文档内容
七年级下学期【压轴题 30 题专训】
一．解答题（共30小题）
1．（2023秋•历下区期末）【阅读探究】
（1）如图1，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM＝50°，
∠CFM＝20°，求∠EMF的度数．
解：过点M作MN∥AB，
所以∠EMN＝∠ ．
因为AB∥CD，
所以MN∥CD．
所以∠FMN＝∠ ．
因为∠AEM＝50°，∠CFM＝20°，
所以∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM＝50°+20°＝70°．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，
使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM，∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关
系，请直接写出它们之问的数量关系为 ．
【方法应用】
（3）如图2，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM＝
135°，∠CFM＝155°，求∠EMF的度数．
【应用拓展】
（4）如图3，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，作∠AEM和
∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间），若∠EMF＝ °，则∠EPF的
度数为 °（用含 的式子表示）． α
α
2．（2023秋•镇巴县期末）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G．【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，
并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．
3．（2023秋•辽阳期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并
延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点
H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
4．（2023秋•夏县期末）综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你
利用这个结论解决以下问题．
已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系；
（3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系： ．
5．（2023秋•衡阳期末）如图1，直线AB与直线l ，l 分别交于C，D两点，点M在直线l 上，射线DE
1 2 2
平分∠ADM交直线l 于点Q，∠ACQ＝2∠CDQ．
1
（1）证明：l ∥l ；
1 2
（2）如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l 于点F，∠ACQ＝70°．
2
①若∠QFD＝20°，则直接写出∠FQD的度数是 ；
②点N在射线DE上，满足∠QCN＝∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠FQD满足的等量关系，并证明．
6．（2023秋•榆树市校级期末）【阅读理解】如图①，∠BAE与∠DCE的边AB与CD互相平行，另一组
边AE、CE交于点E，且点E在AB、CD之间，且在直线AC右侧，试说明：∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点E作EM∥AB．
∴∠BAE＝∠AEM ．
∵AB∥CD ，
∴EM∥CD ．∴∠DCE＝∠CEM．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEM+∠CEM．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
【理解应用】如图③，当图①中的点E在直线AC左侧时，其它条件不变，若∠AEC＝120°
求∠BAE与∠DCE的和．
【拓展】∠BAE与∠DCE的边AB与CD互相平行，且点B、D在直线AC同侧，另一组边AE、CE交于
点E，且点E在AB、CD之间．若∠BAE的角平分线与∠DCE的角平分线交于点F，设∠E＝ ，请借助
图①和图③，用含 的代数式直接写出∠AFC的度数． α
α
7．（2023秋•安溪县期末）大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效
果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图 1所示，EF∥GH，AB⊥GH，灯A
射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立
即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度/秒．且满足|a+b﹣4|+
（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达AE之前，B灯转动几秒，两灯的
光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达BH之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF
上，且∠ABC＝k•∠ACD，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出∠BCD
的度数和k的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋•江阴市期末）定义：从∠ （90°＜ ＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射
线将∠ 分得的两个角中有一个角与∠α 互为补α角，则称该射线为∠ 的“好线”．
如图，α点O在直线AB上，OC、OD在直α 线AB上方，且OC⊥OD，射α 线OE是∠AOD的“好线”．
（1）若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝ °；
（2）若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
（3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关
系，并说明理由．9．（2023秋•孝南区期末）如图1，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝
55°，OG平分∠AOF．
（1）图中与∠BOE互补的角是 ；
（2）求∠DOG的度数；
（3）如图2，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转一周，当旋转时
间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直
接写出旋转时间t的值．（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）10．（2023秋•梁溪区期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB
＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断
∠AOE与∠DOE的数量关系．11．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线l ，l 被第三条直线l 所截的同旁内角∠ ，∠ 满足
1 2 3
∠ ＝∠ +30°，则称∠ 是∠ 的关联角． α β
（β1）已知α ∠ 是∠ 的关β 联角α．
①当∠ ＝50β°时，α∠ ＝ °；
②当2∠α ﹣∠ ＝45°β时，直线l
1
，l
2
的位置关系为 ；
（2）如图α2，已β知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角
时 ， 写 出 所 有 符 合 条 件 的 ∠ EOP 的 度 数 为 ．12．（2023秋•渝北区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC＝60°．已知∠MON＝60°，
∠MON绕点O在平面内旋转，旋转前，边OM与射线OB重合，边ON与射线OD重合．将∠MON绕
点O按每秒12°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）如图1，从∠MON旋转开始至ON边与射线OC重合时，共需多少秒？
（2）∠MON旋转至如图2所示位置时，试说明∠CON与∠AOM有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知∠POQ＝60°，∠POQ绕点O在平面内旋转，旋转前，边OP与射线OC重合，边
OQ与射线OA重合．若在∠MON旋转过程中，∠POQ绕点O以每秒3°的速度绕点O沿逆时针方向旋
