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难点冲刺 03 二次函数的六个存在性问题
技巧一、固定面积的存在性问题
割补法（铅锤线法)：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到
几何图形的面积 ，可得最大面积.
技巧二、平行四边形的存在性问题
（1）3定1动：我们把3个定点顺次连接围成三角形,然后过每个定点做对边的平行线,三条直线的交点就
是我们要求的三点.
（2）2动2定：一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，然后用中点坐标和平行四边形对
角线互相平分即可计算中点坐标公式：已知 ,则线段 的中点坐标为
平行四边形的4个顶点的坐标为 ,
根据“平行四边形对角线互相平分”可知：对角线 的中点 与对角线 的中点
相同,可得
技巧三、等腰三角形的存在性问题
如果 为等腰三角形,一般来说分三种情况讨论：（1） ;（2） ;（3） .
因此,在解决等腰三角形存在性问题时,通常需要进行分类讨论,这类问题通常有两种方法：几何法与代数法.
（1）几何法：
①两定一动点：可采用“两圆一中垂”的方法快速找出点，再根据几何的相关知识求解;
②一定两动点：把三种情况对应的图全部都画出来,再根据几何的相关知识求解;
注：常见的几何相关知识有：全等三角形,相似三角形,锐角三角形函数,勾股定理,特殊角,三线合一等.
（2）代数法：
两点坐标距离公式：已知 ,
步骤如下：①先用坐标表示；②再利用两点距离公式表示出 ；
③分三类讨论：1. ，2. ，3. ;
④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结
技巧四、直角三角形的存在性问题
如果 为直角三角形，一般来说分三种情况讨论：(1) ;(2) ;(3) 。因此，
在解决等腰三角形存在性问题时，通常需要进行分类讨论，常见由两种方法处理：
（1）代数法：
步骤如下：①先用坐标表示 三个点；②再利用两点距离公式表示出 ;
③分三类讨论：1. ；2. ;3. ;
④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结
（2）解析法：
已知直线 和直线 ，若 ,则直线 。
题型一 固定面积的存在性问题
【例1】如图，顶点 在 轴负半轴上的抛物线与直线 相交于点 ， ，连接
.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若将抛物线向下平移 个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线 的下方，是否存在点 ，使
得 ？若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在一点 ，使得 ， 或 ，理由见解析；
【分析】（1）根据题意设设抛物线的解析式为 利用待定系数法即可解答；
（2）根据平移规律得到平移后的抛物线为 进而设 ， 即可得到 ，最后利用 即可解答．
【详解】（1）解：∵由图象可知抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线与直线 相交于点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，
（2）解：存在一点 ，使得 ，理由如下：
∵将抛物线向下平移 个单位长度，
∴平移后的抛物线为 ，
过点 作 轴，交 于点 ，交 轴于点 ，过点 作 轴交于点 ，
设 ， ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
,
∴ ，
∵平移之前抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
整理得到： ,
∴ ,
∴ , ，
∴ 或 ，
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，待定系数法二次函数的解析式，掌握
二次函数的图象与性质是解题的关键．
【例2】在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 经过点 ，对称轴为直线
．
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．过点 作 轴的垂线交直线 于点
，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．（ⅰ）当 时，求 与 的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请求
出点 的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（2）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出 ， ， ，继
而得出 ， ，当 时，
根据三角形的面积公式，即可求解．
（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分 和 分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为 建立方程，解
方程进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ，
解得： ，
∴ ；
（2）（ⅰ）设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴
解得： ，
∴直线 ，
如图所示，依题意， ， ， ，∴ ，
，
∴当 时， 与 的面积之和为 ，
（ⅱ）当点 在对称右侧时，则 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）
综上所述， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
【变式1-1】如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解
答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为 ．
已知二次函数 的图象经过点 ， ， ．求该二次函数的解析
式．(1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
(2)当函数值 时，自变量 的取值范围： ；
(3)如图1，将函数 的图象向右平移 个单位长度，与
的图象组成一个新的函数图象，记为 ．若点 在 上，求 的值；
(4)如图2，在（3）的条件下，点 的坐标为 ，在 上是否存在点 ，使得 若存在，求出所
有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 ，
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出 时，对应的 值，再结合图象写出 的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移 个单位后的解析式为 ，根据题意可知 时， 点在抛物线
的部分上，再求 的值即可；
（4）分两种情况讨论：当 点在抛物线 的部分上时，设 ，由，求出 点坐标即可；当 点在抛物线 的部分上时，设
，由 ，求出 点坐标即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的解析式为 ，
∴ ，
∴二次函数的顶点坐标为 ；
故答案为 （答案不唯一）；
（2）解：∵二次函数的解析式为 ，
∴令 ， ，
∴ ， ，
∴当函数值 时，自变量 的取值范围： ；
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴抛物线向右平移 个单位后的解析式为 ，
当 时，点 在抛物线 的部分上，
∴ ；
（4）解：存在点 ，使得 ，理由如下：
当 点在抛物线 的部分上时，设 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
当 点在抛物线 的部分上时，设 ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
综上所述： 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形
结合解题是关键．
【变式1-2】如图是二次函数 的图象，其顶点坐标为 ，抛物线与x轴的交点为A、
B（点A在点B的左边）(1)写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；
(2)求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
(3)在二次函数的图象上是否存在点P，使 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ，开口向上，对称轴为直线 ，
(2) ，
(3)存在，点P坐标为 或
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可得抛物线的解析式和对称轴，进而可得开口方向；
（2）令 ，解一元二次方程可得A、B坐标；
（3）由三角形的面积公式求得点P的纵坐标，结合二次函数性质，代入函数解析式中求解横坐标即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象，其顶点坐标为 ，
∴抛物线的解析式为 ，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线的开口向上；
（2）解：令 ，由 得 ， ，
∴ ， ；
（3）解：由（2）知， ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∵点P在二次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，由 得 ， ，
∴存在满足条件的点P，坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、二次函
数的图象与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数 的性质是解答的关键．
【变式1-3】如图，抛物线 经过 ， 两点，并且与 轴交于点 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出直线 的解析式为___________；
(3)若点 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，设 的长为
，求 与 之间的函数关系式及 的最大值；
(4)在 轴的负半轴上是否存在点 ，使以 ， ， 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接
写出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，当 时， 最大值为(4)存在， 或
【分析】（1）把 ， 代入抛物线解析式，即可求解；
（2）根据抛物线解析式求出点 的坐标，再利用待定系数法，即可求解；
（3）根据题意可得点 ，点 ，从而得到 ，再根据二次函数的性质，
即可求解；
（4）分三种情况：当 时，当 时，当 时，即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
点 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（3）解：如图，点 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为 ，
点 ，
轴，
点 ，
，
，
当 时，h的值最大，最大值为4；
（4）解：在 轴的负半轴上存在点 ，使以 ， ， 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：
当 时，
，
，
点 ，点 在 轴的负半轴上，
