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特训 03 期末选填压轴题（2022 最新压轴）
一、单选题
1．（2022·贵州黔西·七年级期末）一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．
如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（ ）
A． m B． m C． m D． m
【答案】C
【分析】第一次剪去全长的 ，剩下全长的 ，
第二次剪去剩下的 ，剩下全长的 ＝ ，
第三次再剪去剩下的 ，剩下全长的 × ＝ ，
如此剪下去……….
便可找到答案了.
【解析】解：第一次剪去全长的 ，剩下全长的 ，
第二次剪去剩下的 ，剩下全长的 ＝ ，
第三次再剪去剩下的 ，剩下全长的 × ＝ ，
如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为 ×1＝ ＝ （m）．
故选：C．
【点睛】本题考查归纳综合分析能力，属于常考题.
2．（2022·广西·平果市教研室七年级期末）读一读：式子“ ”表示从1开始的100个连
续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“ ”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．
【解析】
故选：B
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．
3．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．
点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不
超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
【答案】D
【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．【解析】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t−5|＝2，
∴2t−5＝−2，或2t−5＝2，
解得t＝ 或t＝ ；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，
∵PB＝2，
∴|20−2t−5|＝2，
∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2，
解得t＝ 或t＝ ．
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分
类讨论，进而列出方程是解题的关键．
4．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是
其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边
的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a＝1，a＝2．a＝3，a＝3，a＝6，a＝
1 2 3 4 5 6
4，a＝10，a＝5…，则a +a 的值为（ ）
7 8 99 100
A．1326 B．1327
C．1328 D．1329
【答案】A
【分析】将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．
【解析】解：将所给数列分为两个新数列，第1个数列由a＝1，a＝3，a＝6，a＝10……组成，
1 3 5 7
∵a=1，a=3=1+2，a=6=1+2+3，a=10=1+2+3+4，
1 3 5 7
∴a 是新数列第50项，a =1+2+3+…+50=1275；
99 99
第2个数列由a=2，a=3，a=4，a=5……组成，
2 4 6 8
∵a=2，a=3，a=4，a=5，
2 4 6 8
∴a 是新数列第50项，a =51，
100 100
∴a +a =1275+51=1326，
99 100
故选A．
【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键．
5．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）图①是一块边长为1，周长记为 的正三角形（三边相等的三
角形）纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块
更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，记第n（n
3）块纸板的周长为 ，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：P =1+1+1=3，
1
P =1+1+ = ，
2
P =1+ + + ×3= ，
3
P =1+ + + ×2+ ×3= ，
4
…∴p -p = - = = ，
3 2
P -P = - = = ，
4 3
…
则P-P = .
n n-1
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质；解题的关键是通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应
用规律解决问题．
6．（2022·湖北武汉·七年级期末）在 代表按规律不断求和.设
.则有 ，解得x=2.故 .类似地
的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】仿照题目中的例题进行解答即可．
【解析】解：设 ，
则
解得
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解题目中的例题解答方法是解题的关键,类似于求循环小数．
7．（2022·重庆·七年级期末）对于任意一个正整数 可以按规则生成无穷数串： ， ， ，…， ，，…（其中 为正整数），规则为： ．
下列说法：
①若 ，则生成的这数串中必有 （ 为正整数）；
②若 ，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个 ，则它的前一个数 应为32；
④若 ，则 的值只能是9．其中正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据规则分别求出 的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出
的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分 为偶数和 为奇数两种情况，
分别根据规则建立方程，解方程求出 的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出 的值
即可判断④．
【解析】解：当 时， ，
，
，
由此可知， 的值是以 循环往复的，
所以若 ，则生成的这数串中必有 （ 为正整数），说法①正确；
当 时， ，
，，
，
，
，
则从 开始， 的值是以 循环往复的，
因为 ，
所以若 ，生成的前2022个数之和为
，说法②错误；
若 为偶数，则 ，解得 ，符合题设，
若 为奇数，则 ，解得 ，符合题设，
所以若生成的数中有一个 ，则它的前一个数 应为32或5，说法③错误；
当 时，因为7为奇数，
所以 ，解得 为偶数，
所以 或 ，
解得 或 （舍去），
所以 或 ，
解得 或 ，均符合题意，
即若 ，则 的值是9或56，说法④错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．【点睛】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则，正确归纳类推出一般规律是解题
关键．
8．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，
分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线
为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停
止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使 BDP和 ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（ ）
△ △
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【解析】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则
△ △
，
解得： ；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14△﹣2t＝6﹣△t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则
△ △
，
解得t＝ ；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣△14＝t﹣△6，
解得：t＝8；⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则
△ △
，
解得：t＝ ；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，
列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
9．（2022·浙江宁波·七年级期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行
匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向
B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，首先计算得甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为： ，设两人相週的次
数为 ，根据一元一次方程的性质列方程并求解，即可得到答案．
【解析】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：