转，当∠MON停止旋转时，∠POQ也停止旋转，旋转过程中，当边ON所在直线恰好平分锐角∠POQ
时，求出旋转时间．13．（2023秋•福鼎市期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起
一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上
画了一条数轴，进行如图操作探究：
（1）操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣3.5的点与表示数
的点重合；
（2）操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示﹣2的点与表示数的点重合，表示数m的点与表示数 的点重合（用含m的代数式表示）；
（3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从﹣1到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示
向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪
切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式
表示）．
14．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图（1），在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为6，点C
为数轴上原点左侧一点，且满足BC＝15．
（1）点C表示的数是 ；线段AC的长度是 ；
（2）如图（1），动点P从点A出发，沿数轴向右运动且初始速度为1个单位/秒，到达B点后以2倍的
初始速度返回点A；在点P出发的同时，动点Q从点C出发，沿数轴向右运动，在运动的过程中速度保
持不变为3个单位/秒，当点P返回点A时P、Q两点同时停止运动；设运动的时间为t秒，当 PQ＝AP
时，求此时动点P在数轴上所对应的数；（3）如图（2），CF＝5，数轴上方有一个正方形ABDE，动点M沿A﹣E﹣D﹣B﹣A的顺序以2个单
位/秒的速度匀速绕正方形运动一周，再回到A点时停止运动；在点C的正上方8个单位长度处有一点
G，三角形FCG为直角三角形；设运动的时间为m秒，当点M在线段AE上时，三角形FGM的面积等
于 ；当点M在线段DE上时，三角形FGM的面积等于 ；当点M在线段
BD上时，三角形FGM的面积等于 ；当点M在线段AB上时，三角形FGM的面积等于
（用含m的代数式表示）．
15．（2023秋•上城区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，
揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：① 表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示
的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部
分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为 1：1：2，则折痕处对应的点所表示
的数可能是 ．
16．（2023秋•运城期末）数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它包括原点，正方向和长度单
位三要素，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．
（1）数轴上某一个点所对应的数为2，另一个点对应的数为﹣8，则这两点之间的距离为 ；
（2）数轴上的数﹣10对应的点为A，点B位于A点的右边，距A点m个长度单位，C为线段AB上的
一点，AC＝2BC，电子蚂蚁P、Q分别从A、B同时出发，相向而行，P的速度为3个长度单位/秒，Q
的速度为2个长度单位/秒．
①当P、Q距C点距离相同时，求运动时间t；
②若电子蚂蚁Q通过C点1秒后与电子蚂蚁P相遇，求m的值．17．（2023秋•顺德区校级月考）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2
个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在
数轴上表示的数是m，且E、D两点之间的距离为n个单位长度．若|m﹣5|+（n﹣13）2＝0，回答下列问
题．
（1）填空：点H在数轴上表示的数是 ；点A在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N， ，点M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，
点N以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有OM＝ON；
（3）若长方形ABCD以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形ABCD运动的时间．
18．（2023秋•盐都区期末）如图1，A、B、C是数轴上的点，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的
正半轴上）．
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝ ；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移n（0＜n＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30n
度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝ ．
①当n＝1时， ＝ ； α
②猜想∠BCE和α 的数量关系，写出你的结论，并
说明理由； α
（3）如图 3，开始∠D C E 与∠DCE 重合，将
1 1 1
∠DCE沿数轴向右平移n（0＜n＜3）个单位，再绕
顶点C逆时针旋转30n度，作CF平分∠ACE，此时
记∠DCF＝ ，与此同时，将∠D C E 沿数轴向左平
1 1 1
α移n（0＜n＜3）个单位，再绕顶点C 顺时针旋转30n度，作C F 平分∠AC E ，记∠D C F ＝ 若 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
满足| ﹣ |＝50°，请求出n的值． β α
β α β
19．（2023春•江油市期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴
上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N
在x轴上，且∠BCM＝∠DCN，请补全图形，探究 的值的变化情况，并直接写出结论（不要求
写出探究过程）．20．（2023春•雨花区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P （x ，y ）与P （x ，y ），我们
1 1 1 2 2 2
重新定义这两点的“距离”．
①当|y
1
﹣y
2
|≤|x
1
﹣x
2
|时，|x
1
﹣x
2
|为点P
1
与点P
2
的“远距离”D远 ，即D远 （P
1
，P
2
）＝|x
1
﹣x
2
|；当|x
1
﹣
x
2
|＜|y
1
﹣y
2
|时，以|y
1
﹣y
2
|为点P
1
与点P
2
的“远距离”D远 ，即D远 （P
1
，P
2
）＝|y
1
﹣y
2
|．
②点P
1
与点P
2
的“总距离”D总 为|x
1
﹣x
2
|与|y
1
﹣y
2
|的和，即D总 （P
1
，P
2
）＝|x
1
﹣x
2
|+|y
1
﹣y
2
|．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知A（3，2）则D远 （A，O）＝ ，D总 （A，O）＝ ；
（2）若点B（x，5﹣x）在第一象限，且D远 （B，O）＝3．求点B的坐标．
（3）若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且D总 （C，O）＝4，已知点M（4，0），N（0，﹣2），点C向左平移2x个单位得到点E，且S△EMN ＝10，求点C的坐标．
21．（2023春•茅箭区期中）问题背景：（1）平面直角坐标系中，已知点A（x ，y ），点B（x ，y ），
1 1 2 2
点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ， ），如：A（﹣1，1），B（3，3），则
AB的中点C的坐标为（ ， ）即点C的坐标为（1，2）．
解决问题：
（1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是： ．
（2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），则点Q的坐标是： ．
（3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（﹣1，﹣4），第四个点H（x，y）与点E，点F、点
G中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线没的中点重合，求点H的坐标．22．（2023秋•沛县校级期末）【材料阅读】
