跟踪训练02导数与函数的单调性（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 02 导数与函数的单调性 一．选择题（共15小题） 1．（2023 春•安居区校级期末）设函数 ，对任意 ， ，若 ，则下列式子成立的是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ，故函数 为偶函数， 当 时， ， 则 ． 故 在区间 上单调递增， 据此可得： ． 故选： ． 2．（2023春•西青区期末）已知可导函数 的导函数为 ， ，若对任意 的 ，都有 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，， 因为对任意的 ，都有 ， 所以对任意的 ，都有 ， 所以对任意的 ，都有 ， 单调递增， 不等式 可化为 ，进而可得 ， 所以 ， 所以 ， 故选： ． 3．（2023春•鄠邑区期末）如图是函数 的导函数 的图象，则下列命题错 误的是 A．函数 在 上的图象越来越陡 B．1不是函数 的极值点 C． 在 处切线的斜率小于零 D． 在区间 上单调递增 【解答】解：由 的图象可知，导函数 在 上单调递增， 所以函数 在 上的图象越来越陡，故选项 正确；因为当 时，在该点的左、右两侧的导函数值均为正， 所以1不是函数 的极值点，故选项 正确； 因为 ， 所以 在 处切线的斜率大于零，故选项 错误； 在区间 上， ， 所以函数 在 上单调递增，故选项 正确． 故选： ． 4．（2023春•滨海新区期末）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 【解答】解： ，即 ， 又 ，则 ，即 ， ． 故选： ． 5．（2023•2月份模拟）设函数 ， 在 的导函数存在，且 ，则当 时 A． B． C． （a） （a） D． （b） （b） 【解答】解：设 ，则 ， 所以 在 上单调递减， 因为 ，所以 （a） （b），即 （a） （a） （b） （b）， 所以 （a） （a）， （b） （b），即选项 正确， 错误， 而选项 和 无法判断． 故选： ． 6．（2023春•新市区校级月考）已知函数 在 上不单调，则 的 取值范围是 A． B． C． ， D． ， 【解答】解：依题意 ， 因为函数 在 上不单调， 所以 在 上有零点， 令 ，令 ，得 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增， 又 （1） ，所以 ，故 ， 所以 的取值范围是 ． 故选： ． 7．（2023春•东城区期末）已知函数 ， ①当 时， 在区间 上单调递减； ②当 时， 有两个极值点；③当 时， 有最大值． 那么上面说法正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解： ， ， ， 时， ， 在区间 上单调递减，①正确； 令 ，得 ， 令 ，则 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在 递增，在 递减， 故 （1） ， 且 时， ， 时， ， 画出函数 的图像，如图示： ，当 时， 和 有2个交点， 则 有2个零点， 有两个极值点，②正确； 当 时， ， 单调递增，没有最大值，故③错误． 故选： ． 8．（2023春•唐山期末）已知函数 导函数 的图象如图所示，则 A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 在 处取得最大值 D． 在 处取得最小值 【解答】解：由图象得当 时， ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增， 当 时，函数 取得极小值，并非最小值； 当 时，函数 取得极大值，并非最大值． 故选： ． 9．（2023春•博湖县期末）如图所示是函数 的导函数 的图象，则下列判断中正确的是 A．函数 在区间 上是减函数 B．函数 在区间 上是减函数 C．函数 在区间 上是减函数 D．函数 在区间 上是增函数 【解答】解；由题意得： 在区间 ，和 上， ， 是减函数， 在区间 上， ， 是增函数， 故选： ． 10．（2023春•广州期末）设 ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 【解答】解：不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以 ，即 ， 整理得 ， 则 ； 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 （1） ， 即 ， 整理得 ， 则 ， 综上得 ． 故选： ． 11．（2023春•合江县校级期中）设 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ，即 ， ；① 令 ， ， ，， 在 上单调递减， ， ， 故 ，即 ， ；② 令 ， 则 ， 令 ，得 ， 当 时， ， 在 上单调递增， ，即 ，即 ，故 ；③ 由①②③得 ． 