．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触
到容器口边缘．图2是此时的示意图，若 ， ，水面 离桌面的高度为 ，则此时
点C离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， 和CB相交于点O，点
A，B之间的距离为 米， ，根据图2中的数据可得C，D之间的距离为 米．变式9-2．如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高 的竹竿 直立在离旗杆
的点 处（即 ），然后走到点 处，这时目测到旗杆顶部 与竹竿顶部 恰好在同一
直线上，又测得 两点间的距离为 ，小刚的目高（眼睛到地面的距离） 为 ，且
，点 在同一水平直线上，求旗杆 的高度．
变式9-3．学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑 的
高度（如图1）．如图2，在地面 上取 两点，分别竖立两根高为 的标杆 和 ，两标杆间
隔 为 ，并且古建筑 ，标杆 和 在同一竖直平面内，从标杆 后退 到 处，从 处
观察 点， 三点成一线；从标杆 后退 到 处，从 处观察 点， 三点也成一线．
请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
考点10相似三角形的动点问题
例10．如图，在 中， ， ，动点 从 点出发到 点止，动点 从 点出发到
点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 ， 两点同时出发，则当以点 ， ，
为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 ．变式10-1．如图，在 中， ， 于点D， ．点M从点A出发，沿
方向匀速运动，速度为 ；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为 ，运动
过程中始终保持 ．直线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．设运动时间
为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)设四边形 的面积为 ，求y与t之间的函数关系式：
(3)是否存在某一时刻t，使 若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
变式10-2．如图，在 中， ， ， ．点 从 点出发沿 向 点运动，
速度为每秒 ，同时点 从 点出发沿 向 点运动，速度为每秒 ，当点 到达顶点 时， 、
同时停止运动，设 点运动时间为 秒．
(1)当 为何值时， 是以 为顶角的等腰三角形？
(2)当 为何值时， 的面积为 ？(3)当 为何值时， 与 相似？
变式10-3．如图1，在等腰三角形 中， ， ，有两动点P、Q分别在边 、
上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时
出发，点P沿线段 按 方向向终点B运动，点Q沿线段 按 方向向终点C运动，当其中
一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
(1)如图1，当t为何值时， ；
(2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与 相似；
(3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得 的面积等于4？若存在，请求出 的值；若不存
在，请说明理由．
考点11相似三角形的判定与性质的综合
例11．如图，在 中，连接 ，点 是 上一点， ，连接 交 于点 ，若
，则四边形 的面积是 ．
变式11-1．将三角形纸片 按如图所示的方式折叠，使点 落在边 上，记为点 ，折痕为 ，
已知 ， ．若以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，则 的长度是 ．变式11-2．如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点 在边 上，以 为圆
心的圆经过 ， 两点， 交 于点 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为 ，求线段 的长．
变式11-3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别是 上的两点，连接 ， ，则 的
值为______；
(2)如图2，在矩形 中， ， ，点E是 上的一点，连接 ， ，且 ，则
的值为______；
(3)如图2，在矩形 中，若 ．点E是 上的一点，连接 ，且 ，点E是否为
的中点？请说明理由．基础过关练
1．如图，D是 中边 上一点，添加一个条件后，仍不能使 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形 ∽四边形 ，则下列角的度数正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 中， ， ， ， ，点 是边 上的一个动点，连接 ，
当 是直角三角形时， 的值是（ ）
A．2或 B． C．3或 D．34．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， 的圆心为点 ，半径为1．若 是
上的一个动点，线段 与 轴交于点 ，则 面积的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图， 中，D、E分别是 边上一点，连接 ．请你添加一个条件，使 ，
则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）．
6．如图， 的中线 和中线 相交于点G，如果 ，那么图中阴影部分的面积是 ．
7．如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联
结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）8．如图，正方形ABCD的顶点D在反比例函数 （x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线
AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为 ．
9．如图，已知 ，求证： ．
10．如图，在 中， ，点D在 上， 于点E．(1)求证： ；
(2) ， ，求 的长．
11．如图，在 的网格中，请按要求作图．
(1)在图1中画出线段 绕点 顺时针旋转 后的线段 ；
(2)图2中在 上作点 ，使 ．（保留作图痕迹）
12．如图，在 中， ， ．点 分别从 同时出发，沿 分别向
终点 移动．己知点 移动端的速度分别为 ．设 两点移动的时间为 ，当以
为顶点的三角形与 相似时，求 的值．
能力提升练
1．在 中， ，用直尺和圆规在边 上确定一点 ，使 ，根据作图痕迹判断，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，正方形纸片 的边长为2，翻折 ，使两个直角的顶点重合于对角线 上一
点 分别是折痕（如图2）．设 ，给出下列判断：①当 时，点 是正方形
的中心；②当 时， ；③当 时，六边形 面积的最大值是3；④
当 时，六边形 周长的值不变．其中正确的选项是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③
3．如图，将等边 折叠，点 落在 边上的点 处，折痕交 于 ，交 于 ．若 ，
，则 的长是（ ）A． B．2 C． D．
4．如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点（不与点A， 重合），
连接 ， ．若 ，则 的值是 ．
5．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同
一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度 ，淇淇与镜
子的水平距离 ，镜子与旗杆的水平距离 ．
（1） 与 是否似？ （填“是”或“否”）；
（2）旗杆高度 为 ．
6．如图是一张矩形纸片 ，在 上任意取一点 ，将 沿 折叠，若点 恰
好落在对角线 上的点 处， ．7．在平面直角坐标系中，已知 ，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动；
点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．如果 同时出发，用 表示移动的时间
，
(1)用含 的代数式表示：线段 ； ．
(2)当 为何值时 的面积为 ？
(3)当 与 相似时，求出 的值．
8．如图，点 是正方形 的对角线 延长线上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，
连接 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；(2)若正方形 的边长为 ，点 为 的中点，求 的长．
