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专题25 根据不等式组解的情况求参四类型
例1（知有解无解求参）
若不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
A． ≤－2 B． ＜－2
C． ≥－2 D． ＞－2
【答案】D
【分析】先求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组有解分析a的取值范围即可．
【详解】解： ， ，
，解得： ，
∵不等式组有解，
故 ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查求一元一次不等式组的解集，能够根据题目要求列出不等式是解决本题的关键．
例2（知解集求参）
若不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集为 ，可得答案．
【详解】解：
由①得： ，
不等式组 的解集为 ，
故选：A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，根据不等式组的解集求解参数的取值范围，理解“同大取大”是解本题的关键．
例3（知整数解个数求参）
若关于x的不等式组 的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集 ，再由不等式组的整数解共有三个，可得
，即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组的整数解共有三个，
∴ ，
解得： ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
例4（知具体整数解求参）
如果关于 的不等式组 的整数解仅为3，4，5，那么适合这个不等式组的整数对 共
有（ ）
A．8对 B．12对 C．15对 D．20对
【答案】C
【分析】首先解不等式组，用 ， 表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解仅有3，4，
5，即可确定 ， 的值，从而求解．
【详解】解：解不等式组 ，得： ，
整数解仅有3，4，5，
， ，解得： ， ，
，8，9， ，27，28，29，30．
则整数 ， 组成的有序数对 共有15对．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的整数解及解不等式组的能力，根据整数解确定 ， 的值是关键．
【综合解答】
1．如果不等式组 的解集是x＜2，那么m的取值范围是（ ）.
A．m=2 B．m＞2 C．m≥2 D．m＜2
【答案】C
【分析】先求解不等式组得到x关于m的取值范围，再根据“小小取小”得到m的取值范围即可.
【详解】解： ，
解不等式 得，x＜2，
∵不等式组的解集是x＜2，
∴m≥2.
故选C.
【点睛】本题主要考查根据不等式组的解集求系数，解此题关键在于熟练掌握不等式组的解集为
“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小则无解”.
2．如果关于 的不等式组 仅有四个整数解为 ， ， ， ，若 在第二象限，那
么满足上述条件的整数 、 组成的点 的坐标有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解，得出关于 、 的不等式组，求出整数 、 的值，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∴不等式组的解集是 ，
∵关于 的不等式组仅有四个整数解为 ， ， ， ，
如图：
∴ ， ，
解得： ， ，
∵ 、 为整数，且 在第二象限，
∴ ， ，
∴ 的值是 ， ； 的值是 ， ， ，
∴由整数 、 组成的点 的坐标有： ， ， ， ， ， ，共6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解答的关键是求出 、 的
值．
3．已知关于 的一元一次不等式组 有 个整数解，若 为整数，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后根据该不等式组有2个整
数解确定a的取值范围，从而求出a的整数值．
【详解】
解不等式①，得：x> 1，
解不等式②，得： ，
不等式组的解集为 ，又 该不等式组有2个整数解，
2个整数解为2和3，
，
解得： ，
整数a的值为7或8，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，属于基础题，难度一般，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．
4．若关于x的不等式组 至多有2个整数解，且关于y的方程 的解为整数，
则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣3 B．1 C．7 D．8
【答案】B
【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中至多2个整数解，确定出a的范围，再由关于y的方
程的解为整数，确定出整数a的值，求和即可．
【详解】解：将不等式组 整理得： ，
∵不等式组至多2个整数解，
∴a≤4，
∵方程 的解为整数，
∴a=-5，-2，-1，0，2，3，4，7，
∴整数a为-5，-2，-1，0，2，3，4，
∴符合条件的所有整数a的和为-5-2-1+0+2+3+4=1．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
5．如果关于 的不等式组 仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数 组成的有序实数对 最多共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答
案．
【详解】∵解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴不等式组的解集是 ，
∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2，
∴ ， ，
解得： ， ，
即 的整数值是-3，-2， 的整数值是6，7，8，
即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，
(-2，6)，(-2，7)，(-2，8)．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m、n
的值．
6．若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据第一个不等式为x＜3，由于不等式组的解集为x≤a，则利用同小取小可得到a的范
围．
【详解】解：∵关于x的不等式组 的解集是x≤a,
∴a＜3．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
7．关于 的不等式组 有解且至多有5个整数解，关于 的方程 有整数
解，则满足条件的所有整数 的和是（ ）
A．2 B．0 C．4 D．不存在符合条件的
【答案】D
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多5个整数解，求得m的取值范围；解分
式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
∴ ，
∵不等式组有解且至多5个整数解，
∴ ，
∴ ，
分式方程两边都乘以 得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程有整数解，
∴ ， ，
解得： ，
∵ ， ，
∴m无解，故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一
定要检验．
8．不等式组 无解，则m的取值范围是（ ）
A．m<1 B．m≥1 C．m≤1 D．m>1
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意确定m的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组得
由不等式组无解可得 ,解得
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式组，由不等式组的解集情况确定参数的取值范围，不等式组无解
即两个不等式的解没有公共部分，根据这一点列出关于m的不等式是解题的关键．
9．如果不等式组 有解，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不等式有解， .
故选C.