故选： ． 12．（2023春•密云区期末）已知函数 ， 是 的导函数，则下列结论 正确的是 A． ， B． ，C．若 ，则 D．若 ，则 【解答】解：已知 ，函数定义域为 ， 此时 ， 所以函数 为奇函数，故选项 错误； 因为 ， 可得 ，故选项 错误； 因为 ， ， 所以函数 在 上单调递增， 当 时， ， 若 ， 此时 ， 所以 ，故选项 正确； 因为 （1） ， （2） ， （3） ， 若 ， 不妨令 ， ， 此时 ， 而 ， ，则 ，故选项 错误． 故选： ． 13．（2023•广东开学）若正实数 ， 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立 的是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 为单调递增函数，故 ， 由于 ，故 ，或 ， 当 时， ，则 ， 此时 ； ， 故 ； ， 即 ，所以 ； 当 时， ，则 ， 此时 ， ， 故 ； ， 即 ，所以 ；故 均错误； 对于 选项， ，两边取自然对数， ， 因为不管 ，还是 ，均有 ， 所以 ， 故只需证 即可．设 且 ，则 ， 令 且 ， 则 ， 当 时， ，当 时， ，所以 （1） ， 所以 在 且 上恒成立， 故 且 单调递减， 因为 ，所以 ，结论得证，故 正确． 故选： ． 14．（2022秋•吕梁期末）函数 的单调增区间为 A． B． C． D． 【解答】解：当 时， ， 当 时， ，函数单调递增． 故选： ． 15．（2023春•资溪县校级期末）已知函数 是定义域为 的奇函数， 是 其导函数， （2） ，当 时， ，则不等式 的解集是 A． ， ， B． ， ， C． D． ， ， 【解答】解：令 ，则 ，当 时， ，故 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以 即 （2）， 因为函数 是定义域为 的奇函数， 所以 ， 即 为定义域为 的偶函数， 所以由 （2）可得 （2）， 所以 ，即 或 ， 即不等式 的解集是 ， ， ， 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．（2023春•广陵区校级期中）如图是 的导数 的图象，则下面判断错 误的是 A．在 内 是增函数 B．在 内 是减函数 C．在 时 取得极小值 D．当 时 取得极大值 【解答】解： 时， ，此时 在 单调递减，时， ，此时 在 单调递增， 时， ，此时 在 单调递减， 时， ，此时 在 单调递增， 在 处左增右减，故在 时 取得极大值， 在 处左减右增，故在 时 取得极小值． 综上可知： 正确， 错误． 故选： ． 17．（2023春•元氏县校级期中）如图是函数 的导数 的图象，则下列判 断正确的是 A．在 内 是增函数 B．在 时 取得极大值 C．在 内 是增函数 D．在 时 取得极大值 【解答】解：结合导函数的图象， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， 对于 ，在 内 是先减后增，故 错误； 对于 ， 不是函数 的极值点，故 错误； 对于 ，在 内 是增函数，故 正确； 对于 ，在 时 取得极大值，故 正确．故选： ． 18．（2023春•镇远县校级期中）已知函数 的图象如图所示，若 为 的导 函数，则下列关系正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：由图象得 ， ， ， ， ， ， 故 错误， 正确， 错误， 正确． 故选： ． 19．（2023春•祁东县校级期中）关于函数 ，下列判断正确的是 A．当 时， B．当 时，不等式 的解集为 C．当 时，函数 有两个零点 D．当 的最小值为2时， 【解答】解：对于 时， ， ， 令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 递减，在 递增， 故 （2） ， 故 正确； 对于 时， ， ， 在 递减， 不等式 ，即 ， 故 ，解得： ， 故 正确； 对于 ， ，令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故 在 递减，在 ， 递增， 故 ， ，故 时， ， ，函数无零点， 故 错误； 对于 ：结合 ， ，解得： ， 故 正确； 故选： ． 20．（2023 春•台州期末）已知实数 ， 满足 为自然对数的底数， ，则A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【解答】解：由 ，得 ， ， ， 当 时， ，即 ， 令 ，则 ， 在 上单调递增， 由 得 ， ，即 ，故 选项正确； 当 时， ，即 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 由 得 ， 在 上不单调， 由 不一定能得到 ， 即 不一定成立，故 选项错误； 当 时，由前面的分析可知，此时 ， ， 令 ， ，则有 ，不妨设 ， 得 ，下面证明，当 时，不等式 成立． 