点 ；
当 时，
点 ， ，
， ，
，
，
点 在 轴的负半轴上，点 ；
当 时，点 位于 的垂直平分线上，
，
点 位于 的垂直平分线上，
此时点 与点 重合，不合题意，舍去；
综上所述，在 轴的负半轴上存在点 或 ，使以 ， ， 三点为顶点的三角形为等腰
三角形．
【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，
熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解
题的关键．
题型二 平行四边形的存在性问题
【例3】如图，抛物线 与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若点P是抛物线 段上的一点，当 的面积最大时求出点P的坐标，并求出 面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作 交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，此时 ；
(3)存在， 或 或【分析】（1）分别将 ， 代入求解即可；
（2）方法一：连接 ， ，通过 表示出函数关系，利用函数的
性质进行求解；方法二：作 于Q，交 于点D， ， 求得函
数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形 为平行四边形时或当四边形 为平行四边形时，利用平行四边形
的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
（2）方法一：如图1，
连接 ，
设点 ，∴ ，
∴
∴当 时， ，此时 ；
方法二：如图2，
作 于Q，交 于点D，设 解析式为：
∵ ，则 ，解得
∴直线 的解析式为： ，
∴ ，∴ ，
∴
∴当 时， ，此时 ；
（3）如图3，
当四边形 为平行四边形时， ，
∵抛物线对称轴为直线： ，
∴ 点的坐标：
如图4，当四边形 为平行四边形时，
作 于G，∴ ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，
解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
【例4】如图，抛物线 的顶点为 ，与x轴的交点为A和B．将抛物线
绕点B逆时针方向旋转90°，点 ， 为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D
两点．(1)若原抛物线过点 ，求抛物线 的解析式；
(2)若A， 关于点M成中心对称，求直线 的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段
的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)点P坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得点M是等腰直角三角形 斜边中线的中点，求得 ， ，利用待定系数法即
可求解；
（3）先求得原抛物线的解析式以及旋转后的的图形的对称轴，分①当 为边，②当 为对角线时两种
情况讨论，利用平移的性质列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵原抛物线过点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，即 ；
（2）解：如图，
由题意得 ， ，
∵A， 关于点M成中心对称，
∴点M是等腰直角三角形 斜边中线的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）解：如图，由（2）得 ， ， ，由旋转的性质知 ，
设原抛物线的解析式为 ，
代入 得 ，
解得 ，
∴原抛物线的解析式为 ，
∴旋转后的图形的对称轴为 ，
∵E为线段 的中点，
∴ ，
①当 为边，且点E的对应点为点Q时，此时点E的纵坐标 向下平移 个单位，同时点B的纵坐标0
向下平移 个单位得到点P的纵坐标为 ，
∵点P在抛物线 上，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P坐标为 或 ；②当 为对角线时，由 的中点坐标为 ，
∵点Q的纵坐标 ，
∴点P的纵坐标为 ，
∵点P在抛物线 上，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P坐标为 或 ；
综上，点P坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的
性质，一元二次方程的解法．抛物线的旋转可理解为每个点都绕点B逆时针旋转了 ．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两点，与
y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C的对称轴对称．
(1)求抛物线 的函数表达式及点D的坐标；(2)将抛物线 沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线 ， 与y轴交于点E，点D平移后的对应点为
F，P为抛物线 的对称轴上的动点．请问在抛物线 上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)在抛物线 上存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为 或
或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出顶点坐标即可；
（2） 的函数表达式为 ，点F的坐标为 ，
设点Q的横坐标为n，分情况讨论：当 为边，P在Q的左侧时，当 为边，P在Q的右侧时，当
为对角线时，分别求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：将 、 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线 的函数表达式为 ．
令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ，
令 时， ，
解得 ， ，
∴点D的坐标为 ．
（2）解：存在；∵ ，
∴ 的函数表达式为 ，
易得点P的横坐标为2，点E的坐标为 ，
∵点D平移后的对应点为点F，
∴点F的坐标为 ，
设点Q的横坐标为n，分情况讨论：
①当 为边，P在Q的左侧时， ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
②当 为边，P在Q的右侧时， ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
③当 为对角线时， ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
综上，在抛物线 上存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，平行四边形的性质，解题的关键是
熟练掌握二次函数的性质，数形结合，并注意进行分类讨论．
【变式2-2】如图1，已知抛物线 经过点 ， 两点，且与y轴交于点C．
(1)填空： ______， ______；求得直线 的解析式为______．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点M，使得 的面积最大？求出点M的坐标及 的面积
最大值，若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段 上的一点，过P作x轴的平行线交抛物线于Q，是否存在这样的点P，使O，A，P，Q
四点能组成一个平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ，3，
(2)存在， ，
(3)存在， 或
【分析】 由题意知，抛物线的表达式为 ，即可求解，待定系数法求出直
线解析式；
（2）过点M作y轴的平行线交 于点H，利用 的面积 ，即可求解；
，A，P，Q四点能组成一个平行四边形，则 只能是平行四边形的边，设点 ，则点
或 ，将点Q的坐标代入抛物线表达式，即可求解．【详解】（1）解：由题意知，抛物线的表达式为 ，则点 ，
设直线 的表达式为 ，
则 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ，
故答案是 ，3， ；
（2）存在，理由：
过点M作y轴的平行线交 于点H，
设点 ，则点 ，
则 的面积 ，
，
故 的面积存在最大值，
当 时， 的面积最大值为 ，
此时点M的坐标为 ；
（3）存在，理由：
，A，P，Q四点能组成一个平行四边形，则 只能是平行四边形的边，
，
设点 ，则点 或 ，
将点Q的坐标代入抛物线表达式得： 或 ，解得： 或 舍去 和 ，
故点P的坐标为 或
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，
其中 ，要注意分类求解，避免遗漏．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，点 为抛物线的顶点，点 在
轴上，直线 与抛物线在第一象限交于点 ，如图①
(1)求抛物线解析式
(2)直线 的函数解析式为________________．点 的坐标为________．
(3)在 轴上找一点 ，使得 的周长最小，具体作法如图②，作点 关于 轴的对称点 ，连接
交 轴于点 ，连接 ， ，此时 的周长最小，请求出点 的坐标；
(4)在坐标平面内是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；
(3)(4) 或 或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线 的函数解析式，即可
求解；
（3）求出直线 的解析式，即可求解；
（4）根据平行四边形的性质，分两种情况讨论：当 是边时，当 是对角线时，即可求解．
【详解】（1）解：把点 ， 代入，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴点M的坐标为 ；
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
故答案为： ；
（3）解：∵ 关于 轴的对称点 ， ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点Q的坐标为 ；
（4）解：存在，
设点 ，
∵点A、C、O的坐标分别为（-4，0）、（2，6）、（0，0），
当 是边时， 点A先向右平移6个单位，再向上平移6个单位得到点C，
同样点 或N先向右平移6个单位，再向上平移6个单位得到点N或O，
即 ，
解得： ，
此时点N的坐标为 或 ；
当 是对角线时，
由中点公式得： ，
解得： ，
此时点N的坐标为 ；
综上所述，点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平
行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
题型三 菱形的存在性问题
【例5】综合与探究：如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），
与y轴交于点C，直线 与抛物线的对称轴交于点E．将直线 沿射线 方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线 的解析式；
(2)当 是以 为斜边的直角三角形时，求出n的值；
(3)直线 上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；直线BC的解析式为
；直线AC的解析式为
(2)
(3)存在， 点坐标为 或
【分析】（1）分别求出 、 、 的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）先求平移后的直线解析式为 ，则 ，再由勾股定理可得方程
，求出 或 （舍 ；