设两人相遇的次数为
∵起跑后时间总共为2分钟，即120 s
∴
∴
根据题意，两人相遇的次数 为整数
∴ ，即两人相遇的次数为5次故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
10．（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方
形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如
图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四
个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即
XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可
求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26．
【解析】解：如图：
∵AB=10，BC=8，
∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，
∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，
∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD= ×12=6，
∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即
MN+LK+IJ+OP=12，
∴XW+UV+ST+QR=12，
∵四个重叠部分的周长之和为28，∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF= ×28=14，
∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26，
∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26，
故选：C．
【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍．
11．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期末）如图， 为直线 上一点， ， 平分
， 平分 ， 平分 ，下列结论：
① ； ② ；
③ ； ④
其中正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
【解析】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ,∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵不能证明 ，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
【点睛】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练
掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
12．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝
30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下
列结论中正确的是（ ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．
A．① B．② C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【解析】解：
如图1，当 时如图2，当 时
因此， 的角度不恒为 ，则①错误
如图1，当 时
由角平分线的定义得
如图2，当 时
由角平分线的定义得
因此， 的角度恒为定值 ，则②正确
边与三角板 的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当 时，设DE与AB的交点为F
，即DE只与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次；DB只与三角板 的BC边所在直线
夹角成 ，次数为1次
如图2，当 时，延长DE交AB于点F
，即
只有DB与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次，则③错误
如图3，作
，即 平分
如图4，作
显然 不平分 ，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故选：B．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，
依据 正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论
一种情况．
13．（2022·河北·邢台市开元中学七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、
BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-
DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；
由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
【解析】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点睛】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
14．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分
别取线段AM和AN的中点 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ；第三次操作：分
别取线段 和 的中点 ；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由 的长度求出
的长度，找到 的规律即可求出 的值.
【解析】解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，∴ ，
根据规律得到 ，
∴ ，故选A.
【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
15．（2022·全国·七年级课时练习）如图，直线 相交于点 ，
平分 ，射线 将 分成了角度数之比为 的两个角，则 的
大小为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或 x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【解析】解：设∠DOE=x°，射线 将 分成了角度数之比为 的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD= x°， = x°，
∵ 平分 ，
∴ = x°，
∵ ∠COD=180°，
∴ x+ x+90+ x=180，解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°， =2x°，
同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，
然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，直线 与 相交于点 ，一直角三角尺 的
直角顶点与点 重合， 平分 ，现将三角尺 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，同时直线
也以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，设运动时间为 秒（ ），当 平分 时， 的值
为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的 平分 时， ；当转动较大角度的
平分 时， ；分别依据角的和差关系进行计算即可得到 的值．
【解析】解：分两种情况：
①如图 平分 时， ，即 ，
解得 ；
②如图 平分 时， ，
即 ，
解得 ．
综上所述，当 平分 时， 的值为2.5或32.5．
故选： ．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
17．（2022·全国·七年级专题练习）为了求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋
22019，则2S＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，因此2S－S＝22020－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22019＝22020－1.请
仿照以上推理计算：1＋4＋42＋43＋…＋42019的值是( ）
A．42100－1 B．42020－1 C． D．
【答案】D
【分析】设S=1+4+42+43+…+42019，表示出4S，然后求解即可．
【解析】解：设S=1+4+42+43+…+42019，
则4S=4+42+43+…+42020，
因此4S-S=42020-1，所以S= ．
故选：D．
【点睛】本题考查了乘方，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
18．（2022·江苏·徐州市铜山区新星学校七年级阶段练习）我们平常用的是十进制，
如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计
算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：
11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可
【解析】1011=1×23+0×22+1×21+1=11，
即二进制中的1011相当于十进制中的11.
