文档内容
专题06 相似三角形的判定与性质（10大题型）
【题型目录】
题型一 证明两三角形相似
题型二 选择或补充条件使两个三角形相似
题型三 重心的有关性质
题型四 相似三角形的判定与性质综合
题型五 利用相似三角形的性质求解
题型六 证明三角形的对应线段成比例
题型七 利用相似求坐标
题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形
题型九 相似三角形——动点问题
题型十 相似三角形的综合问题
【知识梳理】
知识点一、相似三角形的判定
平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
预备定理
三角形相似．
有两个角对应相等的两个三角形相似．
判定1
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定2
判定3 三边对应成比例的两个三角形相似若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比
例，那么这两个直角三角形相似．
直角三角形
的特殊判定
知识点二、相似三角形的性质
性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形的周长比等于相似比。
∽ ，则
由比例性质可得：
性质2
A'
A
B C B' C'
类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
∽ ，则 分别作出 与 的高
性质3 1 1
BCAD kBCkAD
和 ，则 S △ABC 2 2 =k2
S 1 1
△ABC BCAD BCAD
2 2A'
A
B D C B' D' C'
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。
性质4
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。
【经典例题一 证明两三角形相似】
1．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在矩形 中，E，F分别是 ， 上的点，若
，则一定有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根
据相似三角形的判定即可得出答案．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，选项C正确；
与 、 与 、 与 都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形，故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
2．（2023上·上海闵行·九年级校考期中）如图，已知 是 中的边 上的一点， ，
的平分线交边 于 ，交 于 ，那么下列结论中错误的个数是（ ）
（a） ；（b） ；
（c） ；（d） ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．故（c）正确．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．故（b）正确．
∴ ，
∴ ，
∴ ．故（d）正确．
而不能证明 ，故（a）错误．
∴错误的有 个，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角
形的对应边和对应角．
3．（2023下·九年级课时练习）如图，不等长的两条对角线 相交于点 ，且将四边形 分成
甲、乙、丙、丁四个三角形．若 ，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有
．【答案】乙和丁
【详解】 ．
【易错点分析】容易误认为 ，条件 中， 是 ， 是 ，
不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定 ．
4．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形 中，点E在 上， ， 与
相交于点O， 与 相交于点F．
（1）若 平分 ，则 与 是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）图中与 相似的三角形有 （写出两个即可）
【答案】 是 ，
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出．
【详解】（1）如图，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：是；
（2）∵ ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．
5．（2023上·河北沧州·九年级校联考期中）如图，矩形 中， ， ，点 为 边上一动
点， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大．
（1）根据矩形的性质，可得出 ，从而得出 ，利用两角对应相等
的三角形相似得出结论；
（2）由 ，得 ，得出 ，由等面积法得出 的长．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】
1．（2023上·北京延庆·九年级统考期中）如图，点 是 的边 上一点，要使得 与 相
似，添加一个条件，不正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若 ，则 ，故选项A不合题意；
若 ，则 ，故选项B不合题意；
若 ，则 ，故选项C不合题意；
若 ，不能证明 ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
2．（2023上·山东滨州·九年级校考期末）如图，在 中， 是 上一点，连接 ，添加下列条件
中的一个，不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 ， ， ，故本选项不符合题意；
B、根据 ， ，不能判断 ，故本选项符合题意；
C、 ， ， ，故本选项不符合题意；D、 ， ， ，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
3．（2022上·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，在 中， 是 边上一点，连接 ，要使
与 相似，应添加的条件是 ．
【答案】 或 或 或 ．
【分析】根据公共角 ，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹 的两组对应边成比例．
【详解】∵公共角 ，
当 或 时， ；
当 时， ，
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相
等，那么这两个三角形相似．
4．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在 中，直角边 上有一动点 （不与点
重合）．过 点作直线截 ，使截得的三角形与 相似，则满足这样条件的直线共有
条．
【答案】4
【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
【详解】解：如图：
①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；
②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB
③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；
④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB．
故答案为：4
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两
边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．
5．（2022·浙江杭州·统考一模）在① ，② ，③ 这三个条
件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形 的两条对角线交于 点，若 （填序号）
求证： ．
【答案】①，证明见解析或②，证明见解析．
【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似．
【详解】解：选择条件①的证明为：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；选择条件②的证明为：
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．