（3）先求 ， ，当 、 为邻边时， 与 为菱形的对角线， 轴，可得
， ，再将点 代入直线 的解析式中求出 的值，即可求 ；当 为菱形的对角线时， ，此时 ， ，再将点 代入直线 的解析式中求出 的值，即可求 ．
【详解】（1）当 时， ，
解得 或 ，
， ，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2） ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
平移后的直线解析式为 ，
，
， ， ，
是以 为斜边的直角三角形，
，
解得 或 （舍 ；
（3）存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，理由如下：当 时，解得 ，
， ，
当 、 为邻边时， 与 为菱形的对角线，
，
轴，
， ，
，
解得 ，
；
当 为菱形的对角线时， ，
， ，
，
解得 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直线平移的性质，勾股定理，
菱形的性质是解题的关键．
【例6】在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ，对称轴是直线 ．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 是等边三角形时，求出此三角形
的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为 ，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四
边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在点F，当 或 或 或 时，以点A，D，E，F为顶点的四边形
为菱形．
【分析】（1）根据对称轴 和过点 列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作 交 于D，设点 ，则 ；然后表示出
，再根据 是等边三角形可得 , ，根据三角函数解直角三角形可得
，进而求得 即可解答；
（3）如图可知：线段 为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，解得： ，
所以抛物线的函数表达式为 ；
当 时， ，则顶点M的坐标为 ．
（2）解：如图：过点M作 交 于D
设点 ，则 ,
∴ ，
∵ 是等边三角形,
∴ ,
∴ ,即 ，解得： 或 （舍去）
∴ ， ，
∴该三角形的边长 ．
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段 作为菱形的边，
当 为菱形的对角线时，作 关于直线 的对称线段交 于E，连接 ,作点E关于 的对称点
F，即 为菱形，由对称性可得F的坐标为 ，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时 ．
当 为菱形对角线时， ，
设 ， ，
则 ，解得： 或 ，
∴ 或
②线段 作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形 ,
∴ , 的中点G的坐标为 ，点G是 的中点，
∴ ，解得 ，
∴ ，
设 ，
则有： ，解得： ，∴ ．
综上，当 或 或 或 时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、
菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （ 为常数）与一次函数 （ 为
常数）交于 ， 两点，其中 点坐标为 ．
(1)求 点坐标；
(2)点 为直线 上方抛物线上一点，连接 、 ，当 时，求点 的坐标；
(3)将抛物线 （ 为常数）沿射线 平移 个单位，平移后的抛物线 与原拋物线
相交于点 ，点 为抛物线 的顶点，点 为 轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点且 为对角线的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法，将 分别代入抛物线和一次函数解析式，求得 、 的的值，再联
立抛物线和一次函数求解，即可得出点坐标；
（2）过点 作 轴交 与点 ，设 ，则 ，进而得到 ，再利
用 ，求得 ，即可得到点 的坐标；
（3）先求出直线 与 轴交于点 ，再利用等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到
，可得沿射线 平移 个单位，即为向右平移5个单位，向下平移5个单位，进入得出平
移后的抛物线 的解析式，得到顶点 ，联立两条抛物线，得出 ，然后根据菱形的性质，得
到 、 互相平分， ，设点 ， ，利用坐标中点公式，得出 ，由坐
标两点距离公式得到 和 的长，进而求出 ，即可得到点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ，
，解得： ，
，
一次函数 经过 ，，解得； ，
，
联立 ，解得： 或 （舍），
；
（2）解：如图，过点 作 轴交 与点 ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
；（3）解：存在，
如图，直线 与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
抛物线 沿射线 平移 个单位，即为向右平移5个单位，向下平移5个单位，
∵ ，
平移后的解析式为 ，
点 为抛物线 的顶点，
，
联立 ，解得： ，
，
当 为对角线，且四边形 是菱形时， 、 互相平分， ，
令对角线 、 相交于点 ，
， ，
，
设点 ， ，，
即 ，
， ，
，
，
， ，
，
解得： ，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，菱
形的性质，坐标中点公式以及距离公式，二次函数的平移等知识，综合性较强，灵活运用相关知识解决问
题是解题关键．
【变式3-2】已知，抛物线L： 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点 ．(1)求抛物线L的表达式．
(2)若点P是直线 上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线 ，点B的对应点为Q，是否存在以
四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，平移方式见解析
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得： ，
解得： ．
抛物线L的表达式为 ；
（2）解：存在以 四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
点 ，点 ，
，
如图，当四边形 为菱形时，过点P作 轴于点C，
令 ，则 ，
，
，
令 ，则 ，
，
，
，
，
，
轴，
，
四边形 为菱形，
，
，
， ，
抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位；
同理，当点P在第三象限时， ， ，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移 个单位，再向下平移 个单位；
如图，当四边形 为菱形时，，
，
四边形 为菱形，
，
，
四边形 为正方形，
， ，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；
如图，当四边形 为菱形时，
，
，
四边形 为菱形，
，
，
四边形 为正方形，
， ，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移4个单位，再向上平移4个单位．【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标
的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标
表示出相应线段的长度是解题的关键．
【变式3-3】如图，已知二次函数 图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛
物线的顶点，连接 ．
(1)求 ；
(2)如图1，点P在直线 下方抛物线上的一个动点，过点P作 交于点Q，过点P作 轴交
于点E，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点M在新抛物线
对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以 为边的菱形，请直接写出
所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．
【答案】(1)4
(2)当 时， 取得最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为
(3)使以 为边的菱形的N点有：
【分析】（1）已知函数解析式，分别令 ，解方程即可求得B、C、D的坐标，再运用三角形面
积公式即可求得答案．（2）利用待定系数法可得直线 的解析式为 设 ，可表示出 ，利用等腰直角
三角形性质可将 表示 的长，进而用点 坐标将 表示成函数，借助二次函数求最值的方法即
可求得 的最大值．
（3）菱形的存在性问题先转化为求以 为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问
题的处理方法写出第四点N即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
解得：
∴
∴
∴
（2）解：设直线 的解析式为 ，
则
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为
（3）解：依题意，抛物线沿射线 平移 个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．
平移后抛物线解析式为： ，对称轴为直线 ．
故设点 又
∴
由题意知，以 为腰的等腰三角形 有两种情况：
如图1，当 时，则 ，
解得：
由平行四边形对角线互相平分可知：
∴
②如图2，当 时，则
解得：
∴
∴
综上：使以BM为边的菱形的N点有：
【点睛】题目主要考查二次函数综合题．综合性较高，要求学生有较强的逻辑推理能力和计算能力．
题型四 等腰三角形的存在性问题
【例7】如图，抛物线 交 轴于点 、 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，点 、 的
坐标分别为 ， ，对称轴 交 轴于 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一点，且 ．求 的坐标；
(3) 为抛物线对称轴上一点，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，(3) 或 或 或
【分析】（1）由点 、点 的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．
（2）由抛物线解析式可求出顶点 的坐标，进而求出 和 的面积，由面积可推出 的
边上的高 ，求出到 距离等于 的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点 的
坐标．
（3）若 是等腰三角形，通过作图画 两圆一线 来确定点 的位置，再根据半径的长度及勾股定
理求出点 的坐标．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入抛物线解析式，由对称轴 ，
得
解得，
抛物线解析式为： ．
（2）将 代入抛物线解析式得： ，
顶点
，
，
设直线 解析式为： ，
将点 ，点 代入，
得解得，
直线 的解析式为：
如图，设直线 与对称轴的交点为 ，将 代入
点 ，
，
，
设 中 边上的高为 ，则 ，
如图，设在直线 下方的 轴上有一点 到 的距离为 ，且 ，
