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难点特训（一）和平行线有关的压轴大题
1．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．
(1)求证：AB CD；
(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究
的值；画出图形，并说明理由．
(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，
画出图形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋
∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）作EP AB，FQ AB，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和
右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，
∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，
∴AB CD；
（2）作EP AB，FQ AB，如图，又∵AB CD，
∴AB CD EP，AB CD FQ，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，
∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF
∴∠BFD＝ ∠ABE＋∠CDF＝30°＝ ∠BED，
∴ ＝
（3）∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD＝2∠IBD，
如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD−∠HBD，
∠EBI＝∠EBD−∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB CD，
∴∠BHD＝∠ABH，
∴∠BHD＝2∠EBI，
如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB CD，
∴∠BHD＝180°−∠ABH，
∴∠BHD＝180°−2∠EBI，
综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（3）分
情况讨论并理清图中各角度之间的关系．
2．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于
O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ ；
(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF
上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°
小于180°）： ．
【答案】(1)136°
(2)①∠NEF＝2∠AOG；②∠AOG＋∠NEF＝90°；理由见解析
(3)∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF
【分析】（1）作 轴，可得 轴，由平行线性质可得∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF
＝180°，进而可求∠CEF的大小；（2）①过点C作 轴，可得 轴，则∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，结合
已知条件与邻补角的定义可得∠NEC＝∠CEK，根据∠ACQ＋∠ECQ＝90°，可得∠ECQ＝∠CEK
＝∠NEC＝90°−∠AOG，结合∠CEK＋∠NEC＋∠NEF＝180°，可得出答案；
②由 轴，可得∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，结合已知条件与邻补角的定义可
得∠NED＝∠CEK，最后由∠ACQ＋∠ECQ＝90°，可得出答案；
（3）分两种情况讨论：当点P在GF上时，过点P作 ，可得 ，由平行
线性质可得∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，可得∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，进而可得∠OPQ＝
140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时，过点P作 ，可得
，由平行线性质可得∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，又∠OPN＝
∠OPQ+∠QPN，可得∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，进而可得140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【详解】（1）解：如图1，作 轴，
∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），
∴ 轴，
∴ 轴，
∴∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠CEF，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°．
故答案为136°．
（2）解：①过点C作 轴，如图2所示：∴ 轴，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NEC＋∠CEF＝180°，∠CEK＋∠CEF＝180°，
∴∠NEC＝∠CEK，
∵∠ACQ＋∠ECQ＝90°，
∴∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°−∠ACQ＝90°−∠AOG，
∵∠CEK＋∠NEC＋∠NEF＝180°，
∴2（90°−∠AOG）＋∠NEF＝180°，
整理得∠NEF＝2∠AOG．
故答案为：∠NEF＝2∠AOG．
②∠NEF＋∠AOG＝90°．
理由如下：
∵ 轴，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NED＋∠CEF＝180°，∠CEK＋∠CEF＝180°，
∴∠NED＝∠CEK，
∵∠ACQ＋∠ECQ＝90°，
∴∠AOG＋∠NEF＝90°．
（3）解：如图3，当点P在GF上时，过点P作 ，∴ ，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作 ，
∴ ，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF；
