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专题 08 截长补短类压轴题真题分类（解析版）
专题简介：本份资料把收集到的截长补短类压轴题细分为四种类型，其中把截长的技巧总结成三种
类型：作高截长、等边三角形中作平行线截长、在长边上硬截一段等于其中一条短边，基本覆盖了
各名校系常考的截长补短压轴题的主流考法。适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用
或者尖子生冲刺压轴题高分时刷题使用。
截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线 补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得
段。 较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证
△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG， △CDF≌△BCN（SAS），
∠BCM=∠DCF， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN
∠CFE=45°，∠CFG=90°， 为平行四边形，得BF=NG，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
行四边形，则CG=MF，于是
BF=BM+MF=DF+CG.
题型一：作高截长
1.（雅礼）图1，已知Rt△ABC，∠B＝90°，以AC边作正方形ACMD，过点D作AB边上的高DE，交
AB于E点。
⑴试证明：△DAE≌△ACB；
⑵若△ABC为锐角三角形(如图2)，则以AC、BC边作正方形ACMD和正方形BCNG，分别过点D、G作
AB边上的垂线DE、GF，交AB于E、F两点，试比较线段GF＋DE与线段AB的大小，并说明理由。
解 ： (1) 证 明 ： ∵ 四 边 形 ACMD 是 正 方 形 ， AD=CA ， ∠ DAC=90° ， ∵ ∠ B=∠ E=90° ，
∴∠DAE+∠CAB=90°，∠ACB+∠CAB=90°，∴∠DAE=∠ACB，∴△DAE≌△ACB（AAS）；(2)GF+DE=AB.证明：过点C作CH⊥AB于点H，同理(1)可得：△DAE≌△ACH，△GBF≌△BCH，
∴DE=AH，GF=BH，∴GF+DE=BH+CH=AB.
2.(师大博才)如图， ， ， ， ，垂足为F.
(1)求证： ；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证： .(提示：可过A作CD的垂线段)
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中， ，∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中， ，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中， ，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．题型二：等边三角形中作平行线截长
3.(广益)如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上.
(1)过点E作 交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；
(2)求证： ；
(3)如图2，若点D在射线CA上，且 ，求证： .
【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝
60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE 与△FCB 中， ，
∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；
（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC
＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝
∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；
（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝
60°，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，
，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得
△ACE≌△FCB，
∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．4.(北雅)已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点， .
(1)如图1，当E在AC的延长线上且 时，求证 ；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时， 等于AE吗？请说明理由；
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，
并证明.
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝
CE，
∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；
（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，
∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即
∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝
∠DCE，在△AHD和△DCE， ，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，
∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；
（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE＝∠FEA＝
∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝
∠DAF，在△AFD 和△EFD 中， ，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝
∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，
∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．
5.（长雅）如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A. C不重
合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动(Q不
与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D. 设运动时间为t秒。
(1)用含t的式子表示：AP=______，AE=______，BE=______.
