文档内容
训练 31 圆锥曲线的综合问题
一、单项选择题
1．(2024·南宁模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为圆x2＋(y－1)2＝2的圆心，又经过
抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则AB等于( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 C
解析 由题可得抛物线焦点为(0,1)，则＝1，即p＝2，则抛物线方程为x2＝4y，
∵直线AB的倾斜角为60°，则其斜率为，故直线AB的方程为y＝x＋1，
联立直线与抛物线
可得x2－4x－4＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝4，xx＝－4，
1 2 1 2
则AB＝·＝16.
2．(2024·无锡模拟)已知F ，F 是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F 引
1 2 1
∠FPF 的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为( )
1 2
A．1 B．2 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵P是焦点为F，F 的椭圆＋＝1上的一点，PQ为∠FPF 的外角平分线，QF⊥PQ，
1 2 1 2 1
设FQ的延长线交FP的延长线于点M，∴PM＝PF，
1 2 1
∵PF＋PF＝2a＝10，∴MF ＝PF＋PF＝10，
1 2 2 1 2
∴由题意得OQ是△FFM的中位线，∴OQ＝5，
1 2
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，
∴当点Q在y轴上时，
Q与短轴端点取最近距离d＝5－4＝1.
3．(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂
足记为点N，点M(3,4)，则PM＋PN的最小值是( )
A．2－1 B.－1 C.＋1 D．2＋1
答案 A
解析 由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知PN＋PM＝PQ－1＋PM＝PF＋PM－1，
当F，P，M三点共线时，PM＋PN取得最小值，则最小值为MF－1＝－1
＝2－1.
4．(2023·桂林模拟)已知椭圆＋y2＝1的上顶点为 A，B，C为椭圆上异于 A的两点，且
AB⊥AC，则直线BC过定点( )
A．(1,0) B．(，0)
C. D.
答案 D
解析 设直线BC的方程为x＝ky＋m，B(x，y)，C(x，y)，则由
1 1 2 2
整理得(k2＋4)y2＋2mky＋m2－4＝0，
所以y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
xx＝k2yy＋mk(y＋y)＋m2＝k2·＋mk·＋m2，
1 2 1 2 1 2
因为A(0,1)，AB＝(x，y－1)，AC＝(x，y－1)，AB⊥AC，
1 1 2 2
所以AB·AC＝xx＋(y－1)·(y－1)＝xx＋yy－(y＋y)＋1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝k2·＋mk·＋m2＋＋＋1＝0，化简得2km＋5m2－3k2＝0，解得m＝－k或m＝k，
当m＝－k时，直线BC的方程为x＝ky－k＝k(y－1)，直线过点A(0,1)，而A，B，C不在同
一直线上，不符合题意；
当m＝k时，直线BC的方程为x＝ky＋k＝k，直线过定点，符合题意．
当直线BC与y轴垂直时，易得直线BC的方程为y＝－，即过定点.
综上，直线BC过定点.
二、多项选择题
5．(2023·南京模拟)定义曲线Γ：＋＝1为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的伴随曲线，则( )
A．曲线Γ有对称轴
B．曲线Γ没有对称中心C．曲线Γ有且仅有4条渐近线
D．曲线Γ和椭圆C有公共点
答案 AC
解析 x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；
坐标原点为伴随曲线的对称中心，故B错误；
x＝±a，y＝±b为伴随曲线的4条渐近线，故C正确；
椭圆的范围：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]，
伴随曲线的范围：|x|>a，|y|>b，
显然曲线Γ和椭圆C没有公共点，故D错误．
6．(2024·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶
1 2
点分别为A，A，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
1 2
A．|PA－PA|＝2a
1 2
B．若焦点F 关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
2
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA 的斜率与直线PA 的斜率之积为1
1 2
D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠APA＝3∠PAA，则∠PAA＝
1 2 1 2 1 2
答案 BCD
解析 对于A，在△PAA 中，根据三角形两边之差小于第三边，
1 2
得|PA－PA|0)，
设P(x，y)(y≠0)，
0 0 0
则x－y＝a2，则x－a2＝y，
故 ＝·＝＝1，故C正确；
对于D，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠APA＝3∠PAA，
1 2 1 2
设∠PAA＝θ，∠APA＝3θ，
1 2 1 2
则∠PAx＝4θ，
2
根据C的结论 ＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故θ＋4θ＝，θ＝，故D正确．
三、填空题
7．抛物线x2＝2py(p>0)的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，则p＝__________.
答案 2
解析 由题意，圆(x－3)2＋y2＝10的圆心坐标为(3,0)，半径为r＝，
又由抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为
l：y＝－，
抛物线x2＝2py的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，
可得圆心(3,0)到准线l的距离为＝＝，解得p＝2.
8.(2024·苏州模拟)设F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点，过F 作x轴的垂线与
1 2 2
C交于A，B两点，若△ABF 为正三角形，则a的值为________．
1
答案
解析 F，F 分别是椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点，
1 2
则a2－c2＝2，①
过F 作x轴的垂线与C交于A，B两点，
2
因为△ABF 是等边三角形，
1
所以AF＝FFtan 30°＝c，
2 1 2
则A，代入椭圆方程可得＋＝1，②
由①②，结合a>c>0可得
四、解答题
9．(2024·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶
点分别为A，B，其图象经过点(，1)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点E，F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证：∠EAF＝∠EBF.(1)解 由双曲线C的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线C的方程为x2－y2＝λ，
由题意可得λ＝()2－12＝2，因此，双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 设点E(x，y)，F(x，y)且x>x>0，
1 1 2 2 1 2
tan∠EAF＝tan(∠EAB－∠FAB)
＝＝
＝，
由已知可得x－y＝2，则(x－)(x＋)＝y，则＝，
1 1
同理可得＝，
tan∠EBF＝tan(∠xBF－∠xBE)＝
＝＝
＝＝tan∠EAF，
易知∠EAF，∠EBF∈(0，π)，故∠EAF＝∠EBF.
10．(2024·衡阳模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率
为，AB＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为－.
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ面积的最大值．
(1)解 ∵e＝，AB＝，
∴a2＝4c2，a2＋b2＝7，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①证明 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，
由
消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
又A(－2,0)，由题知k ·k ＝·
AP AQ
＝－，
则(x＋2)(x＋2)＋4yy＝0，且x，x≠－2，
1 2 1 2 1 2
则x·x ＋2(x ＋x)＋4＋4(kx ＋m)(kx ＋m)＝(1＋4k2)xx ＋(2＋4km)(x ＋x)＋4m2＋4＝＋(2＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4km)·＋4m2＋4＝0，
则m2－km－2k2＝0，
∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k.
当m＝2k时，直线PQ的方程为
y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
当m＝－k时，直线PQ的方程为
y＝kx－k＝k(x－1)．
此时直线PQ过定点(1,0)．
当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)，
P，Q的坐标分别为，.
满足k ·k ＝－.
AP AQ
综上，直线PQ过定点(1,0)．
②解 不妨设直线PQ过定点(1,0)为F.则△APQ的面积S＝×AF×|y－y|＝|y－y|，
1 2 1 2
设直线PQ的方程为x＝my＋1，联立椭圆的方程＋＝1，消去x得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
∴S＝|y－y|＝＝
1 2
＝18.
令t＝m2＋1(t≥1)，
则S＝18＝18，
∵t≥1，
∴9t＋＋6≥16(当且仅当t＝1即m＝0时取等号)，
∴S≤，即△APQ面积的最大值为.