故答案选C.
【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力．
二、填空题
19．（2022·福建福州·七年级期末）已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1=﹣|b﹣a|，则
的值为_____．
【答案】0．
【分析】由ab＜0可得a、b异号，由a+b＞0可得，正数的绝对值较大，再分两类讨论：①a＞0，b＜0；
②a＜0，b＞0，在这两种情况下对7a+2b+1=﹣|b﹣a|进行化简，最后计算出所求式子的值即可．
【解析】∵ab＜0，a+b＞0，∴a、b异号，且正数绝对值较大，
①当a＞0，b＜0时，a+b＞0，则7a+2b+1＞0， -|b﹣a|＜0，
则此情况不存在；
②当a＜0，b＞0时，b﹣a＞0，|b﹣a|=b﹣a，
∴7a+2b+1=﹣（b﹣a）=a﹣b，
∴2a+b=﹣ ，∴（2a+b+ ）·（a﹣b）=0．
故答案为0．
【点睛】本题关键在于分类讨论，结合有理数的运算法则去绝对值对式子进行化简．
20．（2022·北京怀柔·七年级期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A
在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足 ，则a＝____．对数轴上任意
一点P，点P对应数x，若存在x使 的值最小，则x的值为_________．
【答案】 －1 1
【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．
【解析】∵ ，
∴
即
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴
∵ 表示x与-1，1和2022三个数的距离之和，
∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；
故答案为：-1,1
【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义
得出 表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键．
21．（2022·浙江台州·七年级期末）对于有理数 ， ， ，若 ，则称 是 关于 的“相
关数”，例如， ，则3是2关于2的“相关数”．若 是 关于1的“相关数”， 是
关于2的“相关数”，…， 是 关于4的“相关数”．则 ______．（用含 的式子表示）
【答案】9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．
【解析】解：依题意有：|x﹣1|+|x﹣1|＝1，①
1
|x﹣2|+|x﹣2|＝1，②
2 1
|x﹣3|+|x﹣3|＝1，③
3 2
|x﹣4|+|x﹣4|＝1，④
4 3
由①可知0≤x，x≤2，若否，则①不成立，
1
由②可知1≤x，x≤3，若否，则②不成立，
1 2
同理可知2≤x，x≤4，3≤x，x≤5，
2 3 3 4
∴x﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
1
x﹣2+2﹣x＝1，⑥
2 1
x﹣3+3﹣x＝1，⑦
3 2
3×⑤+2×⑥+⑦，得x+x+x﹣3+3|x﹣1|＝6，
1 2 3
∴x+x+x＝9﹣3|x﹣1|．
1 2 3
故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的
取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果
是否正确．
22．（2022·全国·七年级期末）已知数轴上的点A，B表示的数分别为 ，4，P为数轴上任意一点，表示
的数为x，若点P到点A，B的距离之和为7，则x的值为 _____．
【答案】 或4.5
【分析】根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根据题意得：|x+2|+|x-4|=7，
当x＜-2时，化简得：-x-2-x+4=7，解得：x=-2.5；
当-2≤x＜4时，化简得：x+2-x+4=7，无解；
当x≥4时，化简得：x+2+x-4=7，解得：x=4.5，
综上，x的值为-2.5或4.5．
故答案为：-2.5或4.5．
【点睛】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键．
23．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程
的解总是x＝2，则 _________．【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关
分别列出方程求解即可．
【解析】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3， ，
∴ ．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
24．（2022·湖北咸宁·七年级期末）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称
为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广
泛的应用，若斐波那契数列中的第n个数记为 ，则 与斐波那契数列中的第
________个数相同．
【答案】2022
【分析】由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列 中的1可记作a2，这
样 ， ，…，依次化简，结论可得．
【解析】解：∵斐波那契数列中 ，
∴1= ，
∴……
故答案为：2022.
