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难点特训（三）选填压轴50道
1．如图，AB∥CD， 平分 ， ， ， ，则下列结论：
； 平分 ； ； 其中正确的
有( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，
从而解答本题．
【详解】解： ， ，
，
平分 ， ，
，故①正确；
， ， 平分 ，
， ， ， ，
， ，故③正确；
平分 ，故②正确；
，
，
，
而题目中不能得到 ，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
2．一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从
（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴、y轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度． 在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，3） B．（45，3） C．（44，4） D．（4，45）
【答案】A
【分析】根据现有点(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般
结论，然后利用这个结论算出第2020分钟时点的坐标．
【详解】粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：(1，1)运动了2=1×2分钟，方向向左，
位置：(2，2)运动了6=2×3分钟，方向向下，
位置：(3，3)运动了12=3×4分钟，方向向左，
位置：(4，4)运动了20=4×5分钟，方向向下；
…
总结规律发现，设点(n，n)，
当n为奇数时，运动了n(n+1)分钟，方向向左；
当n为偶数时，运动了n(n+1)分钟，方向向下；
∵44×45=1980，45×46=2070
∴到(44，44)处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，
故到2021分钟，须由(44，44)再向下运动2021 1980=41，
44 41=3，到达(44，3)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，
然后就可以进一步推得点的坐标．3．如图， ，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD， ，则下列结论：①∠BOE
＝ ；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF，其中正确的是（
）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】①由AB CD可得∠BOC=（ ）°，由OE平分∠BOC可得∠BOE = （ ）
°，故①正确；
②由①可知∠BOE= （ ）°，可得 °，由AB∥CD可得
∠BOD=∠ABO= °，从而可得 ，可得∠DOF=∠BOF，故②正确；
③由②可知 ，由①可知 ，可得 ，故③正确；
④由②知 °，可得 ，从而可得 ，故④错误
【详解】解：∵AB CD，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故①正确；
∵ ，
∴ ，
由①可知 ，
∴ °，
∵AB CD，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由②可知 ，
由①可知 ，
∴ ，
故③正确；
∵ ，
由②知 ，
∴ ，
∴ ，
故④错误；
故正确结论为：①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线
的性质定理．
4．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知 ，则 的度数为（ ）
A．63° B．54° C．72° D．45°
【答案】A
【分析】如图（见解析），先根据长方形的性质可得AB//CD，再根据两直线平行，同旁内角互补
可得∠3的度数，然后根据折叠的性质列等式即可求出．
【详解】如图，由长方形的性质得：AB//CD
∴∠1+∠3=180°∵∠1=126°
∴∠3=180°−∠1=54°
由折叠的性质得：2∠2+∠3=180°，即2∠2+54°=180°
解得∠2=63°
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，掌握理解折叠的性质是解题关键．
5．如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹
角∠BAF＝________时， ．
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根
据图形翻折变换的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∠ADB=20°，
∴∠ABD=70°．
∵AB′∥BD，
∴∠BAB′=110°．
∵△AB′F由 ABF翻折而成，
△
∴∠BAF= ∠BAB′=55°．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，用到的知识点为：两直
线平行，同旁内角互补．
6．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，得出∠BOD=∠DOF，然后根据对顶角相等，得出∠BOD=∠AOC，进
而得出∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°；②根据∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，得出
∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)，等角转换，即可得出∠EOB＝180°﹣α；③由∠AOF＝360°﹣
（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF），然后等角转换，即可得出∠AOF＝360°﹣2α．
【详解】① ∵OD平分∠BOF，
则∠BOD=∠DOF，
又∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°； 符合题意；
② ∵∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，
∴∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)
=180°-(∠EOD+∠DOF)
=180°-∠EOF=180°-α；符合题意；
③∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF）
= 360°﹣2（∠EOD+∠DOF）
=360°-2∠EOF=360°-2α；符合题意；
故答案为D．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题．
7．将正整数按如下图所示的规律排列，若用有序数对（m，n）表示从上到下第m行，和该行从
左到右第n个数，如（4，2）表示整数8，则（8，4）表示的整数是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．41【答案】B
【详解】试题解析：根据（4，2）表示整数8，是以连续自然数的形式排列，对图中给出的有序数
对进行分析，可以发现：第1行1个数到最后一个数为1，第2行2个数最后一个数为1＋2＝3，
第3行3个数最后一个数为1＋2＋3＝6，……第7行最后一个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，而
（8，4）表示第8行第四个数，所以第8行第四个数为28＋4＝32．
故选B.