10．已知关于 的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出 的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得： ，
不等式组的解集为 ，
，
解得： ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11．如果关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，则 的立方根为
______．
【答案】
【分析】将不等式组移项整理并用字母 ， 表示出不等式组的解集为 ，再根据
不等式组的解集为 ，得到对应的等式关系，即关于 ， 的二元一次方程组，利用加减
消元法、代入消元法求出 ， 的值，最后将 ， 的值代入所要求的代数式中求解立方根．
【详解】 整理得 ，
解得 即 ．
不等式组 的解集为 ，
整理得 ，
解得 ， ．
，
的立方根为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解的定义、解二元一次方程、立方根的计算问题．注意求
一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．恰当利用字母 ， 的值表示不等
式组的解集，根据已知解集得到对应的等量关系并进行求值是解本题的关键．
12．若关于 的不等式组 的解集是 ，则 在第_______________象限.
【答案】四
【分析】利用不等式组的解集“同小取小”得到m≥4，然后可得m+1＞0，2-m＜0，再根据点的坐
标象限分布特征即可求解.【详解】解：∵关于x的不等式组 的解集是x＜4，
∴m≥4，
∴m+1＞0，2-m＜0，
∴P（m+1，2-m）在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集以及点的坐标，根据不等式组的解集求出m的取值范围
是解答本题的关键．
13．已知实数x满足 ，若S＝|x﹣1|+|x+1|的最大值为m，最小值为n，则mn＝
_____．
【答案】16
【分析】解不等式组得-3≤x≤4，根据两点间的距离的公式知当-1≤x≤1时，S=|x-1|+|x+1|取得最小值；
当x=4时，S=|x-1|+|x+1|取得最大值，继而可得答案．
【详解】解不等式5（x+1）≥3x﹣1，得：x≥﹣3，
解不等式 ，得：x≤4，
则﹣3≤x≤4，
当﹣1≤x≤1时，S＝|x﹣1|+|x+1|取得最小值，最小值n＝2，
当x＝4时，S＝|x﹣1|+|x+1|取得最大值，最大值m＝8，
∴mn＝2×8＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握熟练掌握解不等式组的能力和数
轴上两点间的距离公式．
14．不等式组 无解，求 的取值范围______．
【答案】
【分析】根据不等式组 无解，可得 与 在数轴上没有公共部分，即可求解．【详解】 不等式组 无解，
与 在数轴上没有公共部分，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解的情况，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．若不等式组 无解，则 的取值范围为__．
【答案】
【分析】先求出不等式 的解集为 ，再由不等式组无解，得到 ，由此即可得到
答案．
【详解】解：
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握不等式
组的解集的情况：大小小大中间找，大大小小找不到．
16．已知关于x的不等式组 有解，则m的取值范围为____________________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法和不等式组 有解，可以得到关于 的不等式，
从而可以求得 的取值范围．
【详解】解：由不等式组 可得 ，不等式组 有解，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
17．若不等式组 无解， 的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】
【分析】根据不等式组无解，可列出关于 的不等式组，解之得出 的范围，进而在范围内选出一
个数即可．
【详解】解：由 ，解得 ，
又由不等式组 无解，得到 ，
所以 的值可以是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查根据不等式解集求代数问题，根据不等式组无解，得出 的范围是解题的关键.
18．已知关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是 ．
【答案】-3＜a≤-2
【详解】∵解不等式组得：a≤x≤2，
∵不等式组的整数解有5个，
∴整数解为：2，1，0，-1，-2，
∴-3＜a≤-2．
故答案为-3＜a≤-2．
19．已知关于x的不等式组 只有两个整数解，则a的取值范围____________.
【答案】4 a 7
< ≤【详解】 ；
由①得x>- ,
由②得x≤ ,
∴- <x≤ ，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴ ，
∴
三、解答题(共0分)
20．已知关于 的不等式组
(1)当 时，求该不等式组的整数解；
(2)若原不等式组的整数解只有7，8，求 的取值范围．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）将m=10代入原不等式组，解不等式组，找到整数解即可；
（2）先求出含m的不等式组的解集，根据原不等式组的整数解只有7，8，确定两个解的最小的
范围是 最小整数值 ， 最大整数值 ，即可得到m的取值范围．
（1）解：当m=10时，关于 的不等式组 即为 解不等式①得：
解不等式②得： ∴该不等式组的解集为： ∴该不等式组的整数解为：
5（2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵原不等式组
的整数解只有7，8∴ 解不等式③得： 解不等式④得：
∴ 即m的取值范围是 ．
21．已知关于 的不等式组
（1）当 为何值时，该不等式组的解集为
（2）若该不等式组只有 个正整数解，求一个满足条件的整数 的值．
【答案】（1） （2）k=4或5．
【分析】（1）解不等式组，得到其解集，结合已知的解集明确 可求的k的值；
（2）根据（1）的结论和不等式组有三个正整数解，可得关于k的不等式组，再解不等式组求解
即可．
【详解】解：（1）
由①得：
由②得：
因为不等式组解集为
所以
解得 ；
（2）∵不等式组有3个正整数解
∴x=1,2,3
∴
∴ ，
所以k=4或5．【点睛】本题考查了一元一次不等式组，属于常考题型，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是
关键．
22．若关于 的不等式组 的解集为 ，则 的值为________．
【答案】-3
【分析】解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a，b的二元一次方程组，解之
可得a，b的值，把值代入计算即可得到答案；
【详解】解：
化简得： ，即： ，
又∵ 的不等式组 的解集为 ，
∴得到方程组： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取
大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
