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2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼
专题06 角的平分线性质问题
一、选择题
1. （2023湖南张家界）如图，已知直线 ， 平分 ， ，则 的度数是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据平行线的性质可得 ， ， ，推
得 ，根据角平分线的性质可求出 的度数，即可求得 的度数．
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴
故选：A．
【点睛】考查平行线的性质和角平分线的性质．掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键．
2.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）A．35° B．95° C．85° D．75°
【答案】C．
【解析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和．
根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A 即可．
∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°
3.如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是
（ ）
A.59° B.60° C.56° D.22°
【答案】A．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是
解题的关键．
根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求
出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。
∵BE为△ABC的高，∴∠AEB=90°
∵∠C=70°，∠ABC=48°，∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，∴∠1= ∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．∴∠3=∠EFA=59°
4. （2023福建） 阅读以下作图步骤：
①在 和 上分别截取 ，使 ；
②分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
③作射线 ，连接 ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】由作图过程可得： ，再结合 可得 ，
由全等三角形的性质可得 即可解答．
【详解】由作图过程可得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴A选项符合题意；
不能确定 ,则 不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定 ,故C选项不符合题意，
不一定成立，则 不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
5. （2023湖南永州）如图，在 中， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交
， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 的定长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线
交 于点 ，作 ，垂足为 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D. 一定经过 的内心
【答案】C
【解析】根据作图可得 是 的角平分线，根据角平分线的性质得出 ，即可判断B，证
明 ，根据全等三角形的性质，即可判断A，根据三角形内心的定义，即可判断D选
项，假设 成立，得出 ，即可判断C选项．
的
【详解】根据作图可得 是 角平分线，点 在 上， ，
∴ ，故B选项正确，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，故A选项正确；
∵ 是 的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，
∴ 一定经过 的内心，故D选项正确；
若 ，则 ， ，
又 ，
则 ，
∴ ，而题目没有给出这个条件，故C选项不一定正确，故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心的定
义，熟练掌握基本作图是解题的关键．
6. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝
（ ）
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
【答案】C
【解析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得
出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线
的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．
二、填空题
1.（2023湖南湘潭） 如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以小于
长为半径作弧，分别交 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径
作弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ，交 于点 ．若点 到 的距离为 ，则 的
长为__________．
【答案】
【解析】根据作图可得 为 的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
如图所示，过点 作 于点 ，依题意 ，根据作图可知 为 的角平分线，
∵
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关
键．
2. （2023湖南岳阳）如图，①在 上分别截取线段 ，使 ；②分别以 为圆
心，以大于 的长为半径画弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ．若 ，则
_________ ．
【答案】
【解析】由作图可知 是 的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
由题意可知， 是 的角平分线，∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
3. （2023吉林省）如图，在 中， ，分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作
弧，两孤交于点D，作直线 交 于点E．若 ，则 的大小为__________度．
【答案】55
【解析】首先根据题意得到 是 的角平分线，进而得到 ．
∵由作图可得， 是 的角平分线
∴ ．
故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4. 如图， 是 的角平分线．若 ，则点D到 的距离是 ．
【答案】【解析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
如图，过D作 ，则D到 的距离为DE
平分 ， ，
点D到 的距离为 ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分
线的性质是解题关键．
5.如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
【答案】18
【解析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAE的度数，由三角形
内角和定理可求得∠BAD的度数，从而不难求得∠DAE的度数．
∵△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．
∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=38°．
∵Rt△ABD中，∠B=70°，
∴∠BAD=20°．
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18°
6.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= ．【答案】110°．
【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求
出∠BDC的度数．
∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴有∠CBD=∠ABD= ∠ABC，∠BCD=∠ACD= ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，
∴∠OBC+∠OCB=70，
∴∠BOC=180﹣70=110°
三、解答题
1. （2023河南）如图， 中，点D在边 上，且 ．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边 交于点E，连接 ．求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明 ，即可得到结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求，（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等
三角形的判定是解题的关键．
2.（2023甘肃兰州） 综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在
和 上分别取点C和D，使得 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，则 就是
的平分线．
请写出 平分 的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：
我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 的边 ， 上分别取 ，移
动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 是 的平分线，请说
明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园 的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校
要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A
的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【解析】【分析】（1）先证明 ，可得 ，从而可得答案；
（2）先证明 ，可得 ，可得 是 的角平分线；
（3）先作 的角平分线，再在角平分线上截取 即可．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
故答案为：
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
（3）如图，点 即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
3. （2023内蒙古赤峰）已知：如图，点M在 的边 上．
求作：射线 ，使 ．且点N在 的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于 长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
③画射线 ．
④以点M为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点N．
⑤画射线 ．
射线 即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵ 平分 ．
∴ ① ，
∵ ，
∴ ② ，( ③ )．(括号内填写推理依据)
∴ ．
∴ ．( ④ )．(填写推理依据)
【答案】（1）见解析 （2）① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；
（2）由 平分 推导 ，由 推导 ，从而推出，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定 ．
【详解】
（1）根据意义作图如下：射线 即为所求作的射线．
（2）证明：∵ 平分 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴ ．
∴ ．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
故答案为：① ，② ，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查作尺规作图—作角平分线和相等线段，等边对等角，平行线 的判定等知识，根据题意正
确画出图形是解题的关键．
4.如图，已知 是 的一个外角．请用尺规作图法，求作射线 ，使
．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】作 的角平分线即可．如图，射线 即为所求作．
【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定
理．
5.如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直
角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
6.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.【答案】见解析。
【解析】(1)证明：在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45°.
由∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠EDC，
∴DE平分∠BDC.
(2)证明：连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
∴EM=AD=DB.
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结 AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作
EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【答案】见解析。
【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．