综上分析可知，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
故答案为：∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，互余和互补，熟练掌握平行线的性质、余角和补
角的等量代换，是解题的关键．
3．已知直线l l，直线l 交l 于点C，交l 于点D，P是直线CD上一点．
1 2 3 1 2(1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，
请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论．
【答案】(1)∠3=∠1+∠2，理由见解析
(2)∠2=∠1+∠3，理由见解析
(3)∠1=∠2+∠3，理由见解析
【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即
可；
（2）过点P作PE∥l，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可；
1
（3）方法同（1）（2）类似，进行求解即可
【详解】（1）解：如图所示，过点P作PE∥l
1
∵l∥l
1 2
∴PE∥l∥l
1 2
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠APB=∠1+∠2，
即∠3=∠1+∠2，（2）如图所示，过点P作PE∥l
1
∵l∥l
1 2
∴PE∥l∥l
1 2
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，
∵∠APB+∠APE=∠BPE，
∴∠BPE=∠1+∠3，
即∠2=∠1+∠3，
（3）过点P作PE∥l
1
∵l∥l
1 2
∴PE∥l∥l
1 2
∴∠1=∠BPE，∠2=∠APE，
∵∠EPB=∠APE+∠BPA，
∴∠BPE=∠2+∠3，
即∠1=∠2+∠3．【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性
质是解题关键．
4．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
∠NCD= ∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．
【答案】（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【分析】(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明
∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．
【详解】(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设PN交CD于E．
当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE= ∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
5．如图，点E、F、分别在直线AB，CD上，P为AB，CD之间一点，连接PE，过点P作PG//
EF，交CD于点G，∠CGP＝∠BEF．
(1)如图1，求证：AB//CD；
(2)如图2，EF平分∠PEB，H为线段GF上一点，连接PH．
①若∠FHP＋∠PEF＝200°，求∠HPG的度数：
②如图3，HQ平分∠CHP，交PG于点Q．若∠HPE＝α，直接写出∠HQP的度数为（结果用含α
的式子表示）．
【答案】(1)见解析；
(2)①∠HPG＝20°；②∠HQP＝
【分析】（1）证明∠CFE＝∠BEF，根据平行线的判定可得结论；
（2）①设∠PEF＝x，可得∠CGP＝∠CFE＝x，然后根据平行线的性质、三角形外角性质、角平
分线的定义求出∠FHP＋∠PEF＝180°−x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，即可得出答案；
②延长PQ交CD于点G，则∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，根据平行线的性质可得∠EPQ＋∠PEF＝
180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，然后根据三角形外角的性质、角平分线的定义得到∠HQP＝∠EPQ
＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，等量代换求出2∠HQP＝∠HPE＋180°即可解决问题．（1）
证明：∵PG EF，
∴∠CGP＝∠CFE，
∵∠CGP＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠BEF，
∴AB CD；
（2）
解：①∵EF平分∠PEB，
∴∠PEF＝∠BEF，
设∠PEF＝x，则∠BEF＝x，
由（1）知∠CGP＝∠CFE＝∠BEF，
∴∠CGP＝∠CFE＝x，
∴∠HGP＝180°−∠CGP＝180°−x，
∵∠FHP＝∠HGP＋∠HPG＝180°−x＋∠HPG，
∴∠FHP＋∠PEF＝180°−x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，
∵∠FHP＋∠PEF＝200°，
∴∠HPG＝200°−180°＝20°；
②依题意，延长PQ交CD于点G，如图所示，则∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，
∵PG EF，
∴∠EPQ＋∠PEF＝180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，
由（2）知∠GFE＝∠PEF，
∴∠PGF＝∠EPQ，
∵∠HQP＝∠PGF＋∠CHQ，
∴∠HQP＝∠EPQ＋∠CHQ，
∵HQ平分∠CHP，
∴∠CHQ＝∠PHQ，
∴∠HQP＝∠EPQ＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，
∵∠HPQ＋∠PHQ＝180°−∠HQP，∴∠HQP＝∠HPE＋180°−∠HQP，
∴2∠HQP＝∠HPE＋180°，
∵∠HPE＝α，
∴2∠HQP＝α＋180°，
∴∠HQP＝ ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用
平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．已知： ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点F在 、 之间， 平分 交 于点G，若
，求 的大小；
(3)如图3，点P、Q分别在 、 上，点M在 下方，点N在两平行线之间．