8．如图， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点C作CF∥AB，由AB∥DE可知，AB∥DE∥CF，再由平行线的性质可知，∠1=∠BCF，
∠2+∠DCF=180°，故可得出结论．
【详解】解：过点C作CF∥AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF=∠1①，∠2+∠DCF=180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2=∠1+180°，即∠BCD=180°+∠1-∠2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
9．如图，已知 ．则结论① ；② 平分 ；
③ ；④ ．正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据 得到FG∥AD，判断①正确；
根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确；
根据 ， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确；
证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确．
【详解】解：∵
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，
故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠CAB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴ ，
∴③正确；
∵ ，
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴②不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，
熟知相关定理是解题关键．10．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按
图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第
2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A．(5，44) B．(4，44) C．(4，45) D．(5，45)
【答案】B
【分析】根据跳蚤运动的速度确定： 用的次数是 次，到 是第 次，到 是第
次，到 是第 次，到 是第 次，到 是第 次，依此类推，到
是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标．
【详解】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度， 用的次数是 次，到 是第
次，到 是第 次，到 是第 次，到 是第 次，到 第
次，依此类推，到 是第2025次．
，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动
的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
11．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：① BC平分
∠ABE；② AC∥BE；③ ∠CBE+∠D＝90°；④ ∠DEB＝2∠ABC．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可．
【详解】∵AF∥CD，
∴∠ABC=∠ECB，∠EDB=∠DBF，∠DEB=∠EBA，
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，
∴∠ECB=∠BCA，∠EBD=∠DBF，
∵BC⊥BD，
∴∠EDB+∠ECB=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠EDB=∠DBE，
∴∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA，
∴①BC平分∠ABE，正确；
∴∠EBC=∠BCA，
∴②AC∥BE，正确；
∴③∠CBE+∠D=90°，正确；
∵∠DEB=∠EBA=2∠ABC，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应
用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，
12．如图1是 的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿
BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（ ）
A．108° B．114° C．116° D．120°
【答案】B
【分析】如图，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则
∠BFC=x−18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x−18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接
着根据平行线的性质得∠A′EF=180°−∠B′FE=114°，据此即可求得．
【详解】解：如图，设∠B′FE＝x，∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，
∴x+x+x﹣18°＝180°，
解得x＝66°，
∵ ，
∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°，
∴∠AEF＝114°．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．
13．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A = 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】利用三角形外角的性质，得到∠ACD与∠ABD的关系，然后用角平分线的性质得到角相
等的关系，代入计算即可得到答案．
【详解】解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，
∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD-∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，
∴∠P+ ∠ACD=∠A+ ∠ABD，
即∠P=50°- （∠ACD-∠ABD）=20°．
故选B．
【点睛】本题综合考查角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点．解题的关
键是熟练的运用所学性质去求解．
14．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ，连FH交AD于G，
∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部