先证右边，要证 ，只要证 ， 即证 ，令 ，即证 ， 令 ，则 ， 在 上单调递增， （1） ， 即 成立，从而 得证； 再证左边，要证 ，只要证 ， 即证 ，令 ，即证 ， 令 ，则 ， 在 上单调递增， （1） ， 即 成立，从而 得证． 由 ， ，得 ，即 ，故 选项正确； 由 ， ，得 ， 即 ， ，故 选项正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题）21．（2023春•大余县校级期中）已知函数 在定义域 上可导，且 ，则关 于 的不等式 的解集为 ． 【解答】解：已知函数 在定义域 上可导，且 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 则 在 上单调递增， 此时 ， 此时关于 的不等式 等价于 ， 即 ， 所以 ， 解得 ， 所以不等式的解集为 ． 故答案为： ． 22．（2023春•漳州期末）已知函数 的导函数为 ，若 ， 且 ，则不等式 的解集为 ． 【解答】解：令 ，则 ，， ，即 在 上单调递增， ， 可等价于 ，即 ， ， 不等式的解集为 ． 故答案为： ． 23．（2023春•郑州期中）定义在 上的函数 满足： 有 成 立且 （1） ，则不等式 的解集为 ． 【解答】解：令 ， ， ， 因为 有 成立， 所以 时， 成立， 所以在 上 单调递增， 因为 （1） ， 因为 （1） ， 因为不等式 ， ， 所以 ， 所以 （1）， 又 在 上单调递增，所以 ， 所以不等式 的解集为 ， 故答案为： ． 24．（2023春•合江县校级期中）函数 的单调增区间是 ． 【解答】解： ， ， 令 ，解得： ， 故 在 递增， 故答案为： ． 25．（2023春•江油市校级期末）已知函数 ，若对于任意的 ， ， 且 ，都有 成立，则 的取值范围是 ， ． 【 解 答 】 解 ： 因 为 对 于 任 意 的 ， ， 且 ， 都 有 成立， 则 对于任意的 ， ， 且 都成立， 令 ， 则不等式等价于 对于任意的 ， ， 且 都成立，故函数 在 ， 上单调递增， 又函数 ， 则 ， 所以 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， 令 ， 则 在 ， 上恒成立， 所以 在 ， 上单调递增， 则 （1） ， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共3小题） 26．（2023春•东城区校级月考）已知函数 ． （1）若 在点 ， 处的切线与直线 垂直，求实数 的值； （2）求 在区间 上的最值； （3）若 ，求 的单调区间． 【解答】解：（1）由 得 ，则 ，由 在点 ， 处的切线与直线 垂直， 可得 ， ． （2）令 ，则 ， 当 和 时， ， 在 ， 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， 故 的极大值为 ，极小值为 （1） ， 又 ， ， 故 在区间 上的最小值为 ，最大值为2． （3） ，故 ， 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ，得 或 ， 故 的单调递增区间为 和 ， 时，得 ，故 的单调递减区间为 ， 即当 时， 在 上单调递减； 当 时， 的单调递增区间为 和 ， 单调递减区间为 ．27．（2023春•酒泉期末）已知函数 ， 是函数的一个极值 点． （1）求 的值； （2）求函数 的单调区间． 【解答】解：（1）由题意， ， 是函数 的一个极值点， ， 解得 ， 当 时， ， 由 ，得 或 ， 又 ， 当 或 时， 单调递增； 由 ，得 ， 当 时， 单调递减； 所以 是函数的一个极值点． 所以 ； （2）由（1）知 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为 ． 28．（2022秋•盐城期中）设函数 ， ． （1）若函数 是增函数，求实数 的取值范围； （2）是否存在实数 ，使得 是 的极值点？若存在，求出 ；若不存在，请说明 理由． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ， ， 则 函 数 定 义 域 为 ，， 函数 是增函数， 在 上恒成立， 在 上恒成立， 令 ， ， 则 ，由 得 ， 由 得 ，由 得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 取得极小值也是最小值，且 （1） ， ， 故实数 的取值范围为 ， ； （2）假设 是 的极值点， （1） ，即 ，解得 ， 当 时， ，则 ， 在 上单调递增，无极值点， 假设不成立， 故不存在实数 ，使得 是 的极值点．