(2)当∠BQD=30∘时，求AP的长；
(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明
理由。
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠A＝60°，根据题意得：AP＝2tcm，
∵PE⊥AB，∴AE＝AP•cos60°＝t（cm），∴BE＝AB﹣AE＝6﹣t（cm）；
故答案为：2tcm，tcm，（6﹣t）cm；
（2）∵∠C＝60°，∠BQD＝30°，∴△PCQ是直角三角形，∴PC＝ QC，
根据题意得：BQ＝2tcm，则CQ＝BC+BQ＝6+2t（cm），PC＝AC﹣AP＝6﹣2t（cm），
∴6﹣2t＝ （6+2t），解得：t＝1，∴AP＝2；
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP
＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ
＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，∴在△APE和△BQF中， ，∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE＝ EF，∵EF＝BE+BF＝
BE+AE＝AB，∴DE＝ AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴当点P、Q运动时，线段
DE的长度不会改变．
题型三：在长边上硬截一段等于其中一条短边
6. 如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分
线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又
有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
【解答】（1）证明：AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，∵AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，∴∠CAB＝ ∠MAB，∠ABC＝ ∠ABN，∴∠CAB+∠ACB＝ （∠MAB+∠ABN）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形．
（2）AD+BE＝AB，证明：延长AC交BE于Q，∵AC平分∠MAB，∴∠MAC＝∠BAC，
∵AM∥BN，∴∠MAC＝∠AQB，∴∠BAC＝∠AQB，∴AB＝BQ，∵BC平分∠ABQ，
∴AC＝CQ，∵AM∥BN，∴ ＝ ＝ ，∴AD＝EQ，∴AD+BE＝AB．
（3）成立，证明：如图2，延长AC交BE于Q，∵AC平分∠MAB，∴∠MAC＝∠BAC，
∵AM∥BN，∴∠MAC＝∠AQB，∴∠BAC＝∠AQB，∴AB＝BQ，∵BC平分∠ABQ，
∴AC＝CQ，∵AM∥BN，∴ ＝ ＝ ，∴AD＝EQ，∴AD+BE＝AB．
7．（2021春•雨花区校级期末）已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝
3，S△ABE ﹣S△ACE ＝2，求△BDE的面积．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE＝ BAM，∠ABE＝ ∠ABN，∴∠BAE+∠ABE＝ （∠BAM+∠ABN）＝90°，
∴∠AEB＝90°；（ 2 ） 在 AB 上 截 取 AF ＝ AC ， 连 接 EF ， 在 △ ACE 与 △ AFE 中 ， ，
∴△ACE≌△AFE，
∴∠AEC＝∠AEF，∵∠AEB＝90°，∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE与△BDE中， ，∴△BFE≌△BDE，∴BF＝BD，∵AB＝AF+BF，
∴AC+BD＝AB；
（3）延长AE交BD于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，BE平分∠ABN，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，
∵AM∥BN，∴∠C＝∠EDF，
在△ACE与△FDE中， ，∴△ACE≌△FDE，∴DF＝AC＝3，
∵BF＝5，∴设S△BEF ＝S△ABE ＝5x，S△DEF ＝S△ACE ＝3x，∵S△ABE ﹣S△ACE ＝2，∴5x﹣3x＝2，
∴x＝1，∴△BDE的面积＝8．
8. （中雅）已知 ΔABC 为等边三角形，取 ΔABC 的边 AB 、 BC 中点D、E，连接 DE ，如图
1，易证ΔDBE 为等边三角形，将ΔDBE 绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD=α
，其中
0°<α<180°
.
（1）如图2，当
α=30°
时，连接
AD
、
CE
，求证：
AD=CE
；
（2）在ΔDBE 旋转过程中，当α 超过一定角度时，如图3，连接 AD 、 CE 会交于一点，记交点
为点F， AD 交 BC 于点P， CE 交 BD 于点 Q ，连接 BF ，请问 BF 是否会平分∠CBD ？如果
是，求出α ，如果不是，请说明理由；
AF BF CF
（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段 、 和 之间的数量关系，并说明理由.C
C
C
E
D
E F
D
Q
P
E
A D B A B A B
图1 图2 图3
【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE
＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中， ，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，
∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝
∠CBE，在△ABD和△CBE中， ，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD
＝S△CBE ，∠BAD＝∠BCE，∴ ×AD×BN＝ ×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，
∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC
＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则
∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝
∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝ BC＝ AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；
（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，
∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中， ，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，
∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．
9．（2021秋•天心区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于
点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；
（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝
90°，
∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中， ，∴△ACD≌△AED
（AAS），∴AC＝AE；
（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝ ，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣ ，∠ADE＝90°﹣ ，
则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠α DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，α如图所示： α
在△FAD 和△MAD中， ，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，
∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），
∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝ ，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，
在△FAD 中，∠DAC+∠ADF＝∠DFαC，在△AMD 中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝
∠DME，
∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2 ，∴∠DFC＝90°﹣2 ，
∴∠FDB＝90°+90°﹣2 ＝180°﹣2 ，∵∠BAC＝∠DAC+α∠DAE＝2 ，∴∠FDαB+∠BAC＝180°﹣
2 +2 ＝180°； α α α
（α3）α解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，
由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴ ，即BM的长为4．
10．（雅实）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与 B，C重