有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：① ；②GK平分∠AGC；③ ；
④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理得到 ，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，
等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得 ，又根
据 ，得 ，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设
∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴ ，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
要使 ，就要使 且 ，
∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，
∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解
题的关键．
15．对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，如 ， ， ．现对
82进行如下操作： ，这样对82只需进行
3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（ ）次操作后变为1．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据程序图一步一步计算即可得出答案．
【详解】解：第一次，[ ]＝[ ]＝[25]＝25，
第二次，[ ]＝[ ]＝[5]＝5，
第三次，[ ]＝[ ]＝2，
第四次，[ ]＝[ ]＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算、算术平方根、无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的
求法是解题的关键．
16．如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD//AB交y轴于点D．点P（m，n）
为线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（ ）A．m+2n＝﹣5 B．2m+n＝﹣10 C．m﹣n＝﹣5 D．2m﹣n＝﹣6
【答案】A
【分析】利用平移的性质得到点D的坐标，由点C、D、P在一条直线上，则三点的坐标都符合同
一个关系式，由此解答即可．
【详解】 ，A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），
设A的平移后的对应点位H，
当B与C对应时，先向下平移2个单位，再向左平移5个单位，
将点C、H代入答案中，
m+2n＝﹣5的解析式符合两个点，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，平移的性质，掌握坐标变化规律时关键．
17．如图，已知 （其中 ），添加一个以下条件：①
；② ；③ ；④ ．能
证明 的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】过点F作CD的平行线FH，结合条件①可证AB∥CD；条件②得到EF∥CD；条件③
得到AF∥FG；条件④的结果得到恒等式．
【详解】解：①过点F作FH∥CD，
则：∠HFG＝∠FGD，
∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，∠EFG+∠FGD＝80°，
∴∠EFH+2∠FGD＝80°，∵∠FEB+2∠FGD＝80°，
∴∠EFH＝∠FEB，
∴AB∥FH，
∴AB∥CD，故①符合题意；
②∵∠F+∠FGC＝180°，
∴CD∥FE，故②不符合题意；
③∵∠EFG+∠FEA＝180°，
∴AB∥FG，故③不符合题意；
④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°，
∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°，
∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直
线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．
18．如图，动点P从 出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于
入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动
点回到起始的位置，将2022除以6得到337，说明点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环
组最后一次，因此点P的坐标为 ．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，∵第6次反弹时回到出发点，
∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2022÷6=337，
∴点P第2022次碰到矩形的边时是第337个循环组最后一次，
坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环
是解题的关键．
19．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点
C，B分别落在点C′，B′处．若∠DFC′＝α，则∠FEA－∠AEB′的度数为（ ）
A．45°＋ α B．60°－ α C．90°－ α D．90°－ α
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得到∠CFE=∠C'FE，∠BEF=∠B'EF，再根据平行线的性质及角的和差求
解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，∠CFE=∠C'FE，∠BEF=∠B'EF，
∵∠DFC'=a，∠CFE=∠C'FE，
∴∠CFE=∠C'FE= （180°-a）=90°- a，
∵∠BEF=∠B'EF，CD∥AB，
∴∠BEF=∠B'EF=∠DFE=180°-∠CFE=180°-（90°- a）=90°+ a，∠FEA=∠CFE=90°- a
∴∠AEB'=∠FEB'-∠FEA=90°+ a -（90°- a）=a，
∴∠FEA-∠AEB'=90°- a-a=90°- a．
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
20．如图：CD AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：
①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得 ， ，再利用平角定义可得
∠BCF=90°，进而可得②正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，
