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专题 17 正方形中“对角互补”模型
解题思路
【对角互补-模型归纳】
在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、
BC上，若∠EOF 为直角，OE、OF 分别与 DA、AB 的延长线交于点 G、
H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH 是等腰直角三角形，
典例分析
【典例1】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形 ABCD是正方形，对角线
AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、
BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用
等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．【答案】（1） EF2＝AF2+BF2 （2）EF2＝BF2+AE2
【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中•，，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形 ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE＝DF．
【典例2】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形 ABCD为正方形，AB＝3
，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点
F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）略 （2）CE+CG＝CE+AE＝AC＝ AB＝ ×3 ＝6是定值．
【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中， ，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝ AB＝ ×3 ＝6是定值．
【变式2-1】（2021春•淮北期末）四边形 ABCD为正方形，点E为线段AC上
一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边
作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2 ，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC
的度数．
【答案】（1）略 （2）CG＝2 （3）∠EFC＝130°或40°
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中， ，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝ AB＝4，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．
【变式2-2】（2021•杭州校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是
对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、
EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
【答案】（1）略 （2） AE+AG＝4 ． （3）ME=
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝ AD＝4 ．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝ ＝2 ，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，∴EH＝ DF＝ ，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝ ，
∴HM＝HF﹣FM＝ ，
在Rt△EHM中，EM＝ ＝
夯实基础
1．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、
BD 的交点，E、F 分别为边 BC、CD 上一点，且 OE⊥OF，连接 EF．若
，则EF的长为（ ）
A．2 B．2+ C． +1 D．3
【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF＝60°，
∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
过点F作FG⊥OD，如图，
∴∠OGF＝∠DGF＝90°，
∵∠ODC＝45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF＝DG＝ DF＝ ，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠DOF＝30°，
∴OF＝2GF＝ ，
∴EF＝ OF＝2 ．
故选：A．
2．（秋•乐清市期末）如图，△ABC 为等边三角形，以 AB 为边向形外作
△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则
下列结论：
①D、A、E三点共线；
②DC平分∠BDA；
③∠E＝∠BAC；
④DC＝DB+DA．
其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：如图，
①设∠1＝x 度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝
（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，
∴D、A、E三点共线；
故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，
∴DC平分∠BDA；
故②正确；
③∵∠BAC＝60°，
∠E＝60°，
∴∠E＝∠BAC．
故③正确；④由旋转可知AE＝BD，
又∵∠DAE＝180°，
∴DE＝AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC＝DB+BA．故④正确；
故选：A．
3．（巴南区校级期末）如图，正方形 ABCD，点P是对角线AC上一点，连接
BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝ ，Q
为CD中点，则下列结论：
①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的
面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCQ＝90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B、C、Q、P四点共圆，
∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，
∴四边形AMPE是正方形，
∴AM＝PM＝PE＝AE，
∵AP＝ ，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（ ）2，
解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，
∴DF＝1，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
则BE＝PF＝a﹣1，
∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，
∴∠EBP＝∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中
，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确；
∴DQ＝1+1＝2，
∵Q为CD中点，
∴DC＝2DQ＝4，
∴正方形ABCD的面积是4×4＝16，∴④正确；
故选：A．
4．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线
AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°．
求证：AE＝BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF﹣∠AOF＝∠AOB﹣∠AOF，
即∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
5．（2021秋•莆田期末）如图，点 P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分
线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．
（1）求点P的坐标．
（2）当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这
个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．
【解答】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，
∴3m﹣1＝﹣2m+4，
∴m＝1，
∴P（2，2）；（2）①不变．
过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，
∴四边形QMPN是正方形，
∴∠MPN＝90°＝∠APB，
∴∠MPB＝∠NPA．
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM＝AN，
∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，