， ，
是等腰直角三角形
，
点 在过点 与直线 平行的直线上，
即将直线 向下平移 个单位长度即可得到直线 ，
直线 的解析式为：
联立 ，
解得： 或
点 的坐标为 ， ．（3） 点 与点 关于对称轴 对称，点 ，
点 ，
①如图，连接 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
由图知：点 位于点 上方时， 、 、 三点共线，所以此点舍去；
点 位于点 下方时，点 与点 重合，此时点 的坐标为 ．
②如图，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
在 中， ， ，此时点 的坐标为 或 ．
③如图，作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 轴交于点 ，与对称轴的交点即为所求点 ，
此时 ， 为等腰三角形．
连接 ， 为线段 的垂直平分线，
，点 为 中点，
， ， 由中点坐标公式得点
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
点
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式，
得 ，
解得 ，直线 解析式为：
将 代入直线 解析式得： ，
此时点 ．
综上所述：点Ｍ的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三
角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键．
【例8】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P： 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于
点C，且图象与抛物线Q： 的图象关于原点中心对称．
(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作 轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件
的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 最大值为
(3) 或 或 或
【分析】（1）先求出抛物线Q与y轴、x轴的交点坐标，再由抛物线Q与抛物线P关于原点对称即可得点
A、B、C坐标，即可求抛物线P；
（2）设 得表达式为 ，将点B、C代入得 ，设 ，则 ，
表示出 及可求解；
（3）对称轴与x轴交于点F， 得对称轴为 ，判断 ，分① ，②
两种情况求解即可；
【详解】（1）解：当 时， ，
∴抛物线Q与y轴的交点为 ，
当 时， ，
解得： 或 ，
∴抛物线Q与x轴的交点为 ，
∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，
∴ ，
将点A、C代入 中得 ，
解得： ，
∴ ．（2）设 得表达式为 ，
将点B、C代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
设 ，则 ；
，
∴ 最大值为 ．
（3）对称轴与x轴交于点F，
∵ 得对称轴为 ，
∴ ，
① 当 时， 是等腰三角形，
，
∴ 或 ．
② 当 时， 是等腰三角形，
，
∴ 或 ．
∴ 或 或 或 ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一次函数应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关
键．
【变式4-1】如图，抛物线 与x轴交于B，C两点（点B在点C的右侧），其顶点为点
，且抛物线经过点 ．连接 交y轴于D
(1)求a，h，k的值．
(2)证明： 是直角三角形．
(3)在对称轴上是否存在点M，使得 是等腰三角形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)存在，点M的坐标是 或 或 或 或 ；【分析】（1）根据顶点坐标即可求出h，k，把 代入即可求出a；
（2）根据抛物线的性质可得 ，设直线 的解析式为 ，从而求出 ，进而用勾股定
理逆定理证明即可；
（3）设 ，分三种情况讨论：当 时；当 时；当 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为 ，
∴
把顶点 代入 得， ，
∵抛物线经过点 ，
∴ ，解得：
（2）证明：∵顶点坐标为 ，
∴抛物线对称轴 ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，解得： ，∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
当 时， 是等腰三角形，则 ，
解得： ， ，
∴ ，或 ；
当 时， 是等腰三角形，则 ，
解得： ， ，
∴ ，或 ；
当 时， 是等腰三角形，则 ，
解得： ，
∴ ；∴点M的坐标是 或 或 或 或 ；
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形及直角三角形的判定和性质，用到了分类讨
论的数学思想，因此考虑问题一定要全面，以免漏解．
【变式4-2】如图，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为 ，点C
坐标为 ，对称轴为 ．点M为线段 上的一个动点（不与两端点重合），过点M作 轴，
交抛物线于点P，交 于点Q．
(1)求抛物线及直线 的表达式；
(2)过点P作 ，垂足为点N．求线段 的最大值；
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若
存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为 ，直线BC的解析式为 ；
(2)最大值为
(3)存在， 或 或
【分析】（1）先利用对称性求出点B的坐标，运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 ，则 ， ，由 ，可得 ，再由平行线性质可得 ，根据三角函数定义可得 ，利用二次函数最值即
可得出答案；
（3）设 ，利用勾股定理或两点间距离公式可得： ， ，
，根据等腰三角形性质分三种情况： 或 或 ，分别建立方程求解即可
得出答案．
【详解】（1）∵抛物线对称轴为 ，点B与 关于直线x＝1对称，
∴ ，
设 ，把 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
故抛物线解析式为 ，直线 的解析式为 ；
（2）设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ，∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最大值为 ；
（3）存在，设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，
∴ 或 或 ，
当 时， ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ；
当 时， ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ；
当 时， ，
解得： ，
∴ ；
综上所述，点Q的坐标为 或 或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，三角函数，
等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，两点间距离公式等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式4-3】综合与探究：如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，连接 ，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 ，交直线 于点
Q．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式；
(2)在点P运动的过程中，若 ，求点P的坐标；
(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 、 、 ，
(2)
(3)（ ， ）或
【分析】（1）分别令 ，可求得A，B，C三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线 的
函数表达式；
（2）过点P作 轴交直线 于D，过点A作 轴交直线 于E，则 ，设
，且 ，则 ，得 ，由
，可得 ，进而得出 ，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；
（3）可设 ，利用勾股定理表示出 ，分三种情况讨论：当 时，当 时，当 时，然后分别解方程求出n即可得到对应的Q点坐标．
【详解】（1）解：令 ，得 ，
解得： ，
∴ ，
令 ，得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）解：如图，过点P作 轴交直线 于D，过点A作 轴交直线 于E，
∵ ，直线 的函数表达式为 ，
∴ ，
设 ，且 ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
当 时， ，
解得 （舍去），
∴Q点坐标为（ ， ）；
当 时， ，
解得 （舍去），
∴Q点坐标为 ；
当 时， ，
解得 （舍去），
综上所述，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q点坐标为（ ，
）或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰
三角形的性质等知识点，运用分类讨论思想和方程思想是解题的关键．
题型五 直角三角形的存在性问题【例9】如图1，已知抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点B的左侧），与 轴交
于点C，且 ，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线 上方抛物线上的点，过点P作 ， ，与 分别交于点Q和E，如图
2，求 的最大值；
(3)连接 与 ，是否存在以 为直角边的 ．如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）由 ，可得出 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线 解析式为 ，又可知 ， ，则
．又易证 为等腰直角三角形，则得出
．最后根据二次函数的性质求解即可．
（3）由两点的距离公式可求出 ， ，．再根据 为直角三角形，且 为直角边，可分类讨论：当另
一直角边为 ，斜边为 时，当另一直角边为 ，斜边为 时，根据勾股定理可列出关于m的方程，
解出m的值，再舍去不合题意的值，即可得解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∵抛物线 过点B、C，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设直线 解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∴ ．
∵点P的横坐标为 ，则 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ 的最大值为 ；（3）存在，点P的坐标为 或 ．
∵点P的横坐标为 ，则 ，
∵ ， ．
∴ ，
，
．
∵ 为直角三角形，且 为直角边，
∴可分类讨论：当另一直角边为 ，斜边为 时，如图 ,
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： ， （舍），
∴此时 ，即 ；
当另一直角边为 ，斜边为 时，如图