【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键．
25．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知
，根据前面各式的规律，可得：
_________； 的值的个位数字是
_______________．
【答案】 ； 7
【分析】仿照阅读材料中的等式写出 的结果即可；利用得出的规律化简，计
算即可求出值．
【解析】解：由题意可得： ；
由以上过程可知： ，
∴ ，
∵ ，个位数字为2， ，个位数字为4， ，个位数字为8， ，个位数字为6；
，个位数字为2， ，个位数字为4， ，个位数字为8， ，个位数字为6；
…；∴ 的各位数字与 的各位数字相同，都是8，
∴ 的值的个位数字是8-1=7．
故答案为： ； 7．
【点睛】本题考查规律问题等知识，解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究
规律的方法．
26．（2022·山西阳泉·七年级期末）体育课上的口令：立正，向右转，向后转，向左转之间可以相加．连
续执行两个口令就把这两个口令加起来．例如：向右转＋向左转=立正；向左转＋向后转=向右转．如果分
别用0，1，2，3分别代表立正，向右转，向后转，向左转，就可以用如图所示的加法表来表示，在表中填
了部分的数值和代表数值的字母．下列对于字母a，b，c，d的值，有如下说法小红说a=0，小强说b=1，
小亮说c=2，小龙说d=3．你认为______的说法是错误的．
【答案】小亮
【分析】根据题意，分别找出表格中字母所表示的实际意义，然后将实际意义转化成数字即可．
【解析】解：由题意和表格可知：a=向右转＋向左转=立正=0，故小红的说法是正确的；
b=向后转＋向左转=向右转=1，故小强的说法是正确的；
c=向左转＋向后转=向右转=1，故小亮的说法是错误的；
d=向右转＋向后转=向左转=3，故小龙的说法是正确的．
故答案为：小亮．
【点睛】此题考查了新定义类问题，解题的关键是读懂新定义的材料和掌握其中的规律．
27．（2022·全国·七年级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为 ；②当n
为偶数时，结果为 ；（其中k是使 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取 ，
则：若 ，则第2021次“F”运算的结果是___________．
【答案】98
【分析】根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2021次
“F运算”的结果．
【解析】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n=49为奇数
应先进行F①运算，
即3×49+5=152（偶数），
需再进行F②运算，
即152÷23=19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5=62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21=31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5=98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21=49，
再进行F①运算，得到3×49+5=152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2021÷6=336…5，
则第2021次“F运算”的结果是98．
故答案为：98．
【点睛】本题考查了整式的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，
检测学生阅读理解、抄写、应用能力．
28．（2022·山东济宁·七年级期末）将自然数按以下规律排列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …
第一行 1 4 5 16 17 …
第二行 2 3 6 15 …
第三行 9 8 7 14 …
第四行 10 11 12 13 …第五行 …
表中数1在第一行，第一列，与有序数对 对应；数2在第二行，第一列，与有序数对 对应；数8
与 对应；数9与 对应；数10与 对应；根据这一规律，数2021对应的有序数对为______．
【答案】
【分析】根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【解析】解：根据题意，得：第一列的第n行，当n为奇数时，对应的数为 ，
∵ ，
∴数 与 对应，
根据题意，第一列的第n行，当n为奇数时，从左到右依次减小n个数，
∴第一列的第45行，从左到右依次减小45个数，
∴数2021对应的有序数对为 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．
29．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方
式去覆盖一个大的长方形 ，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方
形的面积 与（2）图长方形的面积 的比是____．
【答案】
【分析】本题需先设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，再结合图形分别得出图形（3）的阴影周长和图形（4）的阴影周长，相等后列等式可得：a＝2y，x＝3b，最
后根据长方形面积公式可得结论．
【解析】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，
由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x，
∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC，
∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC
＋4y，
∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，
∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y，
∵3b＋2y＝a＋x，
∴x＝3b，
∴S：S＝ab：xy＝2yb：3yb＝ ，
1 2
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意结合图形得出3b＋2y＝a＋x ，2a＋2DC＝2DC＋4y
是解题的关键．
30．（2022·安徽亳州·七年级期末）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰
