文档内容
第07讲 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积
1. 理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积
2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培
养学生的探索能力；
3. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切
联系；
4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式，并熟练运用公式解决问题。
知识点1：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半
径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个
量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道
其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图 D
A D1
=
母线长
（2）圆柱的体积： 底面圆周长
B C1
C
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） =
O
R
（2）圆锥的体积：
C
A r B
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【题型1 弧长的计算】
【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接 O，∠BAC＝45°，BC＝
⊙
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
π【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点 A，B，C，E在 O上，OC⊥AB于
⊙
点D，∠E＝22.5°，OB＝2 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，
π π
需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线 的长为（单位：
m）（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2022秋•石景山区期末）若圆的半径为 9，则120°的圆心角所对
的弧长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一
π π
个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（ ）cmA． B． C． D．
【题型2 利用弧长公式求周长】
【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使
用的一种图形．如图，以等边三角形 ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径
画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形 ABC的边长
为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2π-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，
AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，
若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，
其形状是扇形的一部分，图 2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，
小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传
版 面 的 周 长 为 （ ）A．（ +2）m B．（ +2）m
π π
C．（ ）m D．（ ）m
【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作
半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧
长度之和为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【题型3π 计算扇形的面积】π π
【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领
有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青
年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O
为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若 OA＝
3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．3m2 C． D．
故选：A．
【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为 135°，半径为2，则该扇形的面积为 ．
【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国
扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧 BC 的长度为
20 cm，弧 DE 的长度为 ，扇面边缘宽 BD 的长为 20cm，则扇面
DBπCE的面积为 cm2．
【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】
【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，
∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的
路径为 ，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F
处，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形
纸片，点O恰好落在 上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，
连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部
分的面积为 ．
【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形 OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝
120°，则以AB为直径的半圆与 围成的区域（图中阴影部分）的面积是
cm2．
【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【典例5】（2020秋•江城区月考）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，
在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 A′B′C 的位置．若 BC 的长为
7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
π π π π【变式5-1】（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含 30°角的直角三角尺
设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆
时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B
点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留 ）
π
【变式5-2】（2022•武山县校级一模）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm
的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩
性细线，一端固定在点 A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在
螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为 ．
【变式5-3】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位
置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，
B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点 B旋转到点B′所经过的路线长
（结果保留 ）；
（3）在（1）的条件下，求点 A 旋转到点 A′时，线段 AC 所扫过的面积
π
（结果保留 ）．
π【典例6】（2023•丰润区二模）如图，将含 60°角的直角三角板ABC绕顶点A
顺时针旋转 45°后得到△AB'C'，点 B 经过的路径为弧 BB′，若∠BAC＝
60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【变式 6-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC 绕点 C 旋 π 转 60°得到
△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6 D．以上答案都不对
【变式6-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB
π
＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋
转 120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积
1 1
（即阴影部分面积）为（ ）A． ﹣ B． + C． D．
【变式 6π-3】（2023•义乌市
π
校级开学）如图
π
，已知 Rt△ACB≌Rt△BDE，
∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE
绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面
积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 圆锥的计算】
【典例7】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开
图中扇形的弧长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式 7-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为
π π π π
3cm，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30 cm2 C．15 cm2 D．12 cm2
【变式7-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组
π π π
成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36 m2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的
π蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A． B．144 m2
π
C． D．216 m2
π
【变式7-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一
个底面半径为2，侧面积为8 的圆锥体，则该扇形的圆心角 得大小为（
θ
）
π θ
A．90° B．120° C．150° D．180°
【题型7 圆柱的计算】
【典例8】（2022秋•怀柔区校级月考）将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个
几何体后，表面积增加了48cm2．这个圆柱的半径是（ ）cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式8-1】（2022春•绥棱县校级月考）把一根长2米、底面积是20平方厘米
的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（ ）平方厘米．
A．240 B．80 C．120 D．160
【变式8-2】（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位
置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（
的值取3.14）（ ）
π
A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，得复制发布日期：2023/6/26 15:16:；用户：gaga；邮箱：1837956；学
1．（2023•新疆）如图，在 O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴
影部分）的面积是（ ）
⊙
A．12 B．6 C．4 D．2
2．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于 O，分别以AB、BC、CD、AD
π π π π
为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
⊙
A． ﹣20 B． ﹣20 C．20 D．20
π π π3．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧
长度的“会圆术”．如图， 是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB
的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+
．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
4．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6 ，则扇形圆心角的度数为
度．
π
5．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
6．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为
直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
7．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，
连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，
N．则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
π8．（2023•重庆）如图， O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则
图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
⊙
π
9．（2023•内江）如图，用圆心角为 120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面
（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
10．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，
则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留 ）
π
11．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，
制作一个底面半径为 2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是
cm2．户：gaga；邮箱：18376708956；学号：189
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，点 A、B、P在 O上，若AO＝2，∠APB
⊙
＝35°，则劣弧 的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•南岗区校级三模）已知扇形半径为 π6，弧长为4 ，则扇形面积为（
）
π
A．10 B．12 C．16 D．24
3．（2023•大同模拟）如图，在扇形 AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将
π π π π
扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点 O恰好落在AB上的点D处，折痕为
BC，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． ﹣3 C． D．
4．（2023•建昌县一模）如图，在矩形 ABCD中，AD＝1， ，以点A为
圆心，AB长为半径画弧，交边 CD于点E，连接AE，则扇形BAE的面积为
（ ）A． B． C． D．
5．（2023•南皮县校级一模）数学课上，老师将如图边长为 1的正方形铁丝框
变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形
DAB的面积是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．
6．（2022秋•防城港期末）在中国书画艺术中，扇面书画是一种特殊的形式．
如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面，扇面弧所对的圆心角是
120°，大圆半径是20cm，小圆半径是10cm，则此书法作品的扇面面积是（
）
A．300 cm2 B．200 cm2 C．100 cm2 D．80 cm2
7．（2022•治多县模拟）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在
π π π π
钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．4
8．（202π3•宿迁一模）若圆
π
柱的底面半径为3cmπ ，母线长为4cm，则这个圆柱
的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12 cm2 D．24 cm2
π π9．（2023•常德三模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15 cm2，则这个圆
锥的底面圆的面积为（ ）
π
A．2.25 cm2 B．9 cm2 C．12 cm2 D．36 cm2
10．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为 2的等腰直角三
π π π π
角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C．2 D．
11．（2023•微山县一模）如图，在△ABC 中，CA＝CB＝6，∠BAC＝ ，将
π
△ABC绕点A逆时针旋转2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于
α
点D，当B′D⊥AB时，弧BB′的长是（ ）
α
A．2 B． C． D．
12．（2023•庆元县一模）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机
π
械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形ABC，然后
分别以点 A，B，C 为圆心，AB 长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为
2 ，则此弧三角形的面积是（ ）
πA． B． C． D．2
13．（2023•阳泉二模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，半圆π绕点B顺时
针旋转45°．点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022•南岗区校级开
π
学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，
如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了 平方厘米．
15．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个
圆柱的侧面积为 cm2．
16．（2023•西湖区校级二模）已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇
形的弧长为 cm．
17．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片 AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰
π
好落在 上的点C处，已知 ，则图中阴影部分的周长为 ．
18．（2022•盘龙区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB
＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积
是 cm2．19．（2022秋•赵县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条
圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进
行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为
．（结果保留根号）
20．（禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水
平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
21．（海淀区校级开学）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以原点O为旋转中
心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点
B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径 的长度为 ．（友情提示：已经有 ）
π π22．（2022秋•牡丹区校级期末）一个圆柱体，高减少了4厘米，表面积就减少
50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积．