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： ， （舍），
∴此时 ，即 ．综上可知存在以 为直角边的 ，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，
等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确求出二次函数解析式，并利用数形结合和分类讨论
的思想是解题关键．
【例10】如图1所示，已知直线 与抛物线 分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别
是点 和点 ，且抛物线的对称轴为直线 ．
(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段 上一点，且 ，点M是y轴上一个动点，求线段 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说
明理由．
【答案】(1) ， ， ， ；
(2)
(3) 或 或 或 ．【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值；
（2）由 求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段 的最小值；
（3）不确定直角三角形 的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标．
【详解】（1）∵直线 过点 和点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 过点 和点 ，对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ；
（2）过点Q作 轴，垂足为N，作 关于y轴的对称点 ，∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（3）存在点P，使 是直角三角形，P点坐标为 或 或 或 ．理由如
下：
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴设P点坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴P点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角
三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大．
【变式5-1】如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C，点D与点
C关于x轴对称，点 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线 交抛物线于点Q，交直线 于
点M，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 平分 时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的
坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先求出直线 和 的表达式，然后得到 ， ，
，进而表示出 ，
，最后利用 平分 列方程求解即可；
（3）首先根据题意表示出 ， ， ，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）将 ， 代入 得，
，解得
∴ ；
（2）当 时，
∴
∵点D与点C关于x轴对称，
∴
∴设直线 的表达式为
∴ ，解得
∴直线 的表达式为
同理可得直线 的表达式为
∵∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分
∴
∴
∴解得 ， （舍去）
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
当 时，
∴
∴∴解得 或 （舍去），
∴ ；
当 时，
∴
∴
∴解得 或 （舍去）
∴
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解（2）的关键
是利用对称得出D点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用勾股定理得出关于
m的方程，并分类讨论，以防遗漏．
【变式5-2】已知直线l与 轴、 轴分别相交于 、 两点，抛物线 经
过点 ，交 轴正半轴于点 ．(1)求直线 的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点 ，连接 、 ，求 面积的最大值及点 的坐标．
(3)抛物线上是否存在点 使 为直角三角形，如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
(2) ，
(3)存在，点 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先利用待定系数法求得直线 的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析
式；
（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶
点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）分三种情况讨论，分别当 为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， 代入得： ，
， ，
一次函数解析式为： ，
把 代入 ，
，，
二次函数解析式为： ；
（2）解：连接 ，
把 代入 得， ，
或3，
抛物线与 轴的交点横坐标为 和3，
设点 ，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
的坐标为 ，
，
当 时， 取得最大值 ．
此时 的坐标为 ；
（3）解：设点 ，
则 ， ， ，
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴点 ；当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴点 ；
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 （舍去）或 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化
的数学思想解答．
【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点．与y
轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 的最大值为 ，
(3) 或
【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线 的解析式为 ，设 （ ），可求
，从而可求 ，即可求解；
（3）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，
设 ， 可求 ， ，由 ，可求 ，进而求出直线
的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，则有
，解得： ，
直线 的解析式为 ；
设 （ ），
，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ，
，．
故 的最大值为 ， ．
（3）解：存在，
如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，
，
，
，
，
，
解得： ，
；设直线 的解析式为 ，则有
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
，且经过 ，
直线 解析式为 ，
当 时， ，
；
综上所述：存在， 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理
等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
题型六 等腰直角三角形的存在性问题
【例11】如图①，已知抛物线 的图象经过点 ， ．过点 作 轴交抛物线
于点 ， 的平分线交线段 于点 ，连结 ．
(1)求抛物线的关系式并写出点 的坐标；(2)若动点 在 轴下方的抛物线上，连结 、 ，当 面积最大时，求出此时 点横坐标；
(3)若将抛物线向上平移 个单位，且其顶点始终落在 的内部或边上，写出 的取值范围；
(4)如图②， 是抛物线的对称轴上 的一点，在抛物线上是否存在点 ，使 成为以点 为直角顶点
的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 的横坐标为 ；
(3) ；
(4)存在，点P的坐标是： 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过 作 轴，交 于点 ，设 ， ，根据 的解析式表示点 的坐标，表示
的长，根据面积和可得 的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与 的交点坐标、与 的交点坐标，用含 的代数
式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出 的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明 ，根据 ，列方程可得点
的坐标；同理可得其他图形中点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 ： 的图象经过点 ， ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为： ；
平分 ， ，
，
是等腰直角三角形，
，，
（2）如图1，过 作 轴，交 于点 ，
设 ，
设直线 的解析式为 ，把点 ， 代入得，
，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
， ，
，
，
，
当 时， 面积最大，
的横坐标为（3）由 ，得抛物线 的对称轴为直线 ，顶点为 ， ，
抛物线 向上平移 个单位长度后顶点为 ， ．
设直线 交 于点 ，交 于点 ，则 ， ，如图 ，
直线 的解析式为： ，
， ，
点 在 内 包括 的边界 ，
，
解得 ；
（4）设 ，分四种情况：
①当 在对称轴的左边，且在 轴下方时，如图 ，过 作 轴，交 轴于 ，交 于 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，，
，
，
，
则 ，
解得： 或 ，
，不合题意，舍去，
，
此时 ，
的坐标为 ；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得： ，
解得： 或 ，
，不合题意，舍去，
，
此时 ，
的坐标为 ；
③当 在对称轴的右边，且在 轴下方时，如图 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ，同理得 ，
，
则 ，
解得： 或 ，
，不合题意，舍去，
，
此时 ，
的坐标为 ；
④当 在对称轴的右边，且在 轴上方时，如图 ，同理得 ，
解得： 或 舍 ，
的坐标为： ；
综上所述，点 的坐标是： 或 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平
移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的
关键．
【例12】如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；
(2)过点C作x轴的平行线l，点E在直线l上运动，在点E运动的过程中，试判断在对称轴右侧的抛物线上
