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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题2.5不等式（组）整数解问题专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一．选择题（共10小题）
{ 3−2x＞0
1．（2022春•前进区期末）不等式组 的非负整数解的个数是（ ）
2x−7≤4x+7
A．1个 B．0 C．2个 D．无数个
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
3
【解答】解：解不等式3﹣2x＞0，得：x＜ ，
2
解不等式2x﹣7≤4x+7，得：x≥﹣7，
3
则不等式组的解集为﹣7≤x＜ ，
2
∴不等式组的非负整数解有0、1这2个，
故选：C．
2．（2022春•兴化市月考）已知x＝3不是关于x的不等式3x﹣m＞2的整数解，x＝4是关于x的不等式3x
﹣m＞2的一个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．7＜m＜10 B．7≤m＜10 C．7＜m≤10 D．7≤m≤10
【分析】先解出不等式3x﹣m＞2的解集，然后根据x＝3不是关于x的不等式3x﹣m＞2的整数解，x＝
4是关于x的不等式3x﹣m＞2的一个整数解，即可得到m的取值范围．
m+2
【解答】解：由式3x﹣m＞2，得：x＞ ，
3
∵x＝3不是关于x的不等式3x﹣m＞2的整数解，
m+2
∴ ≥3，
3
解得m≥7，
∵x＝4是关于x的不等式3x﹣m＞2的一个整数解，
m+2
∴ ＜4，
3
解得m＜10，
由上可得，m的取值范围是7≤m＜10，故选：B．
{2x+1＞0
3．（2021•临沂模拟）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ ）
x−5＜0
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
【解答】解：解不等式2x+1＞0，得：x＞﹣0.5，
解不等式x﹣5＜0，得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x＜5，
则不等式组的整数解有0、1、2、3、4，共5个，
故选：B．
{ x−a≥0
4．（2022春•招远市期末）已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是（
3−2x＞0
）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2＜a≤﹣1 D．a≤1
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．
{ x−a≥0①
【解答】解： ，
3−2x＞0②
解不等式①得：x≥a，
3
解不等式②得：x＜ ，
2
{ x−a≥0
∵关于x的不等式组 的整数解共有3个，
3−2x＞0
∴﹣2＜a≤﹣1，
故选：C．
{x−1
≤1
5．（2020 春•福山区期末）关于 x 的不等式组 3 恰好只有四个整数解，则 a 的取值范围是
a−x＜2
（ ）
A．a＜3 B．2＜a≤3 C．2≤a＜3 D．2＜a＜3
【分析】不等式组整理后，根据恰好只有四个整数解，确定出a的范围即可．
{ x≤4
【解答】解：不等式组整理得： ，
x＞a−2∵不等式组恰好只有四个整数解，
∴a﹣2＜x≤4，即整数解为1，2，3，4，
∴0≤a﹣2＜1，
解得：2≤a＜3．
故选：C．
6．（2022秋•下城区校级月考）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是
（ ）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2＜m≤﹣1
【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有 3个正整数解，即可得到一
个关于m的不等式组求得m的范围．
【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，
根据题意得：3＜2﹣m≤4，
解得：﹣2≤m＜﹣1．
故选：C．
7．（2021秋•苏州期末）已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣
m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2
m+4
【分析】由2x﹣m＞4得x＞ ，根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解且x＝3是关于x的不等式
2
m+4 m+4
2x﹣m＞4的一个整数解得出 ≥2、 ＜3，解之即可得出答案．
2 2
m+4
【解答】解：由2x﹣m＞4得x＞ ，
2
∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，