【经典例题三 重心的有关性质】
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是 的重心，点D是边 的中点， 交 于点
E， 交 于点F，若四边形 的面积为6，则 的面积为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】连接 ,根据三角形重心的性质可知：P在 上，由三角形中线平分三角形的面积可知：
，证明 和 ,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接 ，
点P是 的重心，点D是边 的中点，P在 上，
，
，
，，
，
，
，
设 的面积为m，则 的面积为 ， 的面积为 ，
四边形 的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解
题的关键．
2．（2022上·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如图，在 中，中线 相交于点G，下列说
法错误的是（ ）
A．点G为 的重心 B．
C．当 为等边三角形时， D．
【答案】D
【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到 ，可判断选项
C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D．
【详解】解：A、∵ 的中线 相交于点G，
∴点G为 的重心，故选项A正确，不符合题意；B、∵点G 为 的重心，
∴ ，即 ，故选项B正确，不符合题意；
C、∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故选项C正确，不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三
角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 ．
3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）若抛物线经过原点和点 及点 ，
点C是x轴上一点，当 的重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，三角形重心的性质，解题的关键是熟练掌握三角形重心的性
质．先根据待定系数法求出抛物线的解析式为 ，然后根据重心的性质得出 ，最
后代入抛物线解析式求出结果即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，把 ， ， 代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ 的中点坐标 ，
∵ 为 的重心，
∴ ，
∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标为0，
∴点G的纵坐标为： ，
∵点G在抛物线上，
∴把 代入 得： ，
解得： ，
∴点G的坐标是： ．
4．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， ，点 F是 的
重心， ，则 ．【答案】
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出 ，再根据等腰三角形三线
合一的性质求出 ， ，然后利用利用勾股定理列式求出 ，再次利用三角形的重心到顶点的
距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．
【详解】解：先证明：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍；
由点 为 的重心（即：点 为 三条中线 、 、 的交点），
则由三角形中线性质可得： ， ， ，
， ，则 ， ，
∴ ，
则 ，即： ，
同理可得： ， ，
即：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍；
解：∵点 是 的重心，
∴ ，
∵ ， 是中线，
∴ ， ，在 中，由勾股定理得， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的
距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键．
5．（2023上·浙江金华·九年级校考期中）如图在 的网格中， 的顶点都在格点上，仅用无刻度的
直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表
示）
(1)在图1中，画出 的重心G；
(2)在图2中，画线段 ，点E在 上，使得 ；
(3)图3中，在 内寻找一格点N，使 ，并标注点N的位置．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）画出三角形两边的中线，交点即为重心；
（2）取格点M，N，连接 交 于点E，连接 即可；
（3）取点D，连接 ，则 ，根据三边成比例可得 ，则 ，点N
即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，中线 和重心点G即为所作；（2）解：如图所示， 即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线，相似三角形等知识，灵活运用所学知识是解
题的关键．
【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】
1．（2023上·辽宁朝阳·九年级校联考期中）如图，矩形 中，对角线 、 交于点O，
于点E， ， ， （ ）cm
A．10 B．8 C．9 D．12
【答案】D【分析】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明
是解题的关键．设 ，则 ，由矩形的性质及 得
，则 ，即可判定 ，再根据相似
三角形的性质得 ，进而可得关于n的一元二次方程，即可求出 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
四边形 是矩形， 于点E， ，
，
，
，
，
，
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
，
．
2．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，点E在正方形 的对角线 上， 于点
F，连接 并延长，交边 于点M，交边 的延长线于点G．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例得出 ，根据 ，得出 ，则
，进而可得 ，根据 ，得出 ，根据相似三角形的性质得出，进而在 中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在 中， ，点 为 边上
一动点（不与点 重合），过点 作射线 交 于点 ，使 ．当 为直角三角形时，
则 的长为 ．【答案】4或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，
解题的关键是：（1）通过角的计算找出 ；（2）分 及 两种情况考
虑．
根据 可得出 ，由三角形的内角和定理结合平角等于 ，即可找出 ，
进而证出 ，根据相似三角形的性质可得出 为直角三角形，分 及
两种情况考虑，①当 时，根据等腰三角形的性质可求出 的长度；②当
时，利用解直角三角形可求出 的长度．综上即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，
∴ 为直角三角形．
①当 时，如图1所示．
∵ ，
∴ ；
②当 时，如图2所示．
∵ ，∴ ，
∴ ，
综上所述：当 为直角三角形时， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
4．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在正方形 中， 是 的中点，并按以下步
骤作图：分别以 和 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作直线 交 于点 ，
则 的长为 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，设 与 交
于点O，证明 ，根据相似三角形的性质得出等式代入相关数据即可求解．
【详解】解：由作法可知，直线 为线段 的垂直平分线，
，
设 与 交于点O，
则 ，
又 ，
，，
，E是 的中点，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