，请探究 之间的关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)60°；
(3)5∠MPN+3∠M-∠N=360°；
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由AB∥CD可得EF∥CD，根据两直线平行内错角相等，再计算角
的和即可证明；
（2）过点F作FM∥AG，由EH∥AG可得EH∥FM，根据平行线的性质和角平分线的定义由∠E依
次求得∠EFM，∠MFA，∠FAG，∠BAG，∠AGC即可解答；
（3）过点N作NE∥AB，过点M作MF∥AB，由AB∥CD可得NE∥CD，MF∥CD，由∠APM=3∠APN
可得∠MPN=2∠APN，根据平行线的性质依次求得∠PNE，∠QNE，∠NQD，∠FMQ，再由
∠APM+∠PMF=180°化简求值即可；（1）
证明：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥EF，
∴∠A=∠AEF，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CEF=∠C，
∴∠AEF=∠CEF+∠AEC=∠C+∠AEC，
∴∠A=∠C+∠AEC；
（2）
解：如图，过点F作FM∥AG，
∵EH∥AG，FM∥AG，
∴EH∥FM，
∴∠EFM=∠E=30°，
∵∠EFA=5∠E=150°，
∴∠MFA=∠EFA-∠EFM=120°，
∵AG∥FM，
∴∠FAG=180°-∠MFA=60°，
∵AG平分∠BAF，
∴∠BAG=∠FAG=60°，
∵AB∥CD，
∴∠AGC=∠BAG=60°，
∵AG∥EH，
∴∠EHG=∠AGC=60°；（3）
解：如图，过点N作NE∥AB，过点M作MF∥AB，
∠APM=3∠APN，则∠MPN=2∠APN，
AB∥NE，则∠PNE=∠APN= ∠MPN，
∴∠QNE=∠PNQ-∠PNE=∠PNQ- ∠MPN，
NE∥AB，AB∥CD，则NE∥CD，
∴∠NQD=180°-∠QNE=180°-∠PNQ+ ∠MPN，
∠NQD=3∠MQD，则∠MQD= （180°-∠PNQ+ ∠MPN）=60°- ∠PNQ+ ∠MPN，
MF∥AB，AB∥CD，则MF∥CD，
∴∠FMQ=∠MQD=60°- ∠PNQ+ ∠MPN，
∴∠PMF=∠FMQ+∠PMQ=60°- ∠PNQ+ ∠MPN+∠PMQ，
∵AB∥MF，
∴∠APM+∠PMF=180°，
∴∠APN+∠MPN+∠PMF=180°，
∴ ∠MPN+∠MPN+60°- ∠PNQ+ ∠MPN+∠PMQ=180°，
∴ ∠MPN+∠PMQ- ∠PNQ=120°，
∴5∠MPN+3∠PMQ-∠PNQ=360°；
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差计算等知识；正确作出辅
助线是解题关键．
7．如图1，直线 分别交直线 、 于点E、F（点F在点E左侧），动点M、N不在 ，
， 上．若 平分 ，连 ．(1)求证： ；
(2)如图2所示，点M、N停在图2位置，且 ，求 度数；
(3)如图3，点M在 左侧，点N在 下方运动，请直接写出 、 、 三个角之间存
在的数量关系______________________．（M、F、N三点不共线）
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）只需要证明 ，即可证明 ；
（2）如图所示，过点M作 ，过点N作 ，设 ，则 ，
，依据平行线的性质进行证明求解即可；
（3）分点M在CD上方和点M在CD下方两种情况求解即可．
(1)
证明：∵ 与 相交，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：如图所示，过点M作 ，过点N作 ，设 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)
解：如图2所示， 由（1）可知 ，∠AEF=2∠AEM，
∴ ；
如图3所示，过点M作 ，过点N作 ，
同理可证∠EMG=∠AEM，∠NMG=∠MNT， ，∴ ，
∴
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，利用分类讨
论的思想求解是解题的关键．
8．已知：AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A＝∠E+∠C；
(2)如图2，点F在AB、CD之间，∠BAF＝5∠E，AG平分∠BAF交CD于点G，若EH∥AG，∠E
＝30°，求∠EHG的大小；
(3)如图3，点P、Q分别在AB、CD上，点M在CD下方，点N在两平行线之间．∠APM＝
3∠APN，∠NQD＝3∠MQD，请探究∠M、∠N、∠MPN之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)75°(3)
【分析】（1）作EF∥AB．利用平行线的性质即可证明；
（2）由AG平分∠BAF交CD于点G，以及平行线的性质可得 ，根据平行线
的性质可得 ；
（3）过点 作 ，过点 作 ，设 ， ∠MQD ，根据平行线的性
质，分别表示出 ， ， ，进而根据加减消元
法即可求得 ．
（1）
证明：如图，作EF∥AB．
∵AB∥CD，
，∠A=∠AEF，
∴∠C=∠CEF，
，
，
（2）
∠BAF＝5∠E，∠E＝30°，
AG平分∠BAF交CD于点G，
，
，
，
EH∥AG，，
，
，
（3）
如图，过点 作 ，过点 作 ，设 ，
∠APM＝3∠APN， ，
，
，
，
，
设∠MQD ，
∠NQD＝3∠MQD，
，
，
，
，
，
，
即 ，
①，
，
，
②，
①×3-②得： ，
，
．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质与判定探究角之间的关系，角平分线
的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
9．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接
PE、PF．(1)如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数：
(2)如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM
的反向延长线于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
(3)若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM
所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）延长EP交CD于点G，根据平行线的性质，得 ，再根据补角和三角形外角
的性质计算，即可得到答案；
（2）延长EP交CD于点G， 交AB于点Q，根据角平分线的性质，设 ，
，根据平行线和三角形外角性质，得 ，根据三角形
外角和三角形内角和的性质，得 ；再根据平行线的性质分析，即可完成证明；