m+4
∴ ≥2，
2
解得m≥0；
∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，
m+4
∴ ＜3，
2
解得m＜2，
∴m的取值范围为0≤m＜2，故选：B．
8．（2022•泰安一模）若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤12 B．8＜m＜12 C．8≤m≤12 D．8≤m＜12
【分析】先解关于x的不等式，再根据不等式有三个正整数解可得关于m的不等式组，解不等式组即可
得．
m
【解答】解：解不等式4x+m≥0得：x≥− ，
4
∵关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，一定是﹣1和﹣2，
m
根据题意得：﹣3＜− ≤−2，
4
解得：8≤m＜12．
故选D．
{5x+1＞3(x−1)
9．（2022•云南模拟）若关于x的不等式组 恰好有2个整数解，则a的取值范围是（
x 5x
≤6− +a
2 2
）
A．﹣15≤a＜﹣12 B．﹣12＜a≤﹣9 C．﹣9＜a≤﹣6 D．﹣6≤a＜﹣3
{5x+1＞3(x−1)
【分析】先求出不等式组 中每个不等式的解集，再根据关于 x 的不等式组
x 5x
≤6− +a
2 2
{5x+1＞3(x−1)
恰好有2个整数解，即可得到关于a的不等式组，然后求解即可．
x 5x
≤6− +a
2 2
{5x+1＞3(x−1) ①
【解答】解： ，
x 5x
≤6− +a ②
2 2
解不等式①，得：x＞﹣2，
6+a
解不等式②，得：x≤ ，
3{5x+1＞3(x−1)
∵关于x的不等式组 恰好有2个整数解，
x 5x
≤6− +a
2 2
6+a
∴0≤ ＜1，
3
解得﹣6≤a＜﹣3，
故选：D．
10．（2021春•无锡期末）已知关于x、y的方程ax﹣3y＝4，给出以下结论：①将方程化为y＝kx+m的形
4 {x=−2
式，则m= ；②若 是方程ax﹣3y＝4的解，则a＝﹣8；③当a＝5时，方程满足﹣10≤x≤10
3 y=4
的整数解有 7个；④当a＝﹣2且﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣2＜y≤0．其中正确的结论是
（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
{x=−2
【分析】①将方程ax﹣3y＝4化为y＝kx+m的形式即可判断；②将 代入ax﹣3y＝4，求得a的
y=4
值即可判断；③求得整数解即可判断；④把x＝﹣2代入得，y＝0，把x＝1代入得，y＝﹣2，即可得
到当﹣2＜x≤1时，﹣2≤y＜0，即可判断．
a 4
【解答】解：①将方程ax﹣3y＝4化为y＝kx+m的形式，得到y= x− ，
3 3
4
∴m=− ，故错误；
3
{x=−2
②将 代入ax﹣3y＝4得，﹣2a﹣12＝4，
y=4
∴a＝﹣8，故正确；
③当a＝5时，方程为5x﹣3y＝4，
5x−4
∴y= ，
3
∵﹣10≤x≤10，
{x=−10 { x=−7 {x=−4 {x=−1 {x=2 {x=5 {x=8
∴方程的整数解有 或 或 或 或 或 或 ，共7个，故
y=−18 y=−13 y=−8 y=−3 y=2 y=7 y=12
正确；
④当a＝﹣2，方程为﹣2x﹣3y＝4，2 4
∴y=− x− ，
3 3
把x＝﹣2代入得，y＝0，
把x＝1代入得，y＝﹣2，
∴当﹣2＜x≤1时，﹣2≤y＜0，故错误；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2022•黄冈二模）不等式2x﹣3＞3x﹣7的正整数解是 1 ， 2 ， 3 ．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．
【解答】解：2x﹣3＞3x﹣7，
2x﹣3x＞﹣7+3，
﹣x＞﹣4，
x＜4，
故不等式2x﹣3＞3x﹣7的正整数解是1，2，3．
故答案为：1，2，3．
12．（2022春•新罗区校级月考）不等式x＞m有三个负整数解，求m的取值范围 ﹣ 4 ≤ m ＜﹣ 3 ．
【分析】根据不等式的负整数解只有三个，即可得到关于m的不等式组，即可求得m的范围．
【解答】解：∵不等式x＞m有三个负整数解，
∴﹣4≤m＜﹣3．
即m的范围是﹣4≤m＜﹣3．
故答案为：﹣4≤m＜﹣3
13．（2022•武功县模拟）若关于x的不等式2x﹣a≤1有2个正整数解，则a的取值范围为 3 ≤ a ＜ 5
．
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据不等式2x﹣a≤1只有2个正整数解即可得到一个关于a的不
等式组，从而求解．
a+1
【解答】解：解不等式2x﹣a≤1得：x≤ ，
2
a+1
根据题意得：2≤ ＜3，
2
解得：3≤a＜5．
故答案为3≤a＜5．{3x≤4x+1
14．（2022春•高青县期末）若关于x的不等式组 ，恰有2个整数解，则a的取值范围为 0
x−a＜0
＜ a ≤ 1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．