从而可得∠1的度数，进而可得③正确；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE
的度数，可分析出①错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确．
【详解】解：如图，
∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴
∵∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CB⊥CF，故②正确，∵CD∥AB，∠BAC=40°，
∴∠ACG=40°，
∴∠ACF=∠4=20°，
∴∠ACB=90°-20°=70°，
∴∠BCD=70°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠BCD=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=70°，故③正确；
∵∠BCD=70°，
∴∠ACB=70°，
∵∠1=∠2=70°，
∴∠3=40°，
∴∠ACE=30°，
∴①∠ACE=2∠4错误；
∵∠4=20°，∠3=40°，
∴∠3=2∠4，故④正确，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，理清图中角之间的和差关系是解
题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A（﹣1，
1
1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳
2
动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，……依此规律跳动下去，点
A第2022次跳动至点A 的坐标是（ ）
2022A．（505，1010） B．（﹣506，1010）
C．（﹣506，1011） D．（506，1011）
【答案】D
【分析】设第n次跳动至点An，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“An（-n-1，2n），An
4 4 +1
（-n-1，2n+1），An （n+1，2n+1），An （n+1，2n+2）（n为自然数）”，依此规律结合
4 +2 4 +3
2022=505×4+2即可得出点A 的坐标．
2022
【详解】解：设第n次跳动至点An，
观察，发现：A（-1，0），A（-1，1），A（1，1），A（1，2），A（-2，2），A（-2，3），
1 2 3 4 5
A（2，3），A（2，4），A（-3，4），A（-3，5），…，
6 7 8 9
∴An（-n-1，2n），An （-n-1，2n+1），An （n+1，2n+1），An （n+1，2n+2）（n为自然
4 4 +1 4 +2 4 +3
数）．
∵2022=505×4+2，
∴A （505+1，505×2+1），即（506，1011）．
2022
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“An（-n-1，
4
2n），An （-n-1，2n+1），An （n+1，2n+1），An （n+1，2n+2）（n为自然数）”是解题的
4 +1 4 +2 4 +3
关键．
22．在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，规定： ；比如
．当 时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）=2可知|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|x|＜2，然后分两种情
况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
【详解】解：∵f（x，y）=2，
∴|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|y|＜2．
①当|x|=2，|y|≤2时，点P满足x=2，-2≤y≤2或x=-2，-2≤y≤2，
在图象上，线段x=2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x=-2，-2≤y≤2即为D选项中正方形
的左边；
②当|y|=2，|x|＜2时，点P满足y=2，-2＜x＜2，或y=-2，-2＜x＜2，
在图象上，线段y=2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y=-2，-2＜x＜2即为D选项中正
方形的下边．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的
线段上的点的坐标特征．
23．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（ ）
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289①
②265的算术平方根比16.3大
③只有4个正整数n满足
④若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44A．①④ B．②③ C．③④ D．
②③
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数扩大或缩小100倍，算术平方根扩大或缩小10倍来判断①；根
据 判断②；根据16.4＜ ＜16.5，得到268.96＜n＜272.25，进而判断③；根据正
方形的面积公式判断④．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故①不符合题意；
∵ ，
∴ ，
故②不符合题意；
∵16.4＜ ＜16.5，
∴268.96＜n＜272.25，
∴正整数n有269，270，271，272共4个，
故③符合题意；
∵16.22＝262.44，
∴若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44，
故④符合题意；
故正确的有③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关
键．
24．我们规定：在平面直角坐标系 中，任意不重合的两点 ， 之间的折线距离为 ，例如图中，点 与 之间的折线距离为
．已知点 ，若点Q的坐标为 ，且 ，则
t的值为（ ）
A．0 B． C． 或7 D．0或8
【答案】D
【分析】由新定义可得 ，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：
解得： 或 ．
故选D
【点睛】本题考查新定义的理解，平面直角坐标系点的坐标的含义，解题关键是读懂题意列出符
合题意的方程．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
25．如图所示，直线 经过原点O，点A在x轴上， 于D，若 ，
则 ________．【答案】32
【分析】作三角形的高线，根据坐标求出 、 、 的长，利用面积法可以得出 ．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：32．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中