（3）根据题意，分P在直线EF左侧和右侧两种情况分析；设 ，
，根据角平分线、平行线和三角形外角的性质，得 ，再根据
三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
（1）
如图，延长EP交CD于点G
∵AB∥CD，∠AEP＝45°，∴
∵∠DFP＝105°
∴
∴ ；
（2）
如图，延长EP交CD于点G， 交AB于点Q
根据题意，得 ，
设 ，
∴
∵AB∥CD
∴ ， ，即
∴
∵
∴ ，即
∵
∴
∴
将 代入到
得：
∴
∴ ；
（3）
当点P在直线EF左侧时， 交AB于点Q，如图，根据题意，得： ，
设 ，
∴
∵AB∥CD
∴
∴
∵ ，
∴
将 代入到 ，得：
∴ ；
当点P在直线EF右侧时， 交AB于点Q， 和 相交于点K，如图，
根据题意，得： ，
设 ，
∴ ，
∵AB∥CD
∴ ，∴
∵
∴
∴
将 代入到 ，得：
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线、三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、
三角形外角、平行线的性质，从而完成求解．
10．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
(1)如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
①若∠BME=25°，∠END=75°，则∠H的度数为_______；
②探究∠MEN与∠MHN的数量关系，并给予证明；
(2)如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线
于点Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度数．
【答案】(1)①20°；② ，理由见解析
(2)15°
【分析】（1）①设MH与CD的交点为O，如图，根据平行线的性质和角平分线的性质求得
、和 的度数，再根据三角形外角的性质求解即可；②过点E，作EP//AB，可得
，类似求得 与 、 的关系，即可求解；
（2）分别过点H、E作HI//AB，EF//AB，如图，根据平行线的性质求得 ，
根据∠H＝150°，求得 ，再根据平行线的性质求得 ，利用三角形外角的性质，即可求解．
（1）
①∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ；
② ，理由如下：
过点E，作EP//AB，如下图：
∵ 平分 ， 平分
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即
可得：
（2）
分别过点H、E作HI//AB，EF//AB，如图，
∵ 平分 ， 平分 ， 平分∴ ， ， ，
∴
∵
∴
∴ ， ， ， ，
∴ ，
，
∴
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练
掌握相关基本性质，根据题意构造出辅助线．
11．如图，直线 ，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的
定点．(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现 之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当 时，作等边 ， 平分 ，交直线a于点M， 平分 ，
交直线b于点N，将 绕点B转动，且 始终在 的内部时， 的值是否发
生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得 ， 的平分线交直线a于点G，当点A在直线a
上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出 与 之间的数量关系．（本问中
的角均为小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不变化， ；
(3)∠ECB＝2∠FBG或 ，理由见解析．
【分析】（1）过点B作 ，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到 ，结合图形计算，得到答案；
（3）分点F在点A的右侧时和点F在点A的左侧时两种情况求解．
【详解】（1）解：作BH∥a，如图1：
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 的值不变化，理由如下：
如图2：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由（1）得 ，
∴ ；
（3）当点F在点A的右侧时，如图3：
，理由如下：
∵ ，
由（1）知 ，
∵ 的平分线交直线a于点G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
当点F在点A的左侧时，如图4，
，理由如下：
∵ 的平分线交直线a于点G，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上可知， 与 之间的数量关系为： 或 ．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，掌握平行线
的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
12．如图1， ，直线 与 、 分别交于点A、D，点B在直线 上，过点B作
，垂足为点G．
(1) __________；
(2)若点C在线段 上（不与A、D、G重合），连接 ， 和 的平分线交于点H，
请在图2中补全图形，猜想并证明 与 的数量关系__________；(3)若直线 的位置如图3所示，点C在线段 上（不与A、D、G重合），连接 ，
和 的平分线交于点H，请直接写出 与 的数量关系__________．
【答案】(1)
(2)2∠AHB-∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°
(3)2∠AHB+∠CBG=270°或2∠AHB-∠CBG=270°
【分析】（1）先证明 从而可得答案；
（2）分两种情况讨论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB-
∠CBG=90°；当点C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB+∠CBG=90°；
（3）分两种情况讨论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，
2∠AHB+∠CBG=270°；当C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB-
∠CBG=270°．
（1）
解：
故答案为： .
