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专题 17 正方形中“对角互补”模型
解题思路
【对角互补-模型归纳】
在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、
BC上，若∠EOF 为直角，OE、OF 分别与 DA、AB 的延长线交于点 G、
H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH 是等腰直角三角形，
典例分析
【典例1】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形 ABCD是正方形，对角线
AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、
BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用
等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形 ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
【典例2】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形 ABCD为正方形，AB＝3
，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点
F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请
说明理由．【变式2-1】（2021春•淮北期末）四边形 ABCD为正方形，点E为线段AC上
一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边
作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2 ，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC
的度数．
【变式2-2】（2021•杭州校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是
对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、
EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．夯实基础
1．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、
BD 的交点，E、F 分别为边 BC、CD 上一点，且 OE⊥OF，连接 EF．若
，则EF的长为（ ）
A．2 B．2+ C． +1 D．3
2．（秋•乐清市期末）如图，△ABC 为等边三角形，以 AB 为边向形外作
△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则
下列结论：
①D、A、E三点共线；
②DC平分∠BDA；
③∠E＝∠BAC；
④DC＝DB+DA．
其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（巴南区校级期末）如图，正方形 ABCD，点P是对角线AC上一点，连接
BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝ ，Q
为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的
面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线
AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°．
求证：AE＝BF．
5．（2021秋•莆田期末）如图，点 P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．
（1）求点P的坐标．
（2）当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这
个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．
6．（2020春•浦东新区期末）已知：四边形 ABCD是正方形，对角线AC、BD
相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，∠EOF＝90°，如图1
（1）求证：CF＝BE；
（2）如果OG平分∠EOF，与边BC交于点G，如图2，请你猜想BG、CF
和GF之间的数量关系，并证明；
（3）设正方形 ABCD 的边长是 2，当点 E 在 AB 边上移动时，图 2 中的
△GOF可能是等腰三角形吗？（如果可能，请求出线段 BG的长；如果不可
能，请说明理由．
能力提升7．（2022•岱岳区三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上
的一个动点（0＜DM＜ BD）．连接 AM，过点 M作MN⊥AM 交BC 于点
N．
（1）如图1，求证：MA＝MN；
（2）如图2，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2 时，求△HMN的面积．
8．（2021春•莘县校级期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫
做“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”
四边形的是 （请填序号）；
（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．
①如图1，求证：AC平分∠BCD；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：
想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长 CB 到 E，使 BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；
想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，
得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；
②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，
并证明．
9．（石家庄二模）在图 1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射
线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线
AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为 ；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置
关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 ；
位置关系为 ．