是否存在点P，使得 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，对称轴为
(2)在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P坐标为
或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分类讨论，①当点P在l上方时，证明 ，设点P的横坐标为 ，列出一元二次方程即可求解；②当点P在l下方时，证明 ，设点P的横坐标为 ，列出一
元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ．
∴抛物线的对称轴为 ；
（2）解：存在．
令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ．
∵ ， ，
∴ ．
当点P位于l与抛物线的交点处时，显然不符合题意，可按如下情况分类讨论：
①当点P在l上方时，如图1，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作 交 的延长线于
点J，则 ，
∵ 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点P的横坐标为 ，
则 ， ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴点P的坐标为 ；
②当点P在l下方时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作 交 的延长线于
点J，
同理可得 ，
∴ ， ，
设点P的横坐标为 ，则 ，
解得 ， （舍去）．
∴点P坐标为 ．
综上，在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P坐标
为 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对
称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点 ， 关于x轴斜对称，在平面直角坐标
系 中，点A的坐标为 ．
(1)下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）；
① ，② ，③ ，④ ．
(2)若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线 上， 的面积为3，求k的值；
(3)抛物线 上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且 为等腰
直角三角形，则b的值为________．
【答案】(1)①④
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据关于x轴斜对称的定义进行逐一判断即可；
（2）根据关于x轴纵对称的点的定义，设 ，如图所示，设 与x轴相交于点C，根据三角形面
积公式求出 ，再分点C在x轴正半轴和在x轴负半轴两种情况求出直线 的解析式，进而求出点
B的坐标，再把点B的坐标代入到直线 中进行求解即可；
（3）根据成纵对称的点的定义，可知这两个点的纵坐标为 ，再令 ，则 ，可得点M的坐标为 ，点 ，然后根据 为等腰直角三角形，可得 ，可得到关于b的
方程，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得，与 点关于x轴斜对称的点是 ， ，
故答案为：①④；
（2）解：由斜对称的定义可设 ，且 ，
如图所示，设 与x轴相交于点C，
∴ ，
；
①当C在x轴正半轴时： ， ，
设直线 的函数解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数解析式为： ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
把 代入 中得 ；②当C在x轴负半轴时： ，
同理可得 的函数解析式为：
把 代入 中得得 ，
∴ ，
把 代入 中得 ；
综上所述， 或 ；
（3）解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的顶点D的坐标为 ，
∵点M，N与点A关于x轴斜对称，
∴点M，N的纵坐标为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点M的坐标为 ，点 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，且 ，∴ ，
解得： 或0（舍去），
∵当 时，N不是A关于x轴的斜对称，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于新定义题，是一次函数与几何图形，二次函数与一元二次方程的综合，难度较大，解题
的关键是理解新定义，并能灵活运用所学知识进行解答．
【变式6-2】如图，二次函数 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求函数表达式及顶点坐标；
(2)连接 ，点P为线段 上方抛物线上一点，过点P作 轴于点Q，交 于点H，当
时，求点P的坐标；
(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得 是以 为斜边的等腰直角三角形，若
存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)
(3)存在； 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出直线 的解析式，设点 ，则 ，则 ，，根据 ，列出关于m的方程，解方程即可；
（3）过点M作 轴，交对称轴于点F，过点B作 于点E，证明 ，得出
，设点 ，则 ， ，得出 ，求出s
的值即可．
【详解】（1）解：把点 、 代入 得： ，
解得：
∴ ，
∴顶点坐标为： ；
（2）解：把 代入 得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
设点 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去），∴ ；
（3）解：过点M作 轴，交对称轴于点F，过点B作 于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则 ， ，
∴ ，
当 时，解得： 或 ；
当 时，解得： 或 ；
综上分析可知，点M的横坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二
次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明 ．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两点，
与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以 为斜边的
等腰直角 ？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设 ，分两种情况讨论：①当点E在x轴负半轴上时，②当点E在x轴正半轴上时，
分别画出图形，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：将 、 代入函数： 中，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：存在．理由如下：
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴设 ，①当点E在x轴负半轴上时，
如图1，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交l于点M和点N，
图1
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴点E的坐标为 ；
②当点E在x轴正半轴上时，
如图2，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交I于点M和点N，
图2同理可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ ，
∴点E的坐标为 ．
综上所述，点E的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，求二次函数解析式，解题的关
键是数形结合，根据题意画出相应的图形，并注意进行分类讨论．
1．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为线段 上方抛物线上的一点，过点P作 轴交直线 于点E，过点P作 交直线
于点F，求 周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移，得到新抛物线 ，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点
的三角形是以 为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 的周长最大为 ，此时点P的坐标为
(3) 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点P作 轴交直线 于G，先求出 ，进而求出直线 的解析式为
，设 ，则 ，则 ，求出 ，
，得到 ， ， ， ；进一步证明 是等腰直角三角形，
得到 ；证明 ，一处 ，则 的周长
，推出当 最大时， 的周长最大，据此求解即可；
（3）由 ，可设将抛物线 向右平移n个单位长度，再向下平移
n个单位长度得到新抛物线 ，再根据平移后的抛物线与原抛物线交于点B，求出平移后的抛物线解析式
为 ；设点M的坐标为 ，然后分如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作
轴于H，过点Q作 轴于E，如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作 轴于
H，过点Q作 轴于E，两种情况证明 ，得到 ，进而用含t的式子表示出点Q的坐标，再根据，点Q在抛物线 上进行代入求解即可．
【详解】（1）解：把 代入到抛物线解析式 中得： ，
解得 ，
∴抛物线解析式为
（2）解：如图所示，过点P作 轴交直线 于G，
在 中，当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ；
∵ 轴， 轴，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴当 最大时， 的周长最大，
∵ ， ，
∴当 时， 最大，最大为 ，
∴ 的周长最大为 ，此时点P的坐标为 ；
（3）解：∵ ，
∴可设将抛物线 向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得
到新抛物线 ，
∴ ，
∵平移后的抛物线与原抛物线交于点B，∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴平移后的抛物线解析式为 ；
设点M的坐标为 ，
如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作 轴于H，过点Q作 轴于G，
∴ ，
∵ 以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点Q在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或 ；
如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作 轴于H，过点Q作 轴于E，
同理可证 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点Q在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或 ；