能被分割成10个大小不同的正方形，图中的数字为正方形编号，其中标注1，2的正方形边长分别为x、
y．请你计算：（1）第4个正方形的边长＝______；（用含x、y的代数式表示）
（2）当 时，第10个正方形的面积＝_____．
【答案】 x+2y##2y+x 36
【分析】（1）根据各个正方形边长的和差关系依次表示出第3个、第4个正方形的边长即可；
（2）依次表示出第5、6、7正方形的边长，由1、3、7正方形边长得到第10个正方形的边长；再代入计
算即可．
【解析】解：（1）由图可知第3个正方形的边长为（x+y），
∴第4个正方形的边长为y+x+y=x+2y；
故答案为：x+2y；
（2）第5个正方形的边长为y+（x+2y）=x+3y，
第6个正方形的边长为（x+3y）+（y-x）=4y，
第7个正方形的边长为4y-x，
第10个正方形的边长为（4y-x）-x-（x+y）=3y-3x=3（y-x）=6，
∴第十个正方形的面积=6×6=36，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，整式的加减运算，代数式求值；结合图形找到各正方形的边长关系
是解题关键．
31．（2022·四川达州·七年级期末）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图
形．第1幅图中“ ”的个数为 ，第2幅图中“ ”的个数为 ，第3幅图中“ ”的个数为
，以此类推， 的值为___．【答案】
【分析】先找出图形中 的规律用代数式表示，再计算 ．
【解析】解：由图可以发现：
， ， ， ，……
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是找出 的规律并用代数式表示．
32．（2022·甘肃酒泉·七年级期末）如图1，在长方形 中， 为 边上一点，点 是长方形
中 边上的动点，点 从点 出发沿着 的路线向点 匀速运动．若 点的运动速度为
，则随着时间 的变化， 的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 ______ 时，
的面积为 ．【答案】4或20##20或4
【分析】先结合所给图示求出BC，CD，DE，AE的长度，再求出 的面积为 时点P的位置，即
可求解．
【解析】解：观察所给图形可知，当 时，P运动到C点，当 时，P运动到D点，当 时，P
运动到E点，
又∵ 点的运动速度为 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
当点P在线段DC上时， ，不符合要求，
∴ 的面积为 时，点P在BC或AD上，
当点P在线段BC上时，
，解得 ，
此时 ；
当点P在线段AD上时，
，解得 ，
此时 ,
综上，当 或 时， 的面积为 ．
故答案为：4或20．【点睛】本题考查动点图像问题，根据图示弄清楚不同时间段点P的位置是解题的关键．
33．（2022·江西赣州·七年级期末）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的方式
折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按同样的方式操
作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．
当 时，a的值为______．
【答案】
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为4-a；分当 时，及当 ，
两种情况讨论；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，
由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a，
当 时，即 时
第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，
①当 时，即 时
第三次操作剩余两边为a、4-3a，
此时为正方形，得
解得
又
不成立；
②当 ，即 时
第三次操作剩余两边边长分别为 ，
此时为正方形，得
解得 ，此时符合题意；
当 ，即 时，第2次操作，剪下的正方形边长为4-a，所以剩下的长方形的两边分别为4-a、a-（4-a）=2a-4，
①当2a-4＜4-a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-4，剩下的长方形的两边分别为2a-4、（4-a）-（2a-4）=8-3a，
则2a-4=8-3a，解得a= ；
②2a-4＞4-a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为4-a，剩下的长方形的两边分别为4-a、（2a-4）-（4-a）=3a-8，
则4-a=3a-8，解得a= ；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据剪纸的操作后的边长的关系得出方程求解，
注意 的范围需要分情况讨论．
34．（2022·重庆市璧山区正兴初级中学校七年级期末）磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻
花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花
进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味
与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：
3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，
则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共_____元．
【答案】3800
【分析】根据题目中 “销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%”并结合“利润＝利润率×成本”可得
等量关系式，设原味麻花的销售利润率为x%，再设三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，
巧克力味2y袋，根据题意列出方程，求得x与y的值，即可得出结论．
【解析】解：设原味麻花每袋的销售利润率为x%，三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，
巧克力味2y袋，根据题意得：
，
原方程可化为： ，
即 ．
解得x＝50．
则 ，
解得：y＝100．∴元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为：
