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专题 04 相似三角形
重点 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判
难点
定和性质解决生活中的实际问题
易错 相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错
一、相似三角形的判定
1．相似三角形的判定定理
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定方法
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例1】如图，在 中，高 、 相交于点F．图中与 一定相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即与 一定相似的三角形有3个，
故选：C．
【例2】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
解：A．∵ ，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE BC；
故选项不符合题意；
B．当 时，△ADE与△ABC不一定相似，
∴∠ADE不一定等于∠B，
∴不能得到DE BC，
故选项符合题意；
C．∵ ，∴ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE BC；
故选项不符合题意；
D．∵ ，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE BC；
故选项不符合题意；
故选：B．
二、相似三角形的性质
运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而
不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例3】如图， ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2
【答案】B
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴相似比为： ，
故选B．
【例4】如图，已知 和 的相似比是 ，且 的面积为2，则四边形 的面积为（
）A．6 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【详解】解：∵ 和 的相似比是 ，且 的面积为2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这
一原则．
【例5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜
边DF保持水平，并且边DE与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 ， ，测得
边DF离地面的高度 ， ，则树高AB为（ ）m．
A．5 B． C．7 D．
【答案】B
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
即树高 ．
故答案为： ．
【例6】地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取
点A，B，D，使得 ，然后找到 和 的交点C，如图所示，测得
，则可计算出河宽 为（ ）
A．16m B．15m C．14m D．13m
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
故选C．
一、单选题
1．如图， ， 相交于点 ，且 ，若 ， ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
2．若 ，其相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 且相似比为
故选：C
3．如图，已知 ，相似比为 ，则 为（ ）
A．2 B．5 C．5 D．1
【答案】A
【详解】解：∵ ，相似比为 ， ，
∴ ，
故选A．4．如图， ， ， 交于 ，图中相似三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】B
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
， ，
即 ，
，
，
，
，
，
．
图中相似三角形共有4对．
故选：B．
5．如图，E是 的边 的延长线上的一点，连接 ，交边 于点P．若 ，则 与
的周长之比为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 的周长之比 ；
故选A．
6．如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 则有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵等边三角形 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故选： ．
二、填空题
7．如图，已知 ， ， 是线段 的中点，且 ， ，那么
______．
【答案】
【详解】解： 是线段 的中点， ，
，
， ，
， ，
，即 ，
，
∽ ，
，
，
，
故答案为： ．
8．如图，已知 中，D为边AC上一点，P为边AB上一点， ， ， ，当 的
长度为______时， 和 相似．
【答案】10或6.4
【详解】解：当 时，∴ ，
∴ ，
解得： ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴当 的长度为10或6.4时， 和 相似．
故答案为：10或6.4．
三、解答题
9．如图，在 和 中， ， ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 是否相似？并证明．
【答案】(1)见解析
(2) 与 相似，理由见解析
【详解】（1）证明： ，
，
，
又 ，
，
；（2） 与 相似，
证明：由（1）知： ∽ ，
，
，
又 ，
与 相似．
10．如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连结 并延长，交 于 ，交 的延长线于点
．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．如图，在 和 中， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在 中， ， ，
,
在 和 中，
，
，
，
故选：B．
2．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为 ，阴影部分三角形
的面积为 若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
．
故选：B．
3．如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点，且 ∥ ，若 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ∥ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为 ，
故选：D．
4．如图，已知在 中， ， ， ， 为 的角平分线，过 作
于点 ，交 于点 ．则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，设 到 的距离为 ，则 ，
∴∴
即
解得
如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又
∴
∴
即
解得 ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．如图，在 中，点D，E分别是边 的中点， 与 交于点O，连接 ．下列结论：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵点D，E分别是边 的中点
∴ 是三角形 的中位线
∴ ， ，即②正确；
∴ ，
∴ ,
∴ ，故③错误； ，故①正确；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ＝ ，故④正确；综上①②④正确，
故选：C．
6．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连接
、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：其中正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【详解】∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确，
∵ ，∴ 与 不相似，故③错误，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
故选：C．
二、填空题
7．如图，在 中， ， ， ，则 ______cm．
【答案】4
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4
8．如图， 、 、 、 分别为矩形 的边 、 、 、 的中点，连接 、 、 、
、 ，已知 ， ，则下列结论：① ；② ∽ ；③
；④ 正确的是______（填写序号）【答案】②③④
【详解】解： ，
，
不能说明 ，
故①错误，不符合题意；
，
，
又 ，
，
故②正确，符合题意；
如图，连接 ，
由题意得： ，
， 分别是 与 的中点，
，
，
，
即 ，
，
在 中， ，，
解得： ，
，
故③正确，符合题意；
，
，
即 ，
故④正确，符合题意，
正确的是②③④，
故答案为：②③④．
三、解答题
9．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点 以 的速
度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设移
动时间为 ．
(1)当 为多少时， 的面积是 ？
(2)当 为多少时， 与 是相似三角形？
【答案】(1) ．
(2) 或3．
【详解】（1） 点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以
的速度移动，
， ，；
的面积是 ，
，
解得， ．
即当 为3时， 的面积是 ；
（2）由运动知， ， ，
、 是直角三角形，
当 与 相似时有两种情况，
即 或 ，
当 时，则有 ，解得 ；
当 时，则有 ，解得 ；
当 或3时， 与 相似．
10．如图， 中， 是直角，过斜边中点 而垂直于斜边 的直线交 的延长线于 ，交
于 ，连接 .
求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）∵ 是直角， ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵点 为直角 斜边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ ．
