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专题08 算术平方根的整数部分与小数部分
【例题讲解】
阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数
部分我们不可能全部写出来，而 ，于是可以用 来表示 的小数部分．请解答下列
问题：
(1) 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
【详解】（1）解： ， ，
的整数部分为 ，小数部分为 ，故答案为： ， ；
（2）解： ， ，
的小数部分 ，
， ， ，
的整数部分为 ， ．
【综合解答】
1．下列整数中，与 最接近的是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【详解】
解：∵52＝25，62＝36，
∴5＜ ＜6，
∵25与30的距离小于36与30的距离，∴与 最接近的是5．
故选B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟知两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关键．
2．估算 的结果在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定 ，再根据不等式的性质得到 即可得到答案．
【详解】
∵16<19<25，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
此题考查算术平方根的取值范围，不等式的性质，正确掌握算术平方根的取值范围的计算方法是
解题的关键．
3．已知 是整数，当 取最小值时， 的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义，找到与 最接近的整数，可得结论．
【详解】
解：∵ ，∴ ，
且与 最接近的整数是5，∴当 取最小值时， 的值是5，
故选A．【点睛】
本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
4．若2＜ ＜3，则a的值可以是（ ）
A．﹣7 B． C． D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项．
【详解】
解：∵2＜ ＜3，
∴4＜a-2＜9，
∴6＜a＜11．
又a-2≥0，即a≥2．
∴a的取值范围是6＜a＜11．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选C．
【点睛】
考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法．
5．比值为 的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗
宽与长之比接近这个比例，估计 介于 （ ）
A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间
【答案】C
【解析】
【分析】
先估算 的范围，进一步估算 即可求解．
【详解】
∵2.22=4.84,2.32=5.29∴2.2＜ ＜2.3
∵ =0.6， =0.65
∴0.6＜ ＜0.65
∴ 介于0.6与0.7之间
故选C．
【点睛】
此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的大小．
6．写出一个比 大且比 小的整数________．
【答案】2##3##4
【解析】
【分析】
利用估算无理数大小的逼近方法，求出 和 的范围，即可求解．
【详解】
解： ，
，
，
，
∴比 大且比 小的整数为：2或3或4．
故答案为：2或3或4（写其一即可）．
【点睛】
本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键．
7．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ．
【答案】【答题空1】3【答题空2】
【解析】
【详解】
∵9＜10＜16
∴3＜ ＜4，
∴a=3，b= -3，
故答案为3， ﹣3．
8．已知 、 为两个连续整数，且 ，则 ___．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据 ，可得：a，b的值，进而即可求解．
【详解】
，
又∵ 、 为两个连续整数， ，
，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．
9．已知 ，若 是整数，则a＝_____．
【答案】2或﹣2或﹣1
【解析】
【分析】
利用 是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤ 得到﹣7＜a＜7且a为整数，然后找出
满足条件的整数a的值即可．
【详解】
解：∵ 是整数，∴a为整数且a≥﹣2，
∵a2≤ ，
∴﹣7＜a＜7且a为整数，
∴当a＝﹣2或﹣1或2时， 是整数．
故答案为2或﹣2或﹣1．
【点睛】
本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用．
10．已知a为 的整数部分，b－1是400的算术平方根，求 的值．
【答案】6
【解析】
【详解】
解：∵a为 的整数部分， ＜ ＜ ，
∴a＝15，
∵b－1是400的算术平方根，
∴b－1＝20，
解得：b＝21，
∴ ＝ ＝6．
11．已知： 的算术平方根是3， 的立方根是 ，c是 的整数部分，求 的
值．
【答案】
【解析】
【分析】
由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算 的大小，求出c值，代入即可．
【详解】
解：∵ 的算术平方根是3，
∴ ，∴ ，
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键．
12．已知a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算术平方根是3， 的整数部分是c，求2a﹣3b+c的
平方根．
【答案】±1.
【解析】
【分析】
根据1的立方根是1，9的算术平方根是3，3＜ ＜4，分别确定a、b、c的值，再代入计算2a
﹣3b+c的值即可.
【详解】
解：∵已知a﹣4的立方根是1，∴a﹣4=1，解得a=5；
∵3a﹣b﹣2的算术平方根是3，∴3a﹣b﹣2=9，即15﹣b﹣2=9，解得b=4；
∵ 的整数部分是c，且3＜ ＜4，∴c=3；
∴2a﹣3b+c=2×5－3×4+3=10－12+3=1；
∵1的平方根是±1，
∴2a﹣3b+c的平方根±1.
【点睛】
本题考查了立方根和算术平方根的定义以及估算一个数的算术平方根的整数部分，解此题的关键
是熟练掌握立方根和算术平方根的定义，了解估算一个数的算术平方根的方法，正确求得a、b、c
的值.
13．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 的小数部分为 ．（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出 ， ， ，求
出 、 即可；
（2）求出 的值，再求出平方根即可．
【详解】
（1） 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 的小数部分为 ，
， ， ，
解得： ， ， ；
（2） ，
即 的平方根为 ．
【点睛】
此题考查平方根、立方根、算术平方根、估算无理数的大小，能求出a、b、c的值是解题的关键．
14．观察例题：∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
（1）如果 的小数部分为a， 的小数部分为b，求 的值．
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
【答案】（1）1；（2）±4
【解析】【分析】
（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可；
（2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可．
【详解】
（1）
即
，
的整数部分为1，小数部分为 ， 的小数部分是 ，
，
；
（2）
即
的整数部分为1， 的小数部分为
，
，
的平方根为： ．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键．
15．观察下边图形，每个小正方形的边长为1．（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是_______，并在数轴上准确地作出表示阴影正方形
边长的点．
（2）已知 为阴影正方形边长的小数部分， 为 的整数部分．
求：① 的值；
② 的算术平方根．
【答案】（1）13， ，图见解析；（2）① ，② ．
【解析】
【分析】
（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用
勾股定理和算术平方根的定义求出边长，最后利用勾股定理作出边长表示的无理数即可；
（2）①利用无理数估算的方法即可求得x和y；②将①中的x和y代入计算，并求算术平方根．
【详解】
解：（1）阴影部分面积 ，
边长= ，
在图中数轴上作出表示阴影正方形边长的点如图所示：
故答案为：13， ；
（2）①∵ ， ，∴ ， ，
∵x为阴影正方形边长的小数部分， 为 的整数部分，，
∴ ，
②由①得， ，
∴ ，它的算术平方根是 ．
【点睛】
本题考查实数与数轴，用勾股定理表示无理数．掌握等面积法是解决（1）的关键，(2)中需注意小
数部分=原数-整数部分．