综上所述，点M的坐标为 或 或 或 ．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角
三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关
键．
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知抛物线L： 经过点 和 ，与x
轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L的函数表达式：
(2)将抛物线L平移，得到抛物线 ，且点A经过平移后得到的对应点为 ．要使 是以 为斜边的
等腰直角三角形，求满足条件的抛物线 的函数表达式．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）把点 和 代入 ，求出b和c的值，即可求出表达式；
（2）根据题意，画出图形，再进行分类讨论：①当点 在 上方时，②当点 在 下方时，分别求出
的坐标，分析函数的平移方式，即可求解．
【详解】（1）解：把点 和 代入 得：
，解得 ，
∴抛物线L的函数表达式为： ．（2）解：把 代入 得： ，
解得： ， ，
∵点A在点B的左侧，
∴ ，
把 代入得 ，
∴ ，
①当点 在 上方时：
过点 作 轴的平行线交y轴于点P，过点B作y轴的平行线，交 于点Q，
∵ 轴， 轴， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
设点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，∴抛物线L向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度得到 ，
∵抛物线L的函数表达式为： ，
∴抛物线 的函数表达式为： ，
②当点 在 下方时：
同理可得：
设点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线L向下平移3个单位长度，向右平移4个单位长度得到 ，
∴抛物线 的函数表达式为： ，综上：抛物线 的函数表达式 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二
次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．
3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于
点 ，与 轴交于点 ， （点 在点 的左边）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，连接 ， ， ．试判定 的形状，并说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析(3)存在，点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）将 ， 代入 ，从而得到 ， 的值即可得到抛物线的解析式；
（2）令 ，求得点 的坐标，得到 ， ， 的长度，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）先求得抛物线的对称轴 ， 的长度，设 ，根据等腰三角形的定义，分三种情况：
， ， ，列出关于 的方程求解即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： 或 ，
， ，
， ，
，
，
是直角三角形；（3）解： ， ，抛物线 的对称轴为直线 ，
，
设 ，则 ， ，
当 时，则 ，
解得 ，
，
当 时，则 ，
解得： 或 ，
或 （舍去，与B、C共线，不能构成三角形），
当 时，则 ，
解得： 或 ，
或 ，
综上所述，存在点 ，使 是等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或
．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，等腰三角形的
定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论．
4．（2022秋·山东泰安·九年级校考期中）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴
交于C点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)证明 为直角三角形；
(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使 是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，分别将 ， 代
入求得 、 、 的坐标；
（2）由（1）得到边 ， ， 的长，再根据勾股定理的逆定理来判定 为直角三角形；
（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 、 两点，
．即 ．
解之得： ， ．点 、 的坐标为 ， 、 ， ．
将 代入 ，得 点的坐标为 ；
（2）解：由两点间的距离公式得： ， ， ，
，则 ，
是直角三角形；
（3）解：当 轴，即 点与 点是关于抛物线对称轴的对称点，而 点坐标为
设 ，把 代入 得：
，
， ．
点坐标为 ， ．
【点睛】此题考查了二次函数与 轴的交点的纵坐标为0；与 轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，
二次函数的对称性等知识点．
5．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，抛物线 经过点 与点 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标；(2)点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如
果 ，求PM的长；
(3)探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请
求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)1
(3)存在，点 或 或 或 或
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的横坐标为m，则 ， ，用待定系数法求出直线 的解析式，从而
得出点P坐标，根据 ，列出关于m的方程，解方程即可；
（3）由 得抛物线的对称轴为 ，设点E的坐标为 ，利用勾股定理得出 的
长，分三种情况根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）把 ， 代入 得，
，
解得
∴抛物线的函数解析式为 ．
令
解得 ， ．
∴点B坐标为 ．
（2）∵ ，∴直线AC的解析式为 ．
设线段AC上的点 ，则点 ，点 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴ ．
（3）存在．抛物线的对称轴为 ，
设点E为 ，
∴ ， ， ．
①当 时，有
∴ ，
解得 ．
②当 时，有 ，∴ ，
解得 ， ．
③当 时，有 ，
∴ ，
解得 ， ．
综上所述，抛物线上存在点 或 或 或 或 ，使 是等腰三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象和性质，待定系数法求函数
解析式，用点的坐标表示线段长度，等腰三角形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用以及
分类思想的运用．
6．（2022秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 ，经过 ，
两点的抛物线 与 轴的另一个交点为A，顶点为 ，点 为抛物线的对称轴上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出所有
符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在， 或 或 或
【分析】（1）先求出点 ，点 ，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）求出二次函数的顶点 ，对称轴为 ，再求出 ，设点 ，得到
， ，由以 ， ， ， 为顶点的四边形为
菱形，则 是等腰三角形，根据腰相等分三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，解得 ，
∵直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 ，
∴点 ，点 ，
∵抛物线 经过 ， 两点，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）存在，求解如下：
∵ ，
∴二次函数的顶点 ，对称轴为 ，
又∵点 ，
∴ ，
设点 ，
∴ ，∵以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
∴ 是等腰三角形，
若 ，则 ，即 ，
解得： ，
∴点 ．
若 ，则 ，即 ，
解得： ，
∴点 或 ．
若 ，则 ，即 ，
解得： ， ．
当 时，点M与点P重合，不合题意，舍去，
∴点 ．
综上所述：点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、菱形的性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合和
分类讨论是解题的关键．
7．（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线C： 的对称轴为 ，
且经过点 ， ，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线C的解析式；(2)如图所示，若点M是直线 上方抛物线C上的一动点，连接 ，设所得 的面积为S，请
结合图象求S的取值范围；
(3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线 ，点N是x轴上方抛物线 上一
点，当 的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据二次函数的对称性求出B点坐标，然后用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线 的解析式，设点 的坐标为 ，则点 ，根据
列式计算，求出最大值即可得解；
（3）首先求出平移后的二次函数的解析式，设点 的坐标为 ，点 ，然后分情况讨
论：①当 、 是对角线时；②当 、 为对角线时；③当 、 为对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解： 的对称轴为 ， ，
，
∴抛物线 经过三点 ， ，
，
解得 ，抛物线的表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，该直线过点 ， ，
则 ，
解得 ，
故直线 为的表达式为： ；
过点 作 轴交 于点 ，
设点 的坐标为 ，则点 ，
则
，
，
故 的面积存在最大值，
当 时， 的面积最大值为 ，
；（3）解：存在， 或 或 ， ；
将原抛物线 向右平移 个单位长度得到新抛物线，
则新抛物线的表达式为 ，
设点 的坐标为 ，点 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
①当 、 是对角线时，如图：
则 的中点即是 的中点，
而 的中点为 ，即 ，
的中点为 ，，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
②当 、 为对角线时，如图：
此时 点在 轴下方，故舍去；
③当 、 为对角线时，如图：
此时， 点的纵坐标与 点相同，且 ，
将 代入 ，
解得： ， ，
即 或 ，