如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为﹣1、7，C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运
动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是 、 （用含t的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求t的值．
【方法迁移】
如图2，∠AOB＝140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每
秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线
OP、OQ的夹角为30°？
【生活运用】
周末的下午，小明看到钟面显示 3 点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成
45°．
23．（2023秋•泰州期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点A、B、C、D，其中AB＝CD＝ BC，
点D对应的数是14．
（1）若BC＝8，则点A对应的数是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点A处以2单位/秒的速度向右运动，同时另一
小球乙从点D处以7单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点 E和点B处各放一
块挡板，其中AE＝2BE，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方
向运动，设运动的时间为t秒，问：t为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4个单位．
（3）在（2）的条件下，将线段AB、DC分别绕点B、点C竖直向上折起，连接线段AD，围成如图3
的长方形ABCD中，点P从点C出发，以2单位/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．
设点P运动时间为t秒，问：t为何值时，△PCE的面积为18？24．（2023秋•宁波期中）【阅读理解】
|5﹣2|表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|
可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+2|＝|x﹣（﹣2）|就表示x在数轴上对应的
点到表示﹣2的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣6和3的两点之间的距离是 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣3）|＝4，则x＝ ；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示﹣6的点与表示2的点重合．
①则表示16的点与表示 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为 ，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的
数是 ，B表示的数是 ；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠刚好重合，那么a与
b之间的数量关系是 ；
（3）【拓展延伸】
当|x+3|+|x﹣2|+|y+1|+|y﹣5|＝11时，x•y的最小值是 ．
25．（2023•九龙坡区校级开学）如图，点M，N在数轴上分别位于原点O的左右两边，点M表示的数是
a，点N表示的数是b，且a，b满足（a+4）2+|b﹣8|＝0．点A、B、C是线段ON的四等分点，分别以线
段OA、AB、BC为边向数轴的上方作正方形OAED，正方形ABFE，正方形BCGF．
（1）直接写出a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，若动点P从点M出发以每秒3个单位长度的速度沿折线M﹣O﹣D﹣G运动，同时动点Q
从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿折线N﹣C﹣G﹣D运动，当点P到达点G时P，Q两点同时停
止运动，设点P的运动时间为t，求线段PQ＝1时t的值；
（3）如图2，若动点P从点M出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点P到达点O
时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线O﹣D﹣G﹣D运动，点P到达点O的同时动点Q从点N出发
以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点Q首次到达点C后立即以每秒3个单位长度的速
度在点C和点O之间往返运动，过动点Q作
直线l垂直ON，在运动过程中，直线l与线
段DG的交点为H．当点P第二次到达点D
时P，Q两点同时停止运动．设点 P的运动时间为t，直接写出线段PH＝2时t的值．
26．（2023秋•衡东县期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图 1的几何
图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的
数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D＝∠BMD．请你证明
这个结论．
（2）【运用】如图2，AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，请你利用（1）中
“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【延伸】如图3，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且
EN∥MG．如果∠EMF＝ ，那么∠MGF等于多少？（用含 的代数式表示，请直接写出结论，无需证
明） α α27．（2023秋•修水县期末）综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已
知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP
和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地
发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都
保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+ ∠A的结果．
28．（2023秋•市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C重合放在一起，其中∠A＝
30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）如图1，∠1与∠3的数量关系是 ，理由是 ；
（2）如图1，若∠BCE＝120°，求∠2的度数；
（3）如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，
当点D在直线BC的上方时，探究以下问题：
①当DE∥AB时，求出∠BCD的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情
况，请直接∠BCD角度所有可能的值．29．（2023秋•建宁县期末）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角
之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点 P为平行线间一点且∠PAF＝
130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；
问题迁移
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n
分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ．则∠CPD，
α β∠ ，∠ 之间有何数量关系？请说明理由；
②α若点βP不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠ ，
∠ 间的数量关系． α
β
30．（2023秋•沙坪坝区期末）已知AB∥CD，点P是平面内一点，过点P作射线PN、PM，PM与AB相
交于点B．
（1）如图1，若点P为直线CD上一点，∠ABM＝45°，∠CPN＝30°，求∠MPN的度数；
（2）如图2，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，射线PN交CD于点E，∠ABM和∠CEP的角平
分线交于点F．请说明：2∠BFE+∠MPN＝180°；
（3）如图3，若点P、H是直线CD上的点，连接HB并延长交∠MPN的角平分线于点Q，射线PN交
AB于点G，设∠BGP＝ ．当∠PHB＝∠PBH时，请直接用含 的代数式表示∠PQH．
α α