（元）．
故答案为：3800．
【点睛】本题主要考查了方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系并能准确列出方程进行求解是解题
的关键．
35．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图（1）．点 在线段 上．图中共有三条线段： 线段 ， 线
段 ， 线段 ， 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两掊， 则称点 为线段 的 “奇分
点”．若 ， 如图（2）， 点 从点 开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停
止运动，运动的时间为t秒．当t=_____________秒，M是线 的“奇分点" （写出一种情况即可），
如果同时点 从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动， 如图（3）所示， 井与 点同时停止，
则当 ___________秒，M是线段AN的“奇分点”．
【答案】 或 或 ； 或 或
【分析】画出图形根据“奇分点”定义列出三个等式即可求解．
【解析】根据题意： ， ， ，
（1）当M是线段 的“奇分点"时
①AM=2BM，此时 ，解得 ；
②BM=2AM，此时 ，解得 ；
③AB=2BM，此时 ，解得 ；
∴当M是线段 的“奇分点"时，t的值为 或 或 ；
（2）∵M是线段AN的“奇分点”．
∴M点在线段AN上，即 ,
∴ ，
①AN=2MN，此时M为AN中点， ，解得 ；②AM =2MN，此时 ，解得 ；
③MN=2AM，此时 ，解得 ；
∴当M是线 的“奇分点"时，t的值为 或 或 ；
【点睛】本题考查了线段和差关系、列代数式，解决本题的关键是分情况讨论思想的利用．
36．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级期中）已知 ，射线 从与射线 重合位置开始绕点
O以每秒 的速度按顺时针方向旋转，同时射线 从与射线 重合位置开始绕点O以每秒 的速度按
逆时针方向旋转，当射线 再次与射线 更合时．两条射线同时停止旋转，当 时，两条射
线旋转的时间t的值为___．
【答案】10或20或70
【分析】根据时间和速度分别得 和 的度数，再由角的和与差表示出 ，
即可列方程求解可得结论，需要注意分类讨论．
【解析】由题意得：
当 与 没有相遇前，此时 ， ，
，
∴ ，
解得： ；
当 与 相遇以后 在 右边时，此时 ， ，，
∴ ，
解得： ；
当 与 相遇以后 在 左边时，此时 ， ，
，
∴ ，
解得： ；
综上所述，当 时，两条射线旋转的时间t的值为10或20或70．
故答案为：10或20或70．
【点睛】本题考查了角度运动问题，分类讨论并画出图形是解题的关键．
37．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d
＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____．
【答案】81
【分析】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【解析】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意确定a，b，c，d的取值范围是解题关键．
38．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在平面内，点 是直线 上一点， ，射线 不
动，射线 ， 同时开始绕点 顺时针转动，射线 首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线
， 的转动速度分别为每秒 和每秒 ．若转动 秒时，射线 ， ， 中的一条是另外两条
组成角的角平分线，则 ______秒．
【答案】4或5
【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,然后按
照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③
当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值．
【解析】解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,
①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，
∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，
即t=4；
②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，
即t=5；
③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，
∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′= ∠A′OC= (180°-∠AOA′)= [180°-（360°-40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立．
综上所述：t的值为4或5．
故答案：4或5．
【点睛】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分
析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
39．（2022·广东·惠州市惠阳区良井中学七年级阶段练习）对于正整数 ，定义 ，其
中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例如： ， ．规定
， （ 为正整数），例如， ，．按此定义，则由 __________， ___________．
【答案】 16 58
【分析】根据题意分别求出F（4）到F（4），通过计算发现，F（4）＝F（4），只需确定
1 8 1 8
即可求解．
【解析】F（4）＝16，F（4）＝F（16）＝12+62=37，
1 2
F（4）＝F（37）＝32+72=58，F（4）＝F（58）＝52+82=89，
3 4
F（4）＝F（89）＝82+92=145，F（4）＝F（145）＝12+52=26，
5 6
F（4）＝F（26）＝22+62=40，F（4）＝F（40）＝42+0=16，…
7 8
通过计算发现，F（4）＝F（4），
1 8
∵2019÷7＝288…3，
∴F （4）＝F（4）＝58；
2019 3
故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