5．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）（1）问题
如图1，在四边形 中，点 为 上一点， ．求证： ．
（2）探究
如图，在四边形 中，点 为 上一点，当 时，上述结论是否依然成立？说明
理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题
如图3，在 中， ， ，点 以每秒 个单位长度的速度，由点 出发，沿边 向
点 运动，且满足 ．设点 的运动时间为 （秒），当以 为圆心， 为半径的圆与 相
切时，请直接写出 所满足的等量关系式．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论 仍然成立；理由见解析；（3） 或
【分析】（1）由 ，得到 ，可证 ，利用三角形相似的
性质，得到答案．（2）由 ，得到 ，可证 ，利用三角形相似的性质，得到
答案．
（3）过点 作 于点 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ，
由题得到 ，则有 ，得到 ，根据 ，得到答案．
【详解】（1）证明：如图，
，
， ，
，
，
．
（2）结论 仍然成立．
理由：如图，
， ，
．
，
，
，
．
（3）如图，过点 作 于点 ，， ，
，
由勾股定理得： ，
以点 为圆心， 为半径的圆与 相切，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 所满足的等量关系式为： 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾
股定理，掌握相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解答本题的关键．
【经典例题五 利用相似三角形的性质求解】
1．（2023上·内蒙古包头·九年级统考期中）如图，在 纸片中， ，
分别在 上，连结 ，将 沿 翻折，使点 的对应点 落在 的延长线上，若 平分
，则 ( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出 ，再根据折叠性质得出 ， ，然后根据角平分线
的定义证得 ，进而证得∠BDF=90°，证明 ，可求得 的长，
根据 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
由折叠性质得： ， ，则 ，
平分 ，
，
，
，即∠BDF=90°，
，
即 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定
理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
2．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）将一张三角形彩纸 按如图所示的方式折叠，使点B落在边
上，记为点F，折痕为 ．已知 ， ，若以点C，D，F为顶点的三角形与 相
似，则 的长是（ ）A． B． C． 或4 D． 或4
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到 ，设 ，
则 ，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到 的长，找到
边长之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ 沿 折叠， 和F重叠，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
当 时，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当 ，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ；当 时，同理可得 ，
故 或4，
故选：D．
3．（2011·浙江·九年级统考期中）如图，在 中， ，动点 从 点出发到 点止，
动点 从 点出发到 点止，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ．若 两点同时出发，
则当以点 为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 s．
【答案】3或4.8
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：① 与 对应；②
与 对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则 ．
①当D与B对应时，有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当D与C对应时，有 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与 ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s，
故答案为：3s或4.8s．
4．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在 中， ，点D在 边上．连接
，将 沿直线 翻折，点B落在点E处， 交 边于点F．已知 ，若 为
直角三角形，则 的面积为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，相
似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例，是解题的关键．根据题意进行分类讨论①当
时，延长 ，交 于点G，根据折叠的性质得出 ，则
，推出 为等腰直角三角形，则 ，进而得出 ，在
证明 ，得出 ，根据三角形面积公式求解即可；②当 时，此时
点F和点C重合，求出 ，根据折叠的性质得出 ， ，则
，再证明 ，求出 ，
根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：①当 时，延长 ，交 于点G，
∵ 沿直线 翻折得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，此时点F和点C重合，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
，综上： 的面积为 或 ．
故答案为： 或 ．
5．（2023上·广西百色·九年级统考期中）在矩形 中，E为 边上一点，把 沿 翻折，使
点D恰好落在 边上的点F处．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定：
（1）根据四边形 是矩形，得出 ，由翻折可得： ，可以得出
，即可证出结论；
（2）由翻折可得： ，根据勾股定理得出 ，利用 得出
，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，由翻折的性质得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由翻折的性质得： ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由（1） ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【经典例题六 证明三角形的对应线段成比例】
1．（2023下·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．
如图，已知 ，则 ，若规定 为单位线段1，则 ，若规定 为单
位线段1，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，根据比例的性质可得 ，即 ，由于
规定 为单位线段1，则 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵规定 为单位线段1，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在 中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H
分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等.
【详解】解：A选项： ，
.
，
.
.
A选项正确，不符合题意.
B选项： ，，
， ，
四边形 为平行四边形.
.
.
B选项正确，不符合题意.
C选项： ， ，
C选项不正确，符合题意.
D选项： ， ，
， ，
，
，
.
D选项正确，不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和
判定.
3．（2015·山东枣庄·九年级学业考试）如图，在 中，若 ， ， ，则 的长
为 .