经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积．
26．如图，已知ADBC，FGBC，BAC90， ．则结论：① ；②DE平分
ADB；③BADE；④CFGBDE90．正确的是______．
【答案】①③④
【分析】利用平行线的判定与性质以及直角三角形中两个锐角互余的知识即可求解．
【详解】∵ ，∠BAC=90°，
∴∠BED=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE=∠BAD，
∴∠B=∠ADE，故③正确；
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴∠C=∠BDE，
∵∠B=∠ADE，显然∠C与∠B不一定相等，
∴∠BDE与∠ADE不一定相等，
∴DE就不一定平分∠ADB，故②错误；
∵ ，
∴∠CFG=∠CAD，
∵∠BDE=∠BAD，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠CFG+∠BDE=90°，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，直角三角形中两锐角互余以及叫角平分线的定义
的知识，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， ，一智能机器人从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，沿 方向匀速循环前行．当机器人
前行了 秒时，其所在位置的点的坐标为______．
【答案】
【分析】由点可得 是长方形，智能机器人从点 出发沿着 回到点 所走路程
是 ，即每过 秒点 回到 点一次，判断 的余数就是可知智能机器人的位置．
【详解】解：由点 ， ， ， ，
可知 是长方形，
， ，
机器人从点 出发沿着 回到点 所走路程是： ，
... ，
第 秒时机器人在 点处，
机器人所在点的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点运动，探索规律，平面内点的坐标特点．能够找到点的运动每 秒回到起
点的规律是解题的关键．
28．如图，动点P从坐标原点 出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，
第1秒运动到点 ，第2秒运动到点 ，第3秒运动到点 ，第4秒运动到点 …则第
2068秒点P所在位置的坐标是_______________．【答案】
【分析】分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解】解：由题意分析可得，
动点P第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P第48=6×8秒运动到（6，0）
以此类推，动点P第2n(2n+2)秒运动到（2n，0）
∴动点P第2024=44×46秒运动到（44，0）
2068-2024=44
∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位
∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43）
故答案为：（45，43）
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求
规律进行解题是解答本题的关键．
29．如图，在一个单位面积为1的方格纸上， ， ， ……是斜边在x轴上，
且斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若 的顶点坐标分别为 ， ，
，则依图中所示规律，点 的横坐标为______．【答案】－1008
【分析】采用列表法寻找其中的规律，一是循环节的规律，二是坐标的变化规律，计算即可．
【详解】根据题意，列表如下：
∵2019=4×505-1，
∴n=505， 在x轴的负半轴，且横坐标为2-2n=2-2×505=-1008，
故答案为：-1008．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标的规律，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正
确寻找规律是解题的关键．
30．若a，b为实数，且 ，则a＋b的值是______．
【答案】7或1
【分析】根据二次根式有意义的条件，确定 ，计算a，b的值，再计算a+b即可．
【详解】∵ 有意义，∴ ，b=4，
∴ 或a=-3，b=4，
∴ 或 ，
故答案为：7或1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的混合计算，熟练掌握二次根式有意义的条件
是解题的关键．
31．如图，已知 ，则 的度数为__________．
【答案】30°
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠BCF＝
∠ABC，∠CDE＋∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝70°，由等式性质得到
∠DCF＝30°，于是得到结论．
【详解】过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE（平行公理的推论），
∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∠DCF＝180°−∠CDE＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF−∠DCF＝70°−40°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同们角相等
两直线平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行．
⇔ ⇔ ⇔32．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C′的位置处，若∠1＝
56°，则∠EFB的度数是___．
【答案】62°
【分析】根据折叠性质得出∠DED′=2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF的度
数，进而得到答案．
【详解】解：由翻折的性质得：∠DED′=2∠DEF，
∵∠1=56°，
∴∠DED′=180°-∠1=124°，
∴∠DEF=62°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠DEF=62°．
故答案为：62°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解
题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，现将线段 向上平移
个单位，再向右平移 个单位，得到线段 的对应线段 ，连接 ， ．
（1）点 的坐标为______ ；
（2）在 轴上存在一点 ，连接 ， ，且 ，求出满足条件的所有点 的坐标______ ．
【答案】 （4，2） （0，1）或（0，-1）【分析】（1）根据平移规律，直接得出点D的坐标即可；
（2）设点P到AB的距离为h，则S PAB= ×AB×h，根据S PAB=2，列方程求h的值，确定P点坐
