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考点 20 椭圆（核心考点讲与练）
1.椭圆的定义
平面内与两定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭
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圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
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(1)若 a ＞ c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a ＜ c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
性质范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A(－a，0)，A(a，0)， A(0，－a)，A(0，a)，
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顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b，0)，B(b，0)
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轴 长轴AA 的长为 2 a ；短轴BB 的长为 2 b
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焦距 |FF|＝ 2 c
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离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|FF|，避免
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了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定
量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的
标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解
参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一
元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，
若 的周长为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知 分别是椭圆 和双曲线 的公共的左右焦点，
是 的离心率，若 在第一象限内的交点为 ，且满足 ，则 的关系是
（ ）
A． B． C． D．
3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、，离心率为 ，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，左右顶点分别为 ，
．P是椭圆上异于 ， 的点，则下列说法正确的是（ ）
A． 周长为4 B． 面积的最大值为
C． 的最小值为 D．若 面积为2，则点P横坐标为
5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C： 的左､右焦点分别为 ､ ，上､下顶点分别为
､ ，点P是C上异于 ､ 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若C的离心率为 ，则直线 与 的斜率之积为
B．若 ，则 的面积为
C．若C上存在四个点P使得 ，则C的离心率的范围是
D．若 恒成立，则C的离心率的范围是
三、填空题
6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C： 的左焦点为 ， 为椭圆C上任意一点，
则 的最小值为______．四、解答题
7．（2022·江西景德镇·三模（文）） 是椭圆 的右焦点，其中 .点 、
分别为椭圆 的左、右顶点，圆 过点 与坐标原点 ， 是椭圆上异于 、 的动点，且 的周
长小于 .
(1)求 的标准方程；
(2)连接 与圆 交于点 ，若 与 交于点 ，求 的取值范围.
椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，O
为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则
C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前 年—公元前 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若
椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 则椭圆 的方程为（
）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·辽宁·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， （如图），离心
率为 ，过 的直线 垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线 交E于点B（异于点A），则
下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B． 的周长为4a
C．若 的面积为12，则椭圆E的方程为
D． 与 的面积的比值为
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个
椭圆.若圆柱的底面圆半径为2， ，则（ ）A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
5．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为 ，离心率为 ，
为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC的倾斜角互补，则
下列结论正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为
B．直线BC的斜率为定值
C．点O到直线BC的距离为定值
D．若 ，则直线BC的方程为
三、填空题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)， ，
，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 ，使得 ，则顶点C的轨迹方程为________．
四、解答题
7．（2022·山东泰安·二模）已知椭圆C： 过点 ，过其右焦点 且垂直于x轴
的直线交椭圆C于A，B两点，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l： 与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得
∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知椭圆 的离心率 ，且
点 ， 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆 上，且在椭圆位于x轴上方的部分，直线 与
轴交于点 ，点 是 轴上一点， ，直线 与椭圆 交于点 ，若 的面积为 ，求直线
的方程．椭圆的几何性质
1.（2021天津市第二中学高三上学期期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
过 的直线与椭圆交于A，B两点，若 ，则椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
直线与椭圆的位置关系
1.（2022北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆 的左､右顶点分别为A，B，右焦点
为F，直线 .
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线 的对称点在直线 上，求m的值；
（2）过F的直线 与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线 与直线 相交于点M，求证：A，D，M三点共线.
2.（2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中）已知椭圆C： (a>b>0)的左顶点
为A，右焦点为F，过点A作斜率为 的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2 ＝ ，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求 的值.
1.（2021年全国高考乙卷）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（
）
A. B. C. D. 22.（2021年全国高考乙卷）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
4.（2021年全国高考甲卷）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点
对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
一、单选题
1．（2022·安徽·模拟预测（理）） ､ 是椭圆 的左､右焦点，点 为椭圆 上一
点，点 在 轴上，满足 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北武汉·二模）若椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）A． B． C． 或 D． 或
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆 焦点相同的椭圆是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，直线AB过 与该椭圆交于A，B两
点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继
星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆
轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则
“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线 ： ，焦点为 ､ ， ，过 的直线
与 交于 两点，则下列说法正确的有（ ）
A． 是 的一条对称轴
B． 的离心率为
C．对C上任意一点P皆有D． 最大值为
7．（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫
尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系 内，对于任
意两点 、 ，定义它们之间的“欧几里得距离” ，“曼哈顿距
离”为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 为线段 上任意一点，则 为定值
B．对于平面上任意一点 ，若 ，则动点 的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点 、 、 ，都有
D．若 、 为椭圆 上的两个动点，则 最大值为
8．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为 ，短轴长为 ，两个焦点为 ，点 为椭圆上一点，
记 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的周长与点 的位置无关
B．当 时， 的面积取到最大值
C． 的外接圆半径最小为
D． 的内切圆半径最大为
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.若 是直
角三角形，则 的面积为（ ）A． B． C．4 D．2
三、填空题
10．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆 的左焦点为F，A为C上一
点，AF与x轴垂直．若 的面积为 ，则C的离心率为__________．
11．（2022·湖南衡阳·二模）已知椭圆 与双曲线 有相
同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的
交点，且 ，则 的取值范围是___________.
12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）椭圆 ： 的左、下顶点分别为 ， ，右焦
点为 ， 中点为 ， 为坐标原点， 交 于点 ，且 ， ， 三点共线，则 的离心率为
____________．
13．（2022·江苏·海安高级中学二模）如图，F，F 是平面上两点，|FF|＝10，图中的一系列圆是圆心分
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别为F，F 的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．
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请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F，F 为焦点；
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②恰经过A，B，C中的两点．
14．（2022·天津市第四中学模拟预测）设椭圆 的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B， 是等边三角形.
（1）椭圆的离心率为___________；
（2）设直线 ： ，过点 且斜率为 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），线段 的垂直
平分线与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，若 .
（i） ___________；
（ii）已知点 ，点 在椭圆上，若四边形 为平行四边形，则椭圆的方程___________.
15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知曲线 的焦距为8，则 ___________.
四、解答题
16．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 .已知椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设 为椭圆 上异于点 的两动点，若直线 的斜率之积为 .
①证明直线 恒过定点，并求出该点坐标；
②求 面积的最大值.
17．（2022·广东韶关·二模）已知P是离心率为 的椭圆 上任意一点，且P到
两个焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明
理由．
18．（2022·河北唐山·二模）已知椭圆 的右焦点为F，椭圆 ．
(1)求 的离心率；
(2)如图：直线 交椭圆 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： ；
②若 ，求 面积的最大值．
19．（2022·广东·二模）已知椭圆C： ，点 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不
为0的直线 交椭圆于M，N两点，当 与x轴垂直时， ．
(1)求椭圆C的标准方程．(2) ， 分别为椭圆的左、右顶点，直线 ， 分别与直线 ： 交于P，Q两点，证明：四边形
为菱形．