【答案】8
【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．
4．（2021·四川自贡·统考一模）如图，在Rt 中， ， ， ，以点 为圆心，2
为半径的圆与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．点 是边 上的动点．当 最小时，
的长为 ．
【答案】
【分析】延长CO交 于点E，连接ED，交AO于点P，此时 可以转化为 ，
三点共线取到最小值．
【详解】解：如图，延长CO交 于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小，
，
， ，
，
，
为公共边，
，
，，
当 三点共线时取到最小值，
，
，
即 ,解得： ，
又 ，
，
即 ，
解得： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定
理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解．
5．（2023·吉林四平·校联考三模）在 中， ， 分别为 ， 上一点， ， 交于点 ．
(1)设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ．
①如图①，连接 ．若 ，求证： ；
②如图②，若 ， ，求 的值．
(2)如图③，若 ， ， ， ，直接写出 的值．
【答案】(1)①见解析；②(2)
【分析】（1）①由 可证 ，即可证 ，可进一步推出结论；②连接
，作 于点 ，作 于点 ，过点 作 于点 ．可证 ，推出
，设 ，则 ，则可分别求出 ， 的长，即可求出结论；
（2）过点 作 ，且 ，连接 ， ，构造平行四边形 ，证 ，推出
，证明 再证明 为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出 的值．
【详解】（1）解：① ，
， ．
，
，即 ．
又 ，
，
．
如图②，连接 ，作 于点 ，作 于点 ，过点 作 于点 ．
，
，又 ，
，
．
又 ，
，
，
，
设 ，则 ，
．
（2）
如答图（2），过点 作 ，且 ，连接 ， ，
则四边形 为平行四边形．
，
．
，
，．
又 ，
，
，即 ．
，
．
，
设 ， ，
则在 中， ．
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，
并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
【经典例题七 利用相似求坐标】
1．（2022·九年级单元测试）平面直角坐标系中有一直线 ，先将其向右平移3个单位得到 ，
再将 作关于x轴的对称图形 ，最后将 绕 与y轴的交点逆时针旋转 得到 ，则直线 的解析式为
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A【分析】直线 ，先将其向右平移3个单位得到 ，取两点（0，11），
（1，9），求得其关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，待定系数法确定 的解析式为y=2x-11，确定与y轴
交点（0，-11），根据 与 垂直，利用相似和待定系数法确定 的系数为 ，从而得到解析式
．
【详解】根据直线 ，先将其向右平移3个单位
得到 ，
取两点（0，11），（1，9），
所以关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，
设解析式为y=kx+b，
所以 ，
解得 ，
所以 解析式为y=2x-11，
所以与y轴交点A（0，-11），与x轴交点B（ ，0），
设 与x轴的交点为C，
所以OA=11，OB= ，
因为 绕 与y轴的交点逆时针旋转 得到 ，
所以∠OAC+∠OAB=90°，
因为∠OBA+∠OAB=90°，
所以∠OBA=∠OAC，
因为∠BOA=∠AOC=90°，所以 BOA∽ AOC，
△ △
所以 ，
所以 ，
解得OC=22，
所以点C（-22，0）
因为 过点（0，-11），
所以 的解析式为y=kx-11，
所以22k-11=0,
解得k= ，
所以 解析式 ．
故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法，轴对称，平移，旋转，熟练掌握待定系数法，理解旋转的性质和意义是
解题的关键．
2．（2022·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标
分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求
得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题
的关键．
3．（2021春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 、 ，
连接 ．动点P从点A开始在折线段 上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B
开始在线段 上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当 与
相似时，点P的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】由题意易得 ，然后可分情况进行讨论：①当 时，有
；②当 时，有 ；进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
当 与 相似时，则可分：
①当 时，有 ，如图所示：∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，有 ，如图所示：
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；综上所述：当 与 相似时， 或 ；
故答案为 或 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 在平面直角坐标系中， 与 轴交于点 ，已知点
， ， ， 是线段 上一点，连接 ，若 与 相似，则 的长为
．
【答案】2或4
【分析】 是一个直角三角形，若 与 相似，必须证明 是直角三角形，再用相似
三角形的性质即可求出点M的坐标．
【详解】如图，
∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴ ， ， ，
；∴ 是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
∽
∴
∴ =1
∴
当 时，CM=2；当 时CM=4，
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．
．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 是 轴上一
点．
(1) 上求作点 ，使得 ∽ 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ；
(2)在（1）的条件下， ， 是 的中线，过点 的直线交 于点 ，交 轴于点 ，当
时，求点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 于点 即可；
（2）求出直线 ，直线 的解析式，构建方程组求解．
【详解】（1）如图，点 即为所求；（2） ∽ ，
： ： ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
直线 的解析式为 ，
，
，
，
，
，
，直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，
【点睛】本题考查作图 相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐
标．
【经典例题八 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有 个斜三角形：① ，②
，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．在②～⑥中，与①相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是 ，分别求出五个三角形的三
边的比，符合这个结果就是与①相似的．
【详解】解：①三角形的三边之比是 ，
② 中， ，
③ 中 ，
④ 中，⑤ 中，
⑥ 中，
故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．
2．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，
与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判
定方法选择答案即可．
【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为 ，
观各选项， ，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三
角形的特点是解题的关键．
3．（2022春·九年级课时练习）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，则
∠ABC= ．
【答案】135°．
【分析】由题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，求出各边的边长，然后利用全等三角形的
判定和性质，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在网格中取格点D、E，连接BD、BE、DE，如图：
由勾股定理，则
， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE=90°+45°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是正确的确定格点，利
用全等三角形的性质进行解题．
4．（2021春·全国·九年级专题练习）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫
做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与
△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为 ．
【答案】 ；
【分析】根据小正方形的边长，分别求出 和 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用
三角形面积公式求解即可.
【详解】如图，
∵ ，∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟
练掌握三角形全等的判定是解题的关键.