（2）
2∠AHB-∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，
证明： ①如图，当点C在AG上时，
∵ ， ∴∠MAC=∠BDC，
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，
∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，
∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH），
同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，
∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH）=2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB=∠CBG+90°，
∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB-∠CBG=90°；
②如图，当点C在DG上时，
同理可得，∠ACB=2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°-∠CBG，
∴2∠AHB=90°-∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；
（3）
2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB-∠CBG=270°．
①如图，当点C在AG上时，由 ，可得：
∠ACB=360°-∠MAC-∠PBC=360°-2（∠MAH+∠PBH），
又同理可得：∠AHB=∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB=360°-2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB=90°+∠CBG，
∴360°-2∠AHB=90°+∠CBG， 即2∠AHB+∠CBG=270°；
②如图，当C在DG上时，
同理可得，∠ACB=360°-2（∠MAH+∠PBH）， ∠AHB=∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB=360°-2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°-∠CBG，
∴360°-2∠AHB=90°-∠CBG，
∴2∠AHB-∠CBG=270°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，三角形的外角的性质的运用，准确
识图并理清图中各角度之间的关系是解题的关键，难点在于利用三角形外角性质进行计算．
13．（1）探究：如图1，AB CD EF，试说明 ．
（2）应用：如图2，AB CD，点 在 、 之间， 与 交于点 ， 与 交于点 ．
若 ， ，则 的大小是多少？
（3）拓展：如图3，直线 在直线 、 之间，且AB CD EF，点 、 分别在直线 、
上，点 是直线 上的一个动点，且不在直线 上，连接 、 ．若 ，则
度（请直接写出答案）．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290
【分析】（1）由 可得， ， ，则
；
（2）利用（1）中的结论可知， ，则可得 的度数为 ，由对顶角相等可得 ；
（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论 是钝角或 是锐角时两种情况．
【详解】解：（1）如图1， ，
， ，
，
．
（2）由（1）中探究可知， ，
，且 ，
，
；
（3）如图，当 为钝角时，
由（1）中结论可知， ，
；
当 为锐角时，如图，
由（1）中结论可知， ，
即 ，
综上， 或 ．
故答案为：70或290．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解
题关键．
14．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足 ．D为线段AC的中点．在平面直角
坐标系中以任意两点P(x ，y）、Q（x，y）为端点的线段中点坐标为 ， ．
1 1 2 2
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒
的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A
点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使
S ODP＝S ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
△ △
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝
∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，
的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．
【答案】（1）(0，4)，(2，0)，(1，2)；（2）1，理由见解析；（3）2，理由见解析
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得
出答案；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S ODP＝S ODQ，列出关于t的方
△ △
程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性
质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代
入 进行计算即可．
【详解】解：（1）∵ ．
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
∴x＝ ＝1，y＝ ＝2，
∴D（1，2）．
故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．
（2）如图1中，
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S DOP＝ OP•yD＝ （2﹣t）×2＝2﹣t，S DOQ＝ OQ•xD＝ ×2t×1＝t，
△ △
∵S ODP＝S ODQ，
△ △
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3） 的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，∴ ＝ ，
＝ ，
＝2．
【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
