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专题17 特殊平行四边形中最常考的五种几何模型（原卷版）
类型一 对角互补模型
1．（2022春•江岸区校级月考）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一
1 1 1
个顶点，且这两个正方形的边长相等．OA 与OC 分别交AB，BC于点E，F．
1 1
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BE＝a，BF＝b，请直接写出四边形EBFO的面积为 （用含有a，b的式子表示）；
（3）已知AE＝2，CF＝3，求A E的长．
1
2．（2022•隆昌市校级三模）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点
绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角
板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与 OD 重合）中，BN2＝
CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图
③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．类型二 将军饮马模型
（1）两定一动模型
3．（2020春•洛阳期末）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线
AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（ ）
A．16 B．16√2 C．20 D．4√17
4．（2019•霍邱县二模）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上
的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
5．（2021春•红安县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
（2）两动一定模型
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分别是线段AC，AB上的动点，PE+PB的最小值
为（ ）
A．1.5 B．√2 C．2 D．√3
7．（2022春•合肥期末）如图，在菱形 ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，
CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．√3+1
（3）两动两定模型8．（如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A(3，0)，C(0，2)，点E是AB的中点，点
F在BC边上，且CF＝1，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形MNFE的周长最小值是
．
y
F
C B
E
O A x
（4）造桥选址模型
9．如图，已知菱形ABCD的边长为10，E为AB中点，对角线BD上有两个动点P，Q总保持PQ＝2，若
BD＝16，则四边形AEPQ的周长最小值为（ ）
A．16 B．21 C．7+√85 D．7+√61
类型三 十字架模型
10．（2021春•淮南期中）数学活动：探究正方形中的“十字架”
①猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF
之间的数量关系： ．
②探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，
此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由．
③应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F
处，折痕为MN，则线段MN的长为 2√5 ．11．（2022•新化一模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点
G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，
∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，请类比（2），求DE的长．
类型四 一线三直角模型
12．（2021春•禹州市期末）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB上的点，且CE＝BF，
连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG、FC．
（1）判断：FG与CE的位置关系是 ，BE、CD、FG之间的数量关系为 ．
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？
请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E、F分别是边BC、AB延长线上的点，正方形ABCD的边长为12，GE＝13，其他
条件不变，请直接写出四边形FGEB的面积．类型五 半角模型
13．（2022春•南岗区期末）问题解决：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，连接
CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．
（1）求证：BE+DF＝EF；
（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求线段AE的长．
类比迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，对角线AC平分∠BAD，点E、F
20√3
分别在AB、AD上，且AE＞AF，连接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC= ，EF＝7，求线段AE
3
的长．
14．（2020春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．
（1）求证：△ECF为等边三角形；
（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．15．（2021秋•交口县期末）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足
∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．
小明是这样解决的：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，再证明△GAF≌△EAF，可得结论．
（1）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，且∠BAE＝45°，
DE＝4，求BE的长．
（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC和AFG摆
放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与
边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2
＝DE2始终成立，请说明理由．