△ △
标．
【详解】解：（1）∵点B的坐标为(3，0)，将点B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位
得到点D，
∴D(4，2)；
故答案为：(4，2)；
（2）设点P到AB的距离为h，则S PAB= ×AB×h=2h，
△
∵S PAB=2，
△
∴2h=2，
解得：h=1，
∴P(0，1)或(0，-1)．
故答案为：(0，1)或(0，-1)．
【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，解题的关键是理解
平移的规律．
34．如图，已知A（1，0），A（1，1），A（﹣1，1），A（﹣1，﹣1），A（2，﹣1）…，则
1 2 3 4 5
点A 的坐标为________．
2021
【答案】（506，﹣505）
【分析】根据题意逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2021
的坐标．
【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的
倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，∵2021÷4＝505…1，
∴点A 在第四象限，且转动了505圈以后，在第506圈上，
2021
∴A 的坐标是（506，﹣505）．
2021
故答案为：（506，﹣505）．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标问题，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，本题的
突破点是判定A 在第四象限．
2021
35．如图， ，点 为 上一点， 、 的角平分线交于点 ，已知 ，
则 ________度．
【答案】
【分析】设 ， ，根据角平分线的定义得到 ，
，根据外角的性质得到 ， ，
由平行线的性质得到 ， ，于是得到方程 ，即
可得到结论．
【详解】解：设 ， ，
、 的角平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的外角等
于两个不相邻的内角的和．正确识别图形并通过设未知数建立方程是解题关键．
36．如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，连结AO并延长交BC于点D，BM、CM分别平
分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论：
①∠BOC+∠BMC＝180°；
②∠N＝∠DOH；
③∠BOD＝∠COH；
④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB；
其中正确的有 _____．（填序号）
【答案】①③④
【分析】由平分可知：①∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，即∠OBM＝90°，∠OCM＝
90°，可知∠BOC+∠BMC＝180°；②利用外角定理，角平分线性质进行计算分析即可；③根据
∠BOD＝∠BAD+∠1＝ ∠BAC+ ∠ABC＝ （180°﹣∠ACB）＝90°﹣ ∠ACB，∠COH＝90°﹣
∠6＝90°﹣ ∠ACB，可知∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则∠1＝∠2＝ ∠BAC，由于
∠N＝ ∠BAC，可知∠1＝∠N，即MN∥AB．【详解】解：如图所示，延长AC与E，
∵点O是△ABC的三条角平分线的交点，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，
∴∠2+∠3＝∠OBM＝90°，∠6+∠7＝∠OCM＝90°，
∵∠OBM+∠OCM+∠BOC+∠BMC＝360°，
∴∠BOC+∠BMC＝180°，
故①正确；
∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCE，∠N+∠2＝∠7，
∴∠N＝∠7﹣∠2＝ ∠BCE﹣ ∠ABC，
∵∠BCE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠N＝ ∠BAC，
∵∠ODH＝∠BAD+∠ABC＝ ∠BAC+∠ABC，OH⊥BC，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣ ∠BAC﹣∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC≠90°，
∴90°﹣ ∠BAC﹣∠ABC≠ ∠BAC，
∴∠N≠∠DOH，
故②错误；
∵∠BOD＝∠BAD+∠1＝ ∠BAC+ ∠ABC＝ （180°﹣∠ACB）＝90°﹣ ∠ACB，∠COH＝90°﹣
∠6＝90°﹣ ∠ACB，∴∠BOD＝∠COH，
故③正确；
∵∠CBA＝∠CAB，
∴∠1＝∠2＝ ∠BAC，
∵∠N＝ ∠BAC，
∴∠1＝∠N，
∴MN∥AB，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查的是三角形与角平分线的综合运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关
键．
37．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，BC边上，将纸片沿EF折叠，使点B落在边
AD上的点 处，然后再次折叠纸片使点F与点 重合，点C落在点 ，折痕为GH，若
，则∠EFC＝______度．
【答案】147
【分析】根据将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，得出∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE
＝∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F＝90°，根据四边形ABCD为长方形，得出AD BC，可得∠DB′F
＝∠B′FB＝2∠EFB，可求∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠C′B′F
＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，可得∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D＝180°﹣2∠EFB﹣
2∠EFB，根据∠C′B′D＝∠AB′E+24°，列方程180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，解
方程即可．
【详解】解：∵纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，
∴∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F＝90°，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AD BC，
∴∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB，