5．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）在 中，
(1)如图1，P是 上的点，过点P作直线截 ，使截得的三角形与 相似．例如：过点P作
交 于D，则截得的 与 相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．
(2)如图2，Q是 上异于点B，C的动点，过点Q作直线截 ，使截得的三角形与 相似，直接
写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）
【答案】(1)见解析
(2)当 时，满足条件的直线有4条；当 时，满足条件的直线有3条【分析】（1）利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定
理过点P作两条，再利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过点P作两条．
（2）把Q点看成从C点出发到B点的动点，发现当Q点在某一个位置时，所作截的三角形与原三角形相
似的数量减少了一个，通过此时的临界条件把 的长度计算出来，进行分类说明．
【详解】（1）解：如图所示：
第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过
点P分别作 与 的平行线 与 ．分别得到 ， ．
第二种：利用两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别作 垂直 于点G，作 交
于点F，使 ．分别得到 ， ．
（2）解：
如图所示，假设点Q从点C开始往点B移动，由（1）可知，作 ，
得 ．作 交 于点F，使 ，得 ．
作 ，得 ．作 ，得 ．当移动到 位置时，此时出现点F于点A重合，此时是一个临界点，利用 得 ，则
，又此时 ，所以
该点往左移动，不能在三角形 内做出作 交 于点F，该点往右移动，可以在三角形 内做出
作 交 于点F，使 ．
故当 时，满足条件的直线有4条；
当 时，满足条件的直线有3条．
【点睛】本题通过画图综合性的考察了三角形相似的判定，作图时运用到了平行于三角形一边的直线和其
他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，两组对应角相等的两个三角形相似的判定定理．
在做此类试题时考虑必须全面，不能漏掉解．
【经典例题九 相似三角形——动点问题】
1．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
D为 的中点，若动点E以 的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒
（ ），连接 ，当以B、D、E为顶点的三角形与 相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5
【答案】C
【分析】求出 ，分两种情况：①当 时， ， ，得出
，即可得出 ；②当 时，证出 ，得出，因此 ，得出 ， ；即可得出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
分两种情况：
①当 时，
， ，
∵D为 的中点，
∴ ，E为 的中点， ，
∴ ；
②当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与 相似时，t的值为2或3.5；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似
三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．
2．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在 中， ，动点 从点 出发，沿折线
匀速运动至点 停止．点 的运动速度为 ，设点 的运动时间为 （ ）， 的长度为 （ ），
与 的函数图像如图2所示．当 恰好平分 时， 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作 的平分线 交 于点 ，先证 ，再证 ，利用相似三角形
的性质得出 ，即可求得 ．
【详解】解：如图1，作 的平分线 交 于点 ，由题意中的函数图像知 ，
， ，
，
平分 ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
解得： 或 （舍），
，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关
键是证明 ．
3．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形 ，长 ，宽 ，P、Q分别是 、 上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B
出发以2cm/s的速度沿 方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与 相似．
【答案】 或
【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与 相似，则要分两种情况进行分析．分别是
或 ，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可．
【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与 相似，
则 ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
①当 时，有 ，
∴ ，即 ，
解得 ；
②当 时，有 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴经过2秒或 秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与 相似．故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键．
4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在钝角 中， ， ，点 从 点
出发沿 以 的速度向 点移动，点 从 点出发沿 以 的速度向 点移动，如果两点同时移
动，经过 秒时， 与 相似．
【答案】3或
【分析】先分别求出 ， ，再分① 和② ，根
据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：设经过 秒时， 与 相似，
由题意得： ，
， ，
，点 从点 运动到点 所需时间为 ，点 从点 运动到点 所需
时间为 ，
，
①当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
②当 时，
则 ，即 ，
解得 ，符合题意；
故答案为：3或 ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．
5．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
于点D．点P从点D出发，沿线段 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段 向点A运动．
两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
(1)求线段 的长；
(2)设 的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得
？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)在运动过程中存在某一时刻 ，使得 ， 的值为：3或1.8；理由见详解
【分析】（1）由勾股定理求得 ，由三角形面积公式得出 ，即可得出结果；
（2）由勾股定理求得 ，过点 作 于 ，则 ，则 ，得出 ，
即 ，求出 ， ，即可得出结果； ， ，即
，进而求解即可
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
，解得： ；
（2）解：由（1）可得 ，
过点 作 于 ，如图所示：
，
，
，
，即 ，
，
；
，
，即： ，
整理得： ，
解得： ， ，
在运动过程中存在某一时刻 ，使得 ， 的值为：3或1.8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟
练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
【经典例题十 相似三角形的综合问题】
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形 ，分别以 、 为边向内作等边三角形