此时的 ， ，综上，点 的坐标为 或 或 ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和
性质，二次函数图象的平移以及平行四边形的性质等知识，灵活运用各性质及分类讨论的数学思想是解题
的关键．
8．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x轴交于
A、B两点（A点在B点的左侧），直线 与抛物线交于A、C两点．
(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线 下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交 于E点，当 最长时求此时点P的坐标；
(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求
出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点N的坐标为： ， ， ，见解析
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ，
解得： ， ，，
直线 经过点 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组，得 ，
解得： ，
；
（2）如图1，设点 ，则点 ，
，
，
当 时， 取得最大值 ，此时， ；
（3） ，
抛物线顶点为 ，如图2，点 为顶点的四边形是平行四边形时，设 ，分三种情况：
① 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
， ，解得： ， ，
，
② 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
， ，解得： ， ，
，
③ 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
， ，
解得： ， ，
，
综上所述，点N的坐标为： ， ， ．
【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行
四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏．
9．（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接 ， ．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点 是线段 上方抛物线上的一个动点．过点 作 交线段 于点 ，设点 的横坐
标为 ，记 ．
①求 关于 的函数关系式；
②当 取 和 时，试比较 的对应函数值 和 的大小．
(3)如图3，直线 ： 经过点 ，点 是直线 上的动点，点 是 轴上的动点，点 是抛物线对称
轴上的动点，当以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有满足条件的点 的横坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)① ；
(3) 的横坐标为 或 或 或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，用勾股定理逆定理判断 是直角三角形即可；
（2）①过点 作 轴交直线 于点 ，则 ，然后根据 的坐标求得
，进而即可求解；
②根据①的结论，作差即可求解；（3）设 ， ， ，①当 为菱形的对角线时， ；②当 为菱形的对角
线时， ；③当 为菱形的对角线时， ；分别列出方程组求出 的值即可．
【详解】（1）解：将 ，点 代入 ，
，
解得：
令 ， ，则
，
是直角三角形，
，
故答案为： ， ， ．
（2）①设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴交直线 于点 ，，
，
，
，
点 的横坐标为 ，
设
②当 时， 当 时， ，
，
，
；
（3）将点 （ ， ）代入 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
设 （ ）， （ ）， （ ， ），
①当 为菱形的对角线时， ，
解得： 或 （舍去）
∴ 的横坐标为
②当 为菱形的对角线时， ，此时如图，则 的横坐标为 ，③当 为菱形的对角线时， ，
∴
解得： 或
∴ 的横坐标为 或 ，
综上所述， 的横坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，解直角介绍信，菱形的判定
及性质，勾股定理及逆定理的应用，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．10．（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点 （不与点 重合），使 的面积与 的面积相等，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或 或
【分析】（1）把点 和点 代入 ，利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达
式；
（2）根据抛物线解析式，求出 ，再根据 、 、 三点坐标，得到 ， ，进而得出
，设 ，得到 ，从而得出 ，分别求出 的
值，即可得到点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于点 和点 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：存在，抛物线 与 轴交于点C，
令 ， ，
，
，
， ，
，
，
设 ，
，
的面积与 的面积相等，
，
，
当 时，解得： 或 （舍），
点 的坐标为 ；
当 时，解得： ，
点 的坐标为 或 ，
综上可知，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点，三角形面积问题，解一元二次
方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
11．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）二次函数 的图象，与 轴交于原点和点 ，顶点 的坐标为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过 ， 两点可画无数条抛物线，设顶点为 ，过
点 向 轴、 轴作垂线，垂足为点 ， ．求当所得的四边形 为正方形时的二次函数表达式；
(3) 点在（1）中求出的二次函数图象上，且 点的坐标为 ，是否存在 的面积为2，若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或 或 或 ．
【分析】（1）设抛物线解析式为： ，将 代入待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出对称轴为直线 ， 或 ，设抛物线解析式为： ，将
代入待定系数法求解析式即可求解；（3）直线 的解析式为： ，设 ，则 ，求得 ，根据三角形的面积公
式列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点 的坐标为 ；
设抛物线解析式为： ，
∵抛物线与 轴交于原点，将 代入得，
∴
解得 ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵抛物线过 ， 两点，
∴对称轴为直线 ，
依题意，四边形 为正方形
∴ 或
∴设抛物线解析式为：
∵抛物线与 轴交于原点，
∴ 或
解得 或 ，
∴抛物线的解析式为 或
综上所述，解析式为： 或
（3）解：∵ ， ，
设直线 的解析式为： ，，
∴直线 的解析式为： ，
设 ，则
∴
∵ 的面积为2，
∴
即
解得： ,
当 时， ，则
当 时， ，则当 时， ，则
当 时， ，则
综上所述： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊四边形问题，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，连接 ，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴交抛
物线于点 ．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点 在 上方运动时，求 面积的最大值．
(3)已知点 是抛物线对称轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值时，是否
存在这样的点 ， ，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ，
(2)8
(3)存在，
【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴的计算公式进行求解即可；（2）求出直线 的解析式，设点 ，利用 ，列出二次函数解析式，求
最值即可；
（3）利用菱形的性质，得到 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
则抛物线的解析式为： ；
∴抛物线的对称轴为直线 .
（2）∵ ，当 时， ；
∴ ，
设直线 的解析式为： ，代入 ，得： ，
∴ ，
设 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 面积的最大值为 ；
（3）存在；
由（2）可知：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，设： ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思
想进行求解．
13．（2023秋·广东惠州·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线
经过点 ，对称轴为直线 ，
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交直线 于
点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
（i）当 时，求 与 的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请
求出点 的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（1） ；（2）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）（i）根据题意画出图形，得出 ， ， ，继
而得出 ， ，当 时，
根据三角形的面积公式，即可求解．
（ii）根据（i）的结论，分 和 分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为 建立方程，解方
程进而即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，对称轴为直线
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：（i）设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 ，
∵点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，∴当 时，
∵点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，点
∴ ， ，
∵点 在点 的右侧，
∴ ，
∴ ,
，
∴ ，
∴当 时， 与 的面积之和为 ．
（ⅱ）当点 在对称右侧时，则 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）
综上所述， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