∴∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，
∵再次折叠纸片使点F与点B'重合，点C落在点C'，折痕为GH，
∴四边形GHC′B′与四边形GHCF关于EG对称，
∴∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，
∵∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D，
∴∠C′B′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，
∵∠C′B′D＝∠AB′E+24°，
∴∠C′B′D﹣∠AB′E＝24°，
∴180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，
∴∠EFB＝33°，
∴∠EFC＝180°﹣∠EFB＝147°，
故答案为：147．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理，恰当应用折叠的性
质是解题的关键．
38．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将
射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF的度数为 _____．
【答案】45°或135°
【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后
可得答案．
【详解】解：如图1，过 作 ，
，
，
， ，
，
，
同理可得 ，
由折叠可得： ， ，
，
如图2，
过 作 ，
，
，
， ，
，
，
，
由折叠可得： ， ，
，综上所述： 的度数为 或 ，
故答案为：45°或135°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度
数．
39．请先计算下列四个式子的值：① ；② ；③ ；④ ；观察
计算的结果，用发现的规律直接写出 的值是 _____．
【答案】435
【分析】根据① ；② ；③ ；④
，…，可得： ，据此求出
的值为多少即可．
【详解】解：① ；
② ；
③ ；
④ ，…，
∴ ，
∴ ．
故答案为：435．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字的变化规律的应用，熟练掌握二次根式
的性质与化简是解题关键．
40．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（ ），（
），（ ），若△ABO的面积为△ABC面积的3倍，则m的值为____________．
【答案】 或【分析】由A,B点的横坐标相等，得出AB y轴，AB=6，点C到AB的距离为 ，根据△ABO
的面积为△ABC面积的3倍，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵A、B、C的坐标分别为（ ），（ ），（ ），
∴AB y轴，AB=6，
点C到AB的距离为
∵若△ABO的面积为△ABC面积的3倍，
∴
即
解得 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关
键．
41．把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对
齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图
①中原长方形的周长为_________．
【答案】
【分析】设矩形B的长为a，宽为b，表示大正方形边长：a+b，进而求出a+b= ，也就得出图①
中原长方形的周长．
【详解】解：设矩形B的长为a，宽为b，
∵C是正方形，
∴C的边长为b，
∴大正方形边长：a+b，∵大正方形的面积为5，
∴a+b= ，
∵图①中的长方形的周长为：（a+b+b+a）×2=4（a+b），
∴图①中原长方形的周长为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义，根据题意列式计算是解题关键．
42．某计算器上的三个按键 、 、 的功能分别是： 将屏幕显示的数变成它的算术平方
根； 将屏幕显示的数变成它的倒数； 将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，
依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x
是______．
【答案】
【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用
周期规律求解可得．
【详解】解：由题意知第1步结果为x2，
第2步结果为 ，
第3步结果为 = ，
第4步结果为 ，
第5步结果为x2，
第6步计算结果为x，
第7步计算结果为x2，
……
∴运算的结果以x2， ， ， ，x2，x六个数为周期循环，∵2021÷6=336……5，
∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4，
∴输入的数x是±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2， ， ， ，x2，x六个数循环，这
是解题的关键．
43．如图，AB∥CD，点E是直线AB上一点，若 ，则 的度数为
______．
【答案】30°
【分析】根据平行的性质可得∠AED+∠CDE=180°，∠CDE=∠BED，从而得到∠BED=∠CDE=180°-
∠AED，再由 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE=180°，∠CDE=∠BED，
∴∠BED=∠CDE=180°-∠AED，
∵ ，
∴ ，
解得：∠AED=30°．
故答案为：30°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
44．将一组数 ， ，3， ， ，…．． 按下面的方式进行排列：
， ，3， ， ；
， ， ， ， ；
．．．．．若 的位置记为（1，4）， 的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为
_____．
【答案】（6，2）
【分析】每相邻的二次根式的被开方数是3的倍数，故求90÷3=30，一行5个数得30÷5=6， 位
于第六行第五个数，进而得 位于第六行第二个数．
【详解】解：一行5个数，可得90÷3=30，
30÷5=6，
∴ 位于第六行第五个数，记作（6，5），
∵这组数中最大的有理数是 =9，
∴ 位于第六行第二个数，记作（6，2）．
【点睛】本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变化找出规
律是解题关键．
45．①如图1，若 ，则 ；②如图2，若 ，则
∠C；③如图3，若 ，则 ；④如图4，若 ，点O在直线EF
上，则 ．以上结论正确的序号是_____．
【答案】①②④
【分析】①过点E作直线EF AB，由平行线的性质即可得出结论；②先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③过点E作直线EF AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC-∠1=180°，即得∠AEC=180°+∠1-