（图1）；分别以 、 为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将阴影部分分别分割成两个规则图形，图一可以分为两个梯形，图二可分成两个三角形，设设
=m，令AB=1,则AD=m，利用相似求出图形面积，结合面积比即可求出 ．
【详解】
设 =m，令AB=1,则AD=m，
∵两个正三角形以AD、BC为底，所得图形是对称图形，
∴EF所在直线平行AD与BC，
∴AM=BM= ，
∵∠HBE=90°-60°=30°，
∴AH= ，∴ME=
根据对称性关系可知EF=m-2× =m- ，HG=m-
∴梯形EFGH面积=
∴S= ，
1
同理根据图二可知
AK= ，△ABR的高为 ，
∴△QPR的高为 ，
根据△QPR∽△ABR，
求得PQ=
∴三角形PQR面积= ，
∴S= ，
2
∵ ，
整理得到： ，
∴化简求得m= 或 （舍弃），∴ = ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形、等边三角形有关知识，对知识的灵活运用要求较高，注重培养学生的
分析问题和知识综合运用能力．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图
①）；固定 ADC，把 ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的
距离AA′等于△（ ） △
A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2
【答案】A
【分析】设AA′=x，先证 AA'E∽△ADC，利用相似的性质用含x代数式表示出A′E，再根据阴影部分为平行
四边形利用面积建立二次△函数解析式，通过最值即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
设AA′=x，则DA′=2-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=2，
∵EA′∥CD，
∴△AA'E∽△ADC，
∴ ，
即 ，∴A′E= x，
∵EA′∥CD，CA′∥CA，
∴阴影部分为平行四边形，
∴阴影部分的面积：
S=EA′·DA′= ，
即当 ，阴影部分的面积最大为 ，
∴当平移的距离AA′=1时，两个三角形重叠部分的面积最大.
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平移的性质、相似的判定及性质、二次函数的最值.根据相似的性质得出
比例线段，并利用面积建立二次函数是解题的关键.
3．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将
△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝ BC，则点F到直
线AD的距离为 ．
【答案】 ．
【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到
，设出未知数，求解出答案即可．
【详解】解：过F作MN⊥BC，∵BE= ，BC=10，
∴BE=6，
∵翻折
∴△ABE≌△AFE，
∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8，
∴∠AFN+∠EFM=90°，
∵∠AFN+∠FAN=90°，
∴∠FAN=∠EFM，
∴△AFN∽△FEM，
∴ ，
设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6，
∴FN=8-3x，EM=4x-6，
∴ ，
∴ ，
经检验： 是原方程的根，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根
据折叠的性质证明出三角形相似．
4．（2023·山东德州·统考一模）在边长为4的正方形 中，E是 边上一动点(不与端点重合)，将
沿 翻折，点A落在点H处，直线 交 于点F，连接 ， ， 分别与AC交于点P、
Q，连接 ， ．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．
① ；② ；③ ；④ 为等腰直角三角形；⑤若连接 ，则
的最小值为 ．【答案】①②④⑤
【分析】①正确．由正方形 的性质可证明 ，可得结论；②正确．证明
，推出 ，推出 ，由 ，可
得结论；③错误．可以证明 ；④正确．利用相似三角形的性质证明 ，可得结论；
⑤正确．求出 ， ，根据 ，可得结论．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 沿 翻折，点A落在点H处，直线 交 于点F，
∴ ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，则 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 为等腰直角三角形，故④正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴P，E，D，F四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确，
将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误，
连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，连接 ， ，且 于点 ，若
， ，求 的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
(2)如图2，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，过点 作 于点 ，
交 于点 ，求 的值．
【灵活运用】
(3)如图3，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上，且 ，垂足为 ，则 __________________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明 ，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；
（2）构造矩形 ，延长 交 于点G，由（1）中结论可得： ， ，设 ， ，则
， ， ， ，再证明 ，则 ，即可求出
，即可求解；
（3）连接 ，构造如图所示矩形 ，过点N作 ，交 于点P，证明 ，
，根据 ，得出 ，设 ，则 ，
，得出 ，即可求出 ，由（1）中结论可得： ，
最后证明四边形 为平行四边形，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：构造如图所示矩形 ，延长 交 于点G，
由（1）中结论可得： ，
∵ ，
∴设 ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，在 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，则 ， ，
解得： ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：连接 ，构造如图所示矩形 ，过点N作 ，交 于点P，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
由（1）中结论可得： ．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答．
【重难点训练】
1．（2023上·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，C是半圆上一点， 是直径，将弓形沿 翻折交 于
点D，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅
助线并求出 是解题的关键．
连接 ，根据翻折的性质可得弧 所对的圆周角是 ，再根据弧 所对的圆周角是 ，
然后求出 ，过点C作 于E，根据等腰三角形三线合一的性质及相似三角形的判定和性质
求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
根据折叠的性质，弧 所对的圆周角是 ，
∵弧 所对的圆周角是 ， ，
∴ （相等的圆周角所对的弦相等），
过点C作 于E，
则 ，
∴ ，
∵ 是直径，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 中， = ，
故选B．
2．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在 中， 为坐标原点，直角顶点 在 轴的正半
轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过 的中点 ，交 于点 ，连接 ．若
，则直线 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用 的长度表示出点B的坐
