文档内容
专题17 根据二元一次方程解的情况求参三类型
【例题讲解】
例1（为正为负求参）已知：方程组 的解中， 是非负数， 是正数．求所有
满足题意的整数 的和．
【详解】解：解该方程组得 ，∵ ，∴ ，解该不等式组得
，
又∵k为整数 ，∴k =0，1，2，3，则所有整数 的和为0+1+2+3 = 6．
例2（满足某等式求参）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，求a的值
及方程组的解．
【详解】解： 得： 得：
∴ 得 把 代入 得 ∵
∴ 解得： ∴ ， ∴方程组的解为： ．
例3（满足某不等式求参）已知 中的 满足0＜ ＜1，求k的取值范
围．
【详解】 ，由①－②得： ，∵ ，
∴ 解得【综合解答】
1．如果关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求m的值．
【答案】5
【分析】根据方程组的解互为相反数得出 ，利用代入消元法分别用m表示出x、y的值，
再代入另一个方程求解m即可．
【详解】解：∵ 的解互为相反数，
∴ ③，
将③代入①得 ，
将 代入③得 ，
将 ， 代入②中得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．
2．已知关于x，y的方程
(1)若该方程组的解都为非负数，求实数a的取值范围．
(2)若该方程组的解满足 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意表示出x和y的值，然后根据该方程组的解都为非负数列不等式求解即可；
（2）将x和y的值代入 列出关于a的不等式，求解不等式即可．
【详解】（1）解：
得： ，得： ，解得 ，
将 代入①得 ，
∵该方程组的解都为非负数，
∴ ，即 ， ，
解得 ；
（2）由（1）可知， ， ，
∵
∴ ，
整理得： ，解得： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组含参数问题，解一元一次不等式组，解题的关键是根据题意
得到关于a的不等式．
3．已知关于 ， 的方程组 的解中 与 的和为 ，求 的值及此方程组的解．
【答案】 ，
【分析】根据题意先用含 的代数式表示出 和 ，再根据 与 的和为 求出 的值，代入
，即可求解．
【详解】解： ，
解得： ，，
又 与 的和为 ，
，
解得： ，
把 代入 ，
解得： ，
方程组的解为： ，
的值为 ，方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了方程组的解的定义，以及解二元一次方程组，正确求得 的值是解决本题的
关键．
4．已知关于x，y的方程组 中，x为非负数，y为负数，试求出满足条件的所有正整
数m的值．
【答案】m的值1，2，3，4
【分析】将m看作已知数，用加减消元法解二元一次方程组，然后根据x为非负数，y为负数列出
关于m的不等式组，解不等式组得出m的取值范围，再找出正整数m的值即可．
【详解】解： ，
①+②得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，
∵x为非负数，y为负数，∴ ，
解得： ，
∴正整数m的值为1，2，3，4．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，用加减消元法解出 ，
，然后得出关于m的不等式组，是解题的关键．
5．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足4x+y=15，求k的值．
【答案】
【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝3可得关于k
的方程，解方程即可求解．
【详解】解：
，得 ，解得： ，
把 代入 ，得 ，
解得：y ．
把 ，y 代入方程4x+y＝15，
得 ，
解得：k= ．
【点睛】本题主要考查含参数的二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元
一次方程组的方法．
6．已知方程组 的解满足 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 为正整数，求 的值．
【答案】(1)m＜
(2) 的值为8【分析】（1）解方程组得出x＝2m＋1，y＝1−2m，代入不等式x−2y＜8，可求出m的取值范围；
（2）根据题意求出m＝1，代入代数式即可得出答案．
（1）
解：
①+②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得：y＝1−2m，
∵x−2y＜8，
∴2m＋1−2（1−2m）＜8，
解得：m＜ ．
（2）
解：∵m＜ ， 为正整数，
∴ ，
∴原式＝−1−8＋17＝8．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次方程组
的解法，是解题的关键．
7．已知关于x、y的二元一次方程组
(1)若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值；
(2)若方程组的解满足x＜﹣y，求m的取值范围．
【答案】(1)10
(2)m＞2
【分析】（1）由①+②可得x﹣y＝1 m，再由x﹣y＝6，可得关于m的方程，即可求解；
（2）由②﹣①可得x+y＝4﹣2m，再由x＜﹣y，可得关于m的不等式，即可求解．
（1）解： ，
由①+②得：8x﹣8y＝4m+8，即x﹣y＝1 m，
代入x﹣y＝6得：1 m＝6，
解得：m＝10，
故m的值为10，
（2）
解： ，
由②﹣①得：2x+2y＝8﹣4m，即x+y＝4﹣2m，
∵x＜﹣y，即x+y＜0，
∴4﹣2m＜0，
解得：m＞2，
故m的取值范围为：m＞2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等
量关系列出关于m的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于m的一元一次不等式．
8．若方程组 的解中x与y的取值相等，求k的值．
【答案】k的值为10．
【分析】由y=x，代入方程组求出x与k的值即可．
【详解】解：由题意得：y=x，
代入方程组得： ，
解得：x= ，k=10，
则k的值为10．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的
值．9．已知关于 、 的方程组 的解满足 ．
(1)求 的取值范围；
(2)化简 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把x、y看作未知数，a看作已知数，解方程组，根据 ，列出关于a的不等
式组，解不等式组即可；
（2）根据 ，得出 ， ，然后进行绝对值化简即可．
（1）
解：
解这个方程组，得 ，
∵ ，
∴
解这个不等式组，得 ．
（2）
解：∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，化简绝对值，根据不等式组
，求出 ，是解题的关键．
10．计算：
(1)已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的取值范围；
(2)若关于 的不等式 的最小整数解为2，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将两个方程相加可得 ，再与第一个方程相加可得 的值，然后
根据 建立不等式，解不等式即可得；
（2）先解一元一次不等式求出 ，再根据最小整数解为2即可得．
（1）
解： ，
由① ②得： ，即 ③，
由① ③得： ，即 ，
，
，解得 ．
（2）
解：解不等式 ，得 ，
这个不等式的最小整数解2，
∴ ，
解得 ，