∠A；
④根据平行线的性质得出∠α=∠BOF，∠γ+∠COF=180°，进而利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF AB，
∵AB CD，
∴AB CD EF，
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠AEC=360°，
故本结论正确，符合题意；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1=∠C+∠P，
∵AB CD，
∴∠A=∠1，
∴∠A=∠C+∠P，
∴∠P=∠A-∠C，
故本结论正确，符合题意；
③如图3，过点E作直线EF AB，
∵AB CD，
∴AB CD EF，
∴∠A+∠3=180°，∠1=∠2，
∴∠A+∠AEC-∠1=180°，
即∠AEC=180°+∠1-∠A，
故本结论错误，不符合题意；
④如图4，∵AB EF，
∴∠α=∠BOF，∵CD EF，
∴∠γ+∠COF=180°，
∵∠BOF=∠COF+∠β，
∴∠COF=∠α-∠β，
∴∠γ+∠α-∠β=180°，
故本结论正确，符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关
键．
46．定义“在四边形ABCD中，若AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD叫做平行四边形．”若一
个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，3），则第四个顶点的坐标是
__．
【答案】（4，3）或（-2，3）或（2，-3）．
【分析】根据题意画出平面直角坐标系，然后描出（0，0）,（3，0）,（1，3）的位置，再找第四
个顶点坐标．
【详解】解：如图所示，
∴第四个顶点的坐标为（4，3）或（-2，3）或（2，-3）．
故答案为：（4，3）或（-2，3）或（2，-3）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难
易程度适中．
47．如图， ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，
过点E作EF△⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．【答案】 ##
【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出
CF，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．
∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴ AB•CF= BC•AC，
∴CF= ，
即CE+EF的最小值为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
48．一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，
∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时， ，
则∠BAD其他所有可能符合条件的度数为______．
【答案】45°或60°或105°或135°
【分析】分四种情形：当AC∥DE时，当BC∥AD时，当AE∥BC时，当AB∥DE时，分别画出图形，
利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图3-1中，当AC∥DE时，∠BAD=45°．
如图3-2中，当BC∥AD时，∠BAD=∠B=60°．
如图3-3中，当AE∥BC时，∠BAE=∠B=60°，
∴∠BAD=∠EAB+∠DAE=60°+45°=105°．如图3-4中，当AB∥DE时，∠EAB=∠E=90°，
∴∠BAD=∠EAB+∠DAB=90°+45°=135°．
综上所述，∠BAD其他所有可能符合条件的度数为45°或60°或105°或135°．
故答案为：45°或60°或105°或135°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，含特殊角的三角形性质等知识，解题
的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
49．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x ，y ）、B
1 1
（x ，y ），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（ ， ），例如：点A（1，
2 2
2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（ ， ），即M（2，4）请利用以上结
论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位
于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a＋b的值等于_____．
【答案】 或﹣4
【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．
【详解】解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），
∴中点G（ ， ），
∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，∴ ，
解得： ， ，
∴2a＋b＝ 或﹣4；
故答案为： 或﹣4．
【点睛】此题考查坐标与图形性质，中点坐标公式，关键是根据线段的中点坐标公式解答．
50．在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度
为P，Q两点之间的“横纵距离”． 如图所示，点A的坐标为（ ， ），则A，O两点之间的
“横纵距离”为5
（1）若点B的坐标为（ ），则A，B两点之间的“横纵距离”为_________；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵
距离”为3，请写出两个满足条件的点D的坐标：___________， ____________．
【答案】 9 （1，4） （ ， ）
【分析】（1）根据A，B两点之间的“横纵距离”的意义求解即可；
（2）画出图形，找到同时满足“D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距
离”为3”的两个点即可．
【详解】（1）点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ），
∴A，B两点之间的“横纵距离”为： 2+3+3+1=9，故答案为：9；
（2）如图：
由题意得：
①点 （1，4），O两点之间的“横纵距离”为：4+1=5，
点 （1，4），点C（0，2）两点之间的“横纵距离”为： ；
②点 （ ， ），O两点之间的“横纵距离”为5，
点 （ ， ），点C（0，2）两点之间的“横纵距离”为： ；
故答案为：（1，4）；（ ， ）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．第2
问要注意同时满足两个条件．
