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专题 27.1 图形的相似
1.相似图形定义：形状相同的图形叫做相似图形。
2.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做
相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
3.性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【例题1】在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角 的大小．
【答案】x=31.5,y=27, =83°．
【解析】∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等．
∴ ，
∴ ．
．
【点拨】利用图形相似，对应边成比例，对应角相等的性质来进行解题。
【例题2】要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm和9cm，另一
个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】C．【解析】设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得： = ，
解得：x=4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．
【点拨】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
【例题3】所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？
【答案】见解析。
【解析】所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边
长都相等，因此对应边成比例．
所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定
相似．
1. 图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．
【答案】见解析。
【解析】不相似．
，而 ，不可能有“对应角
相等”．
2.已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和 的度数．
【答案】见解析。【解析】解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．
由于对应边成比例，所以 ．
所以 ．
由于对应角相等，所以
，
．
3.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC/CE的值．
【答案】3/5．
【解析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式BC/CE=AD/DF即可得到
结论．
∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
BC/CE=AD/DF=3/5
4.如图： 平分 交 于 ，求证： ．
E
A
1 2 3
B D C
【答案】见解析。
【解析】过 作 ，交 的延长线于 ．
∴ ， ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．
注意：过 作 的平行线，交 的延长线于 ．也可以证明。5.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
(1)求AD的长．
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【答案】（1）4 （2） /2
2 2
1 1
【解析】(1)由已知，得MN=AB，MD= AD= BC．
2 2
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
DM MN
AB BC
1
∴ AD2=AB2，
2
∴由AB=4得，AD=4
2
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为DM 2
AB 2
6.如图所示，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于
点P、Q。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR
【答案】见解析。
【解析】（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴PB=PR，
PC 1
=
RE 2
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ
又∵点R是DE中点，∴DR=RE。
PQ PC PC 1 ，∴QR=2PQ。
= = =
QR DR RE 2
又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ
∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2
7.如图，在四边形 ABCD与四边形 EFGH中，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，∠F=90°，∠G=120°，
∠H=70°，四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？
【答案】见解析。
【解析】给出错解和正解两种情况的分析。
错解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；
在四边形EFGH中，由∠F=90°,∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.
∴ ∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H.
∴ 四边形ABCD与四边形EFGH相似.
剖析： 不能准确地由相似形的定义判定相似.要判定两个图形是否相似，要看对应角是否相等，对应边是
否成比例，二者缺一不可.
正解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；
在四边形EFGH中，由∠F=90°∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.
∴ ∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，
∠D=∠H，但是根据已知条件无法判定对应边是否成比例.
∴ 四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似.