故 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式（组），熟练掌握方程组和不等式
（组）的解法是解题关键．
11．关于x，y的方程组 的解都是非正数，求m的取值范围．
【答案】
【分析】解方程组，根据解都是非正数得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解： ，
由①+②得： ，即 ，
由①－②得： 即
此方程组的解都是非正数，
， ，即
解得：
【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题关键是准确求解含参数的方程
组并根据题意列不等式组．
12．
(1)已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的值；
(2)在（1）的条件下，求出方程组的解．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）①－②得出 ，根据 ，列出关于a的方程 ，求出a的值即
可；
（2）把a代入得出关于x、y的方程组，用加减消元法解方程组即可．
(1)
解：
①－②，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
(2)
解：∵ ，原方程组为 ，
①×2－②，得 ，
，解得： ，
将 代入①得， ，
解得： ，
∴这个方程组的解是 ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，
是解题的关键．13．已知关于x，y的方程组
(1)当 时，求m的值；
(2)若x为非负数，y为负数，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程组 得到 ，再根据等式的性质即可求解．
（2）用m表示出方程组的解，再根据x为非负数，y为负数，得不等式组，解出不等式组的解集
即可求解．
(1)
解： 得：
，
当 时，即 ，
解得： ．
(2)
，
得：
，即 ，
把 代入①得， ，
∴原方程组的解为： ，
由x为非负数，y为负数，可得：
，
即 ，解得 ，
即 ，解得 ，∴ ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及求一元一次不等式组的解集，正确利用方程组的同
解变形求解，掌握方程组的解法及找出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
14． 已知关于 ， 的方程组 ，
(1)若它的解满足 ，求m的值；
(2)若它的解满足 ，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求解二元一次方程组，再根据 即可求解．
（2）由（1）知 ，根据 即可解得一元一次不等式的解集即可求解．
(1)
解：解方程组 ，
得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(2)
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题考查了求解二元一次方程组、一元一次不等式，掌握其相关的解法是解题的关键．
15．已知关于 的方程组 （ 为常数）
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由①+②，得 ，于是有 ，进而求解即可；
（2）由①-②，得 ，另根据 ，即可求得求 的取值范围．
(1)
解：
①+②，得： ，故 ，
又由 ，则 ，得 ．
(2)
解：
①-②，得： ，
又由 ，得 ，
解得
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运
用相关知识是解题的关键．16．已知方程组 的解满足 ，求m的值．
【答案】
【分析】根据加减消元法，用含m的式子分别表示出x，y的值，再将其代入x+y=2，即可求出m
的值．
【详解】 ，
①+②，得3x=3+3m，
解得x=1+m，
将x=1+m代入①，
得2（1+m）+y=1+4m，
解得y=2m-1．
∵x+y=2，
∴（1+m）+（2m-1）=2，
解得m= ．
∴m的值为 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，能够用含m的式子分别表示出x，
y是解题的关键．
17．若关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)若x，y满足方程 ，求a的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）两式相加，得到 ，从而得到 ，即 ，即可求解；
（2）由（1）可得 ，得到 ，即可求解．(1)
解：
①＋②可得： ，即 ，
∵
∴ ，
解得 ；
(2)
解：由（1）可得： ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于a的不
等式和方程是解题的关键．
18．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，求m的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法求得（x+y）的表达式，再由不等式的性质求m即可；
【详解】解：
由①+②，得： ，
，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
【点睛】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，不等式的性质；由方程组求得（x+y）
的表达式是解题关键．
19．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝2，求k的值．
【答案】8
【分析】先用加减法求得x−y的值(用含k的式子表示)，然后再列方程求解即可．【详解】解：
由 得，x-y=k-6
关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝2
k-6=2
解得k=8
故k的值为8
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解，不解方程组求得x−y的值(用含k的式子表示)是
解题的关键．
20．已知：关于x，y的方程组 ．
(1)若 ，求a的值．
(2)不论a取何值时，试说明 的值不变．
(3)若 ，且整数m只能有两个，求这两个整数．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)0和1．
【分析】（1）根据x=y把原方程组化为关于x的方程组，然后把a作为已知数表示出x，进而求出
a的值即可；
（2）根据方程组的特征先计算2x-2y得x-y，再将所得方程与方程 相加，即可算得
x+y的值，从而证明结论成立；
（3）把a作为常数，先求解原二元一次方程组，把表示出的x与y代入已知不等式求出m的范围，
确定出整数m即可．
【详解】（1）解：当 时，原方程组化为
，解 得 ，解 得 ，
∴ ，
解此方程得 ；
（2）证明：∵ ，
∴③+④得2x-2y=-4a+14，
∴x-y=-2a+7⑤，
把③+⑤得2x+2y=6，
∴x+y=3，
∴不论a取何值时，试说明 的值不变；
（3）解：解方程组 得 ，
∵ ，
∴ ，
∴
当a=4时， ，不符合题意，
当a=5时， ，不符合题意，
当a=6时， ，m的两个整数解为0和1，
当a=7时， ，m的两个整数解为0和1，
当a=8时， ，m的两个整数解为-1、0和1，不符合题意，
∴整数m的值为∶0和1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，把字母看成常数是解题的关键．