合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求 的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，
当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子 的值会变化吗？若不变，求出该值；
若变化，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△PAQ 是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．
∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，
在△PAB和△AQE中， ，∴△PAB≌△AQE（AAS）；
（2）解：∵△PAB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，
，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝
2PB，
∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴ ＝2；
（3）解：式子 的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：
∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝
90°，
∴∠QAH＝∠PAD，∵△PAQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，
，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中， ，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝
DF，∴ ＝ ＝ ＝1．
11．(长郡)（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与
OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；
（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，
（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC＝
OA+OB．
【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝
120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG＝∠CAH，∵OM平分
∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵ ，
∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；
（2）结论还成立，证明：过 A 作 AG⊥OF 于 G，AH⊥OE 于 H，与（1）证法类似根据 ASA 证
△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；
（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM平分∠COF，
由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；
②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN
＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN得：∠ABO＝∠CBN，在△AOB和△CNB中∵ ，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，
∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．
题型四：补短类
12．（2020•天心区开学）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶
点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有
何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不
变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中 ，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝
∠NDC，
∴ ∠ BDE ＝ ∠ NDC ， ∴ ∠ MDN ＝ ∠ NDE ， 在 △ MDN 和 △ EDN 中 ，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．
（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，由（1）知：△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB，∴∠MDN＝
∠NDE，
在△MDN 和△EDN 中 ，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝
AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（3）BN﹣AM＝MN，证明：在 CB 截取 BE＝AM，连接 DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，
∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝
∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中 ，∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中 ，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣
AM，∴BN﹣AM＝MN．13.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，
∠CAO=90°-∠BDO．
（1）求证：AC=BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），
当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三
者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【解答】解：（1）∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD 和△BCD 中，，
∴△ACD≌△BCD（AAS），∴AC＝BC；
（2）如图2，过点D作DM⊥AC于M，∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，∴DO＝DM，
在△BOD和△AMD中， ，∴△BOD≌△AMD（AAS），∴OB＝AM，
在Rt△DOC和Rt△DMC中， ，∴Rt△DOC≌Rt△DMC（HL），∴OC＝MC，
∵∠CAO＝∠DBO，∠DEA＝∠DBO，∴∠DAE＝∠DEA，∵DM⊥AC，∴AM＝EM，
∴OB＝EM，∵C（4，0），∴OC＝4，∴BC+CE＝OB+OC+MC﹣EM＝2OC＝8；
（3）GH＝OG+FH；证明：如图3，在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，
∵ CD 平 分 ∠ ACO ， DF⊥ AC ， OD⊥ OC ， ∴ DO ＝ DF ， 在 △ DON 和 △ DFH 中 ，
，
∴△DON≌△DFH（SAS），∴DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH，
∴ ∠ GDH ＝ ∠ GDO+∠ ODN ＝ ∠ GDN ， 在 △ DGN 和 △ DGH 中 ， ，
∴△DGN≌△DGH（SAS），∴GH＝GN，∵ON＝FH，∴GH＝GN＝OG+ON＝OG+FH．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/19 10:42:05；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.com；学号：
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14.（雅礼）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示
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的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后
证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条
直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，
猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不
重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC ＝ AC•BF＝ AB•CG．
∵AB＝AC，∴BF＝CG；
（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：如图2，连接AD．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，
∴S△ACD ＝ AC•DF，S△ABD ＝ AB•DE，S△ABC ＝ AB•CG．∵S△ACD +S△ABD ＝S△ABC ，
∴ AC•DF+ AB•DE＝ AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG．
（3）DF+DE＝CG．
