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专题04 平行线之猪手图和子弹图
【模型讲解】
请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知 // ，则 ．
解：过点 作直线 // ．∴ （ ）．（ ）
∵ // ， // ，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴ （ ）．（ ）．∴ ．∴ ．
（2）如图②，如果 // ，则 （ ）
解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．
∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．
【模型演练】1．如图，若 ，则∠1+∠3-∠2的度数为______
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据 可得∠1=∠EFD，最后根据领
补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线
的性质是解题的关键．
2．如图，如果AB CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
【答案】540
【分析】过点E作 ，过点F作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．【详解】过点E作 ，过点F作 ，如图，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线 ，
是解答本题的关键．
3．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
4．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；
2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，
据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
5．如图，已知 ∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．
【答案】
【分析】延长 交BC于M，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC，再求解 ，
再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：延长 交BC于M，
∵∴∠BMD=∠ABC=80°，
∴ ；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴ ．
故答案是：40°
【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题
的关键．
6．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．
【答案】30
【分析】要求∠P的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外角，根据三角形
的外角的性质进行求解．
【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝
70°−40°＝30°．
故答案为30．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢
记此题中的结论：∠P＝∠A−∠B．
7．如图，若直线l∥l，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___．
1 2
【答案】150°##150度
【分析】延长AB交l 于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，
2
再根据平行线的性质求得∠2的度数．
【详解】解：延长AB交l 于E，
2∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°
∵l∥l，
1 2
∴∠3=∠1=30°，
∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
8．如图，在五边形 中满足 ，则图形中的 的值是______．
【答案】85
【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180°−∠C＝120°．
∴（5−2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．
∴x＝85．
故答案为：85．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关
键．
9．如图， ， ，则 的度数是_____．【答案】
【分析】直接作出 ，再利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出 ， 是解题关键．
10．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上， ， ，则
______度．
【答案】20
【分析】如图（见详解），过点E作 ， 先证明 ，再由平行线的性质定理得
到 ， ，结合已知条件 即可得到．
【详解】解：由题意可得： ．
如图，过点E作 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ．故答案为：20．
【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是
“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或
连结BD，结合三角形内角和定理来解决．
11．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，
∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即
可．
【详解】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
12．如图，直线 ，在 中， ，点 落在直线 上， 与直线 交于点 ，
若 ，则 的度数为（ ）.
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】B
【分析】由题意过点B作直线 ，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作直线 ，
∵直线m//n， ，
∴ ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，∵ ，
∴∠1=∠4=40°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直
线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．
13．①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③
如图3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则
．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EF AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出
判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝
180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作
出辅助线是解答此题的关键．
14．（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3
（2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠An＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）过点A 作AB∥l，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1
（2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1 3 3 1
（3）根据平行线的性质，即可求解；
（4）根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：（1）过点A 作AB∥l，
2 2 1
∵l∥l，
1 2
∴AB∥l∥l，
2 1 2
∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，
1 1 2 3 3 2
∴∠A+∠AAA +∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB=180°+180°=360°，
1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2
故答案是：360°；
（2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，
2 2 1 3 3 1∵l∥l，
1 2
∴AC∥AB∥l∥l，
3 2 1 2
∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，∠BAA+∠CA A2=180°，
1 1 2 4 4 3 2 3 3
∴∠A+∠A1AA+∠AAA +∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB+∠BAA3+∠CA A2
1 2 3 2 3 4 4 1 1 2 4 4 3 2 3
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝180°+180°+180°+180°=720°，
1 2 3 4 5
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A+∠A+…+∠An＝（n-1）180 °，
1 2
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．
15．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝
∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到
∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到
∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的
关键．
16．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理
由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）
∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可
得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、
∠D的关系．
【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握
平行线的性质，注意辅助线的作法．
17．（1）问题发现
如图①，直线 ， 是 与 之间的一点，连接 ， ，可以发现：
，请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点 运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证： ．
（3）解决问题
如图③， ， ， ，则 ________．（直接写出结论，不用写计算
过程）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据平行判定得到 ，利用平行线的性质得 ， ，得到
，即可求证出答案；
（2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案；
（3）类比，过点 作 ，根据平行判定得到 ，再根据平行的性质得：
， ，根据角与角的关系求得： ，则可求出答案．
【详解】（1）证明：如图①，过点 作 ，
∵ （已知）， （辅助线的作法）.
∴ （平行于同一直线的两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等）.
∵ ，
∴ ，
∴ （等量代换）即 .
（2）证明：如图②，过点 作 ，
∵ （已知）， （辅助线的作法）.
∴ （平行于同一直线的两直线平行）.
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
（3）解：如图③，过点 作 ，
∵ （已知）， （辅助线的作法），
∴ （平行于同一直线的两直线平行），
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行
线的性质找到角与角之间的关系．
18．请你探究：如图（1），木杆 与 平行，木杆的两端 、 用一橡皮筋连接．（1）在图（1）中， 与 有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则 、 、 之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则 、 、 之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则 、 、 之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则 、 、 之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；
（5）∠A+∠C =∠B
【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
【详解】（1）如图（1）∵ 与 平行，∴∠B+∠C=180º；
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，
即∠B+∠A+∠C=360º；
（4）如图（4），设BE与AC相交于D，
∵ 与 平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如图（5），设CF与AB相交于D，
∵ 与 平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线
是解答的关键．
19．如图，已知AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠P和∠A，∠C的关系，请你从所得三个关系
中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．
结论：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）选择结论____________，说明理由．
【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；
（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由见解析．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答；
（2）过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；
（3）根据AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；
（4）选择以上结论任意一个进行证明即可．
【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）过点P作直线PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
故答案为：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB．
故答案为：∠PCD=∠APC+∠PAB．
（4）选择结论∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
理由：过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
故答案为：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行
线的性质进行解答是解答此题的关键．
20．问题情境：如图①，直线 ，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若 ， ，试猜想 ______°；
(2)探究：在图①中探究 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2) ；证明见详解
(3)
【分析】（1）过点 作 ，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点 、点 作 、 ，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点 作 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
∵ ， ，
∴∴ ．
∵ ，
∴∠P=80°．
故答案为： ；
（2）
解： ，理由如下：
如图过点 作 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
∴
∵ ，
．
（3）
如图分别过点 、点 作 、
∵ ，
∴ ．
∴ ，
，
．
∴
∵ ，
，，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
21．（1）已知：如图（a），直线 ．求证： ；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题
作出什么新的猜想？
【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时， ，见解析
【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平
行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质
即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
证明：如图：∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想 ,
∵AB∥ED∥CF，
∴
∴ .
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的
关键，注意掌握辅助线的作法．
22．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求
∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以
及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA= ∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD= ∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN= ∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC)
=180°- (180°+∠APD)
=180°- (180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形
结合思想的应用．
23．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是
否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易
得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解
∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ= ∠BME，进而可求解．
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝ ∠MEN＝ （∠BME＋∠END），∠ENP＝ ∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝ （∠BME＋∠END）﹣ ∠END＝ ∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝ ×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