标是解题的关键，也是本题的难点．
设 ，根据点D在反比例函数图象上表示出 ，再根据相似三角形对应边成比例列式求出 ，然
后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示
出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【详解】解：设 ，
∵点D在 上，，
，
，
，
∴点 ，
∵点B是 的中点，
∴点B的坐标为 ，
∵点B在反比例函数图象上，
，
，
，
解得， ，
∴点B的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
所以，直线 的解析式为 ．
故答案为：C．
3．（2023上·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，在 中， 是斜边 的中点，
是线段 延长线上的一点，连接 与 交于点 ．给出下列结论：①若 ，则
；②若 ，则 ；③若 ，则 ．其中正确的是
（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的性质、直角三角形的性质，根据直角三角形的性质、三角形中位线定
理、相似三角形的判定与性质计算即可判断．
【详解】解：①∵
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，①正确；
②连接 ，
∵ ，
∴ 为 的中点，
又 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴
∴
∴ ，②正确；
③∵ ，E是斜边 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，③正确；
故选：D．
4．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在 中， ， ， ，点 ，
分别在边 ， 上，且 ，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，则 的长度为
（ ）
A．3 B． C． 或4 D．4或
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利
用勾股定理计算出 ，再讨论：当 时，则可证明 ，当 时，则
可证明 ，然后分别利用相似比求出对应的 的长．
【详解】解：如图，
， ， ，
，
当 时，
， ，
，，即 ，
解得 ，
当 时，
， ，
，
，即 ，
解得 ，
综上所述， 的长为4或 ．
故选：D．
5．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，在平行四边形 中，E是线段 上一点，连结
， ， 与 相交于点F，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先证 ，推出 ，再求出 ， 和 的高相等，因此 ，由此可解，证明 是解题的
关键．
【详解】解： 在平行四边形 中， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
故选C．
6．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，在 中， 于点M， 于点N，P为
边中点，连接 ，则下列结论：① ；② ；③若 ，
为等边三角形：④当 时， ．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，
等腰三角形三线合一的性质等知识点．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；再证明 ，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；如果 为等边三角形求得 ，推出 是等边三角形，得到
是等边三角形，而 不一定使等边三角形，故③错误；当 时 ，由P为
边的中点，得出 即可判断④正确．
【详解】解：①∵ 于点M， 于点N，P为 边中点，，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
②在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论②正确；
③∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
如果 为等边三角形，
则 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
则 是等边三角形，
而 不一定是等边三角形，故结论③错误；
④当 时，
∵ 于点N，
∴ ，
∴ ，
∵P为 边的中点，
∴ 为等腰直角三角形
∴ ，故结论④正确．
综上，①②④正确．
故选：B．7．（2023上·上海松江·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，则
与 的面积之比为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先判定 ,然后求得相似比，最后根据
相似三角形的性质即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ．
故答案为 ．
8．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，平行四边形 中，点E是边 上一点，若 ，
， 的面积是8，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题的关键．
证明 ，则 ，即 ，计算求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
故答案为： ．
9．（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，已知 中，D，E分别是 边上的点，
， ， 与 的延长线交于点F， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，通过作平行性构造“A”字相似和“8”字相似是解题关键．过
点A作 ，交 的延长线于点G，由等角的补角相等得 ，于是可证 ，
利用相似三角形的性质求出 ， ，由 可得 ， ，利用相
似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 交 的延长线于点G，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，GF＝27，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
10．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）如图，等腰三角形 中， ，底边 ，
点O为 的中点．将线段 绕点O旋转得到线段 ，连接 ．在旋转过程中，当 时， 的
长为 ．【答案】 或 / 或
【分析】（1）在旋转过程中， 有两种情况，分别是 在 右下方，P点恰好在线段 中点处，
由 可得 即可求解．
（2） 在 左上方， 三点恰好构成一个直角三角形通过勾股定理求解即可．
【详解】解：当 在 右下方时，如图：
，
，
点O为 的中点，
，
，
．
当 在 左上方时，过A作 ，如图：
等腰三角形 中，
， 为等腰三角形 的中线，
， ，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为： 或
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形，平行线的性质，解题关
键是判断P的落点情况，用分类讨论的方法求解．
11．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，在 中， ． 是中线，
过点 作 ，垂足为点 ，与 相交于点 ，若 ， ，则 的长是
．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上中
线的性质得出 ，则 ，再由 ，可证明 ，进而求得
，即 ，然后证得 ，根据相似三角形的性质即可得出 的
长．【详解】解： ， 是斜边 上的中线，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
∴ ，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
12．（2021上·广东深圳·九年级统考期中）如图，在正方形 中，以 为腰向正方形内部作等腰
（ ），点 在 上，且 ．连接 并延长，与 交于点 ，与 延长线交
于点 ．连接 交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题