【解答】解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，
∵不等式组的整数解有2个，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
{3x−2＜1，
15．（2022春•如东县期中）若关于x的一元一次不等式组 恰有两个整数解，则m的取值范
m−x＜1
围是 ﹣ 1 ≤ m ＜ 0 ．
【分析】不等式组整理后表示出解集，根据不等式组恰有两个整数解，确定出m的范围即可．
{ x＜1
【解答】解：不等式组整理得： ，
x＞m−1
解得：m﹣1＜x＜1，
∵不等式组恰有两个整数解，即﹣1，0，
∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，
解得：﹣1≤m＜0．
故答案为：﹣1≤m＜0．
16．（2022春•南充期末）我们知道1≤√3＜2，那么√3的整数部分就是1．如果a为√17的整数部分，且
关于x的不等式ax+m＞1只有2个负整数解，则实数m的取值范围是 9 ＜ m ≤ 1 3 ．
【分析】因为4＜√17＜5，所以a＝4，将a＝4代入不等式中得4x+m＞1，解出解集，根据只有两个
负整数解得出m的范围即可．
【解答】解：∵4＜√17＜5，
∴a＝4，
将a＝4代入不等式中，得4x+m＞1，
1−m
解得x＞ ，
4
∵关于x的不等式ax+m＞1只有2个负整数解，1−m
∴﹣3≤ ＜−2，
4
解得9＜m≤13．
故答案为：9＜m≤13．
三．解答题（共8小题）
{x+1≤2x+3
17．（2021秋•工业园区期末）解不等式组： 3x−4 ，并求出它的所有整数解的和．
＜x
2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
{x+1≤2x+3①
【解答】解： 3x−4 ，
＜x②
2
解不等式①，得：x≥﹣2，
解不等式②，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜4，
所以不等式组所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2+3＝3．
{x−3(x−2)≥4
18．（2022•江都区一模）解不等式组： ，并写出该不等式组的非负整数解．
2x−1
＜x+1
3
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的非负整数解．
{x−3(x−2)≥4①
【解答】解： ，
2x−1
＜x+1②
3
由①得x≤1，
由②得x＞﹣4，
不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
则它的非负整数解为0，1．
{
3x+6≥5(x−2)
19．（2022•南陵县模拟）解不等式组： ，并求出最小整数解与最大整数解的和．
x−5 4x−3
− ＜1
2 3
【分析】根据一元一次不等式组即的解法即可求出答案．{
3x+6≥5(x−2)①
【解答】解： ，
x−5 4x−3
− ＜1②
2 3
由①得：x≤8，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤8，
∴x的最小整数为﹣2，最大整数为8，
∴x的最小整数解与最大整数解的和为6．
20．（2020春•淮阳区期末）已知a、b是整数，关于x的不等式x+2b＞a的最小整数解是8，关于x的不等
式x﹣3b+19＜2a的最大整数解为8．
（1）求a、b的值．
（2）若|m﹣b|＝m﹣b，|m﹣a|＞a﹣m，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件得到a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得不等式组于是得到结论．
【解答】解：（1）∵为a、b是整数，
∴a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，
由x+2b＞a解得：x＞a﹣2b，
由x﹣3b+19＜2a解得：x＜2a+3b﹣19，
{ a−2b+1=8
于是，由题意可得： ，
2a+3b−19−1=8
{a=11
解得： ；
b=2
{m−b≥0
（2）由题意得： ，
a−m＜0
{ m−2≥0
即： ，
11−m＜0
{ m≥2
解得： ，
m＞11
∴m的取值范围是：m＞11．
{4(2x−1)+2＞7x，
21．（2021春•海阳市期末）已知关于x的不等式组 ；
6x−a
x＜ +1
7（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于 a
的不等式组，从而求解；
（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在 x≥5的范围内，得出关于a的不等式组，从
而求解．
{4(2x−1)+2＞7x①
【解答】解：（1） ，
6x−a
x＜ +1②
7
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x＜7﹣a，
