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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.10平行线的性质与判定大题专项提升训练
（压轴篇，重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）已知，∠ATM+∠DRN=180°．
(1)如图1，求证AB∥CD：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接BE、CE，求证：∠E=∠C+∠B；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段EF，连接BF，且∠EBF=∠F，∠ABF=45°，过点B作
BG∥EF交CE于点G，若∠BEC=2∠ABE，EH=4，EF−BG=2，且△BEF的面积为36时，求线段
EF的长．
2．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补
充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代
数式表示）
3．（2021·福建·福州十八中七年级期中）如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右
侧），若∠1+∠2=180°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若3∠M=2∠N，则∠AEM，
∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接
MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．
4．（2021·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）请作答：
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，
∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记
∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出
∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
5．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
6．（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，
∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接
写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
7．（2022·江苏·江阴市周庄中学七年级阶段练习）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光
线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成
光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相
等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线
b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间
内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
8．（2022·山东日照·七年级期末）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：
∠AEC+∠A+∠C=360°．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作EF∥AB，
则有∠AEF+∠A=180°（______）．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（______）．
∴∠FEC+∠C=180°（______）．
∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,
又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC
∴∠AEC+∠A+∠C=360°．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有
∠AEC+∠A+∠C=360°（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE
平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”
的性质，求∠ABC的度数；
②如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，
β的式子表示）．
9．（2022·山西忻州·七年级期末）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求
∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点
H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
10．（2022·江苏宿迁·七年级期中）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作
DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
11．（2021·江苏无锡·七年级期中）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从
点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝
∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
12．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作
DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.(1)请说明AE∥BC；
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①.如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；
②.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．
13．（2022·广东广州·七年级期末）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，
CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
1 1
(3)若∠GBJ= ∠GBD，∠CFJ= ∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请
3 3
写出你认为正确的结论，并证明．
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF=α(0<α<90°)，
将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：∠ACB=90°，∠ABC=60°）．(1)如图1，使三角板的短直角边BC与射线CD重合，若α=40°，则∠ACF=_________．
(2)如图2，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转60°，试判断此时AB与DE的位置关系，并说明理由．
1
(3)如图3，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转β(0<β<90°)，使得∠ACE= ∠BCF，此时α和β
2
满足什么关系？请说明理由．
(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好
与直线CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市第七中学校七年级阶段练习）如图1，AB∥CD，直线AB外有一点M，连
接AM，CM．
(1)证明：∠M+∠A=∠C；
(2)如图2，延长MA至点E，连接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF与CM交于点F，求∠E
与∠AFC的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，∠E=100°，FA⊥AN，连接CN，且∠M=2∠N，∠MCN=30°，求
∠M的度数．
16．（2022·河北·高阳县教育局教研室七年级期末）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE
和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；
(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出
这一定值；
(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与
∠HCD之间的数量关系；
②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线
AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．
17．（2022·北京市第一六一中学七年级期末）如图1，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线
CD交于点F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．点G是射线MD上的一个动点
（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设
∠EHN＝α，∠EGF＝β．
图1
图2(1)求证：AB//CD；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若β＝80°，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
18．（2022·北京市第十九中学七年级期中）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b
之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直
线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？
若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运
动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小
于180°的角）
19．（2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，
∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交
于点H．(1)如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，
∠EHF= °；
(2)如图2，若α=120°，点P在射线EA上．
①补全图形；
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、
CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．
(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，
∠GNV =36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，
∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
21．（2021·山东·德州市第五中学七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，
然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
22．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，
∠EDF=30°，CD平分∠ACB，将△≝¿绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0°<α<180°)，在
旋转过程中：(1)如图2，∠ABC=40°，当∠α=______时，DE∥BC，当∠α=______时，DE⊥BC；
(2)如图3，∠ABC=40°，当顶点C在△≝¿内部时（不包含边界）)，边DF、DE分别交BC、AC的延长
线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是______．
②∠BMD与∠∧¿度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠∧¿的度数和；若变化，请说明理由：
______．
(3)如图4，将△≝¿绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q，
则∠BPD与∠AQD有什么关系______．
(4)如图5，将△≝¿绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q、
请在备用图中画出其他可能位置，并写出∠BPD与∠AQD的关系______．
23．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个
内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，
∠A=100°，∠B=50°，∠C=30°，可知∠A=2∠B，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△≝¿中，∠E=40°，∠F=35°，则△≝¿为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线AB、CD被直线EF所截交点分别为E、F，AB∥CD，∠BEF与∠DFE的平分线交于点G，若△EFG是6倍角三角形，求∠AEF．
(3)图中AE平分∠BAC，CE平分∠BCD，∠E=20°，∠ACB=80°，问△ABC是几倍角三角形，为
什么？
(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，
求∠A的度数．
24．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD
之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，
1 1
∠BED+ ∠F=40°时，求∠CDE的度数.
2 3
25．（2022·浙江·义乌市稠州中学七年级期中）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板 ABC、 DEF中，
∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°． △ △(1)若 DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若△图2中 ABC固定，将 DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的
角平分线GH△、FH相交于点△H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中 DEF固定，（如图4）将 ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首
次重合的过程△中，当线段BC与 DEF的△一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
26．（2022·广东·佛山市顺德养正
△
学校七年级阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边
放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)填空：∠1=_________°，∠2=_________°．
(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0<n<90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠1=__________°，∠2=________°（结果用含n的代数式表示）；
4
②若∠2恰好是∠1的 倍，求n的值．
3
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线
QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t(s)．
①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t=20(s)时，则∠QPB=_______°
②在旋转过程中，是否存在BM∥ON若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
27．（2022·浙江·义乌市稠州中学七年级阶段练习）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A
在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；
(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角
平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）
28．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，
E，EM平分∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．
(1)如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
(2)如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，
探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
29．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了
安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便
立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是
每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互
相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动
的时间为______秒．
30．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）如图，已知AB ∥ CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线
相交于点F．
(1)如图1，求证：
(ⅰ)∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
(ⅱ)∠ABF+∠CDF=∠BFD．
1 1
(2)如图2，∠ABM= ∠ABF，∠CDM= ∠CDF，则∠M与∠E之间的关系为______；
3 2
1 1
(3)当∠ABM= ∠ABF，∠CDM= ∠CDF且∠E=m°时，直接写出∠M的度数(用含m、n的式子表
n n
示)．