的关键．设 ， ，作 于 ，根据正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，用含有 的
代数式表示出三角形的面积，得到答案．
【详解】解： 四边形 为正方形，
， ，
，
设 ， ，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
如图，作 于 ，即可得到 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
13．（2023上·上海·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，已知在 中， 是
的中线， ，点 在边 上， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，
（1）根据 ，得到 ，进而得到 ，再结合 ，从而可得结论；
（2）先证明 ，可得 ，可得 ，再证明 ，可得
，可得 ，从而可得答案．
熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
【详解】（1）证明： ，
，
，
又 ，
，
；
（2） ，
．
，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
， ，
，
，
，
由①②可得， ．
14．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知 ，为了求
边 的长，小亮想出了一个好办法：将边 反向延长至点 ，使 ，连接 ，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出这对相似三角形，并进行证明；
(2)求边 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角．
（1）由等边对等角求得 ，再推出 ，即可证明 ；
（2）利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解： ．
证明： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
∵ ，
∴ ．15．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）如图，折叠矩形 的一边 ，使点 落在边 上的点
处，已知折痕 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求矩形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的特点、图形的折叠、相似三角形的判定定理及性质等内容．
（1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余
可得 ，进而可证明 ；
（2）利用相似三角形对应边成比例，再利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）证明：由题意易得 ，
．
（2）解：
设 ，
．
，
，
即 ，．
在 中，由勾股定理，得 ，
（负值已舍去），
矩形 的周长为 ．
16．（2023上·河南平顶山·九年级校考期中）如图1，在 中， ，点D、E
分别是边 的中点，连接 ，将 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
①当 时， ______；
②当 时， ______．
(2)拓展探究
试判断：当 时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
当 旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【答案】(1)① ；②
(2)当 时， 的大小没有变化
(3) 的长为 或
【分析】（1）①先根据勾股定理可得 ，再根据三角形的中位线定理求
得 、 ，然后代入计算即可；②先说明A，C，E共线，B，C，D共线，再证明 ，根据平行线等分线段定理可得 ，即 ，再代入相关数据即可解答；
（2）根据旋转的性质、中位线以及相似三角形可得 的大小没有变化，结合两边与夹角可以得到
，由此可以得到 的值；
（3）根据题目可知要分： 在 的上方和 在 的下方，两种情况进行分析，进而结合前
面得到的 的值即可解答．
【详解】（1）解：（1）①当 时， 中，
∴ ，
∵点D、E分别是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
②如图：当 时，
∵ ，
∴A，C，E共线，B，C，D共线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：① ；② ．
（2）解：当 时， 的大小没有变化，证明如下：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：①当 在 上方时，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
②如图：当 在 下方时，过点D作 的垂线交 于点Q，过点B作 的垂线交 于点P，
∵ ， ，
∴ ，
∵旋转前点D、E分别是边 的中点，
∴ ，∴ ，
由（2），可得 ，
∴ ．
综上所述，BD的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线等分线段定理、旋转的性
质等知识点，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
17．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在 中， ．将 绕点
顺时针旋转一定角度得到 ，点 在 上，点 在 的延长线上．
(1)填空：点 到 的距离为______；
(2)判断线段 与 的数量关系，并说明理由；
(3)当 时，求线段 的长．
【答案】(1)2
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点A作 于点K，根据平行四边形的性质可得 ，再根据等腰三角形的
性质可得 ，然后根据勾股定理，即可求解；（2）证明 ，即可求解；
（3）设 的延长线交 于点P，过C作 于点Q，证明四边形 是矩形，可得 ，
再根据三角形的面积求出 ，可得 ， ，再证得 ，可得
， ，由（2）得： ，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点A作 于点K，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即点 到 的距离为2；
故答案为：2；
（2）解：线段 与 的数量关系为 ，
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 的延长线交 于点P，过C作 于点Q，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由（2）得： 的面积为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，矩
形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，
矩形的判定和性质是解题的关键．
18．（2023上·江西吉安·九年级校联考期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了
关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知 是 的角平分线，可证 ．小慧的证明思
路是：如图②，过点C作 ， 交 的延长线于点E，构造相似三角形来证明 尝试证
明：
(1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明： ．
应用拓展：
(2)如图③，在 中， ，D是边 上一点，连接 ，将 沿 所在直线折叠，
点C恰好落在边 上的E点处．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得 ， ，从而证明 ，得 ，
再利用等腰三角形的判定证 ，即可得证；
（2）由折叠的性质得 ， ，结合（1）可知， ，从而由比例的性质得
，利用勾股定理得 ，从而得 即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵将 沿 所在直线折叠，点C恰好落在边 上的E点处，
∴ ， ，
由（1）可知， ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，∴ ，
∴ ；
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三
角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题得得关键．