∴不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
又∵不等式组有且只有三个整数解，
∴5＜7﹣a≤6，
解得：1≤a＜2；
（2）由（1）可得，不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
∵不等式组有解，
∴7﹣a＞2，
解得：a＜5，
又∵它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，
∴7﹣a≤5，
解得：a≥2，
∴a的取值范围2≤a＜5．
{ 3x−2≥−5
22．（2021春•珠晖区校级期末）已知关于x的不等式组 ．
5(x−2)+12＜6(x−1)+7
（1）将不等式组的解集表示在数轴上，并求出x的最小整数解；
1
（2）若x的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，求4a− 的值．
a
【分析】（1）首先分别解不等式组中的每一个不等式，然后利用数轴得到不等式组的解集，即可求出
最小整数解；
1
（2）根据x的最小值，求得a的值，然后把a的值代入4a− 求得结果即可．
a{ 3x−2≥−5①
【解答】解： ，
5(x−2)+12＜6(x−1)+7②
由①得x≥﹣1，
由②得x＞1，
∴不等式组的解集为x＞1，
在数轴上表示为：
x的最小整数解为x＝2；
1
（2）将x＝2代入2x﹣ax＝3，求得：a= ，
2
1
则4a− =2−2=0．
a
23．（2020春•开福区校级期中）（1）已知x＝a+2，若x＜8，求a的取值范围；
（2）已知不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围；
{ x−a≤2
（3）已知不等式组 的解集中，任何x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的整数解．
x−a＞−1
【分析】（1）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（2）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（3）表示出不等式组中两不等式的解集，根据任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵x＝a+2，
∴若x＜8，则a+2＜8，
解得a＜6；
（2）由x﹣a≤2可知，x≤a+2，
∵不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，
∴a+2＜8，
解得a＜6；
{ x≤a+2
（3）不等式变形得： ，
x＞a−1
由任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，
{a+2＜8
得到 ，
a−1≥2
解得：3≤a＜6，∴a的整数解为3，4，5．
{
2x+1＜x+6
24．（1）解不等式组 1−2x 1−5x 2在如图所示的数轴上表示解集并列举出非正整数解；
− ≤
2 6 3
x+m 2x−1
（2）已知关于x的方程 − =m的解是非正数，求m的取值范围；
3 2
（3）已知x、y满足2x﹣3y＝4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k＝x﹣y，求k的取值范围．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表
示在数轴上，进而求出非正整数解即可；
（2）先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
2x−4 2x−4
（3）先把2x﹣3y＝4变形得到y= ，由y＜2得到 ＜2，解得x＜5，所以x的取值范围为
3 3
1 4
﹣1≤x＜5，再用x变形k得到k= x+ ，然后利用一次函数的性质确定k的范围．
3 3
{
2x+1＜x+6①
【解答】解：（1） 1−2x 1−5x 2 ，
− ≤ ②
2 6 3
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜5，
∴不等式组的非正整数解为﹣2、﹣1、0．
（2）去分母得：2（x+m）﹣3（2x﹣1）＝6m，
2x+2m﹣6x+3＝6m，
﹣4x＝4m﹣3，
3−4m
x= ，
4x+m 2x−1
∵关于x的方程 − =m的解是非正数，
3 2
3−4m
∴ ≤0，
4
3
解得：m≥ ，
4
3
所以m的取值范围是m≥ ．
4
（3）∵2x﹣3y＝4，
1
∴y= （2x﹣4），
3
∵y＜2，
1
∴ （2x﹣4）＜2，解得x＜5，
3
又∵x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜5，
1 1 4
∵k＝x− （2x﹣4）= x+ ，
3 3 3
1 4
当x＝﹣1时，k= ×(−1)+ =1，
3 3
1 4
当x＝5时，k= ×5+ =3，
3 3
∴1≤k＜3．