②连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴OA2+OB2＝AB2，
∵∠BPA＝90°，
∴AB2＝PA2+PB2＝2PA2，
∴OA2+OB2＝2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小．
根据垂线段最短原理，PA最小值为2，
∴OA2+OB2的最小值为8．
6．（2020春•浦东新区期末）已知：四边形 ABCD是正方形，对角线AC、BD
相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，∠EOF＝90°，如图1
（1）求证：CF＝BE；
（2）如果OG平分∠EOF，与边BC交于点G，如图2，请你猜想BG、CF和GF之间的数量关系，并证明；
（3）设正方形 ABCD 的边长是 2，当点 E 在 AB 边上移动时，图 2 中的
△GOF可能是等腰三角形吗？（如果可能，请求出线段 BG的长；如果不可
能，请说明理由．
【答案】（1） 略 （2）CF2+BG2＝FG2
【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴BE＝CF；
（2）CF2+BG2＝FG2；理由是：
如图2，连接EG，由（1）知：△EOB≌△FOC，
∴OE＝OF，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠FOG，
∵OG＝OG，
∴△EOG≌△FOG（SAS），
∴EG＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBG＝90°，
∴EB2+BG2＝EG2，
∵BE＝CF，
∴CF2+BG2＝FG2；
（3）图2中的△GOF可能是等腰三角形，分三种情况：
①如图3，当OG＝OF时，连接EG，则∠OGF＝∠OFG，
∴∠BGO＝∠CFO，
由（2）知：EG＝FG，
∵OB＝OC，∠OBG＝∠OCF＝45°，
∴△BOG≌△COF（AAS），
∴BG＝CF，
设BG＝x，则BE＝CF＝x，FG＝2﹣2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
（2﹣2x）2＝x2+x2，
x＝2+ （舍）或2﹣ ，
∴BG＝2﹣ ；
②如图4，OF＝FG时，OE⊥AB，此时E为AB的中点，G与B重合，BG＝
0；
③如图5，OG＝FG时，F与C重合，E与B重合，此时BG＝ BC＝1；
综上，图2中的△GOF可能是等腰三角形，BG的长为2﹣ 或0或1．
能力提升
7．（2022•岱岳区三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上
的一个动点（0＜DM＜ BD）．连接 AM，过点 M作MN⊥AM 交BC 于点
N．
（1）如图1，求证：MA＝MN；（2）如图2，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2 时，求△HMN的面积．
【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所
示：
∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，
∴MF＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FBGM是正方形，
∴∠FMG＝90°，
∴∠FMN+∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMF+∠FMN＝90°，
∴∠AMF＝∠NMG，
在△AMF和△NMG中，
，
∴△AMF≌△NMG（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM+∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF+∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
在△AFM和△MHN中，
，
∴△AFM≌△MHN（AAS），
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，
∵AF⊥BD，
∴AF＝ BD＝ ×6 ＝3 ，
∴MH＝3 ，
∵AM＝2 ，
∴MN＝2 ，
∴HN＝ ＝ ＝ ，
∴S ＝ MH•HN＝ ×3 × ＝3，
△HMN
∴△HMN的面积为3．8．（2021春•莘县校级期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫
做“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”
四边形的是 （请填序号）；
（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．
①如图1，求证：AC平分∠BCD；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：
想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长 CB 到 E，使 BE＝CD，通过证明
△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；
想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，
得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；
②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，
并证明．
【解答】解：（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”．
故答案为：④
（2）
①想法一：延长CB使BE＝CD，连接AE∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE
∵AD＝AB，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE
∴∠ACB＝∠AEB．
∴∠ACD＝∠ACB．
即AC平分∠BCD；
想法二：将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到△ABE，
∴△ADC≌△ABE．
∴∠ADC＝∠ABE；
∠ACD＝∠AEB；
AC＝AE．
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ABE+∠ABC＝180°．∴点C，B，E在一条直线上．
∵AC＝AE，
∴∠ACB＝∠AEB
∴∠ACD＝∠ACB
即AC平分∠BCD
②BC+CD＝ AC
理由如下：
延长CB使BE＝CD，连接AE，
由 ①得△ACE为等腰三角形．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAC＝90°
∴CE2＝2AC2，
∴ ．
∴BC+CD＝ AC．
9．（石家庄二模）在图 1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射
线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线
AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为 ；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置
关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 ；
位置关系为 ．
【答案】（1） OE＝OF （2） OE＝OF，OE⊥OF； （3）相等，垂直
【解答】（1）解：由题意得：
∠BAC＝∠BCA＝45°，AO＝PA，
∠AEO＝∠AFO，
在△AEO和△CFO中
，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OE＝OF（相等）；（1分）
（2）解：OE＝OF，OE⊥OF；（3分）
证明：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，（4分）
∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，
∴∠FPC＝45°，PF＝FC．
∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB＝∠PFB＝90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE＝PF．（5分）
∴BE＝FC．∴△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，（7分）
∵∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF．（8分）
（3）OE＝OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）
理由：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO＝CO，BO⊥AC，∠BCA＝∠ABO＝45°，
∴∠OCF＝∠OBE
∵PF⊥BC，∠BCO＝45°，
∴∠FPC＝45°，PF＝FC．
∵正方形ABCD，∠ABC＝90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB＝∠PFB＝90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE＝PF．
∴BE＝FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∵∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝90°．∴OE⊥OF．
