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2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼
专题15 分式方程问题
一、选择题
1. （2023湖南株洲）将关于x的分式方程 去分母可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程两边都乘以 ，从而可得答案．
∵ ，
去分母得： ，
整理得： ，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
2. （2023大连）将方程 去分母，两边同乘 后的式子为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
，
两边同乘 去分母，得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．3.（2023龙东） 已知关于x的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】解分式方程求出 ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解
即可．
分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是非负数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m 的不等式组是解题的关键．
4.下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
A.＝ B.＝ C.＋1＝ D.＝1－
【答案】D
【解析】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须
是表示未知数的字母)．
A中方程分母不含未知数，故不是分式方程；
B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；
C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；
D中方程分母含未知数x，故是分式方程．故选D。
5．若分式方程 有增根，则a的值是( )
A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4【答案】A
【解析】方程两边同时乘以x-3得，1+x-3=a-x，
∵方程有增根，
∴x-3=0，解得x=3．
∴1+3-3=a-3，解得a=4．
6. （2023甘肃兰州）方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解．
去分母得： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
7. 关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为
，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 20
【答案】A
【解析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个
范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：
解得：
又题意得： 且
∴ 且 ，
由 得：由 得：
∵解集为
∴
解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13, 故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
8. 方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，故选：C．
【点睛】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增
根．
9. 已知关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且 ，即可求解．
方程两边同时乘以 ，得 ，
解得 ，
关于x的分式方程 的解是正数，
，且 ，
即 且 ，
且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关
键．
m 3
10．关于x的分式方程 − =1有增根，则m的值（ ）
x−2 2−x
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3
11．关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：
﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
12．已知关于x的分式方程 的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B【解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可
解题．
去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x= ，
∵分式方程的解为非负数，∴ ≥0且 ≠1，解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B．
13.已知关于x的分式方程 ，（k是常数），对x的要求是（ ）
A．x≠2且x≠-3 B．x=2且x≠-3 C．x≠2且x=-3 D．x=2且x=-3
【答案】A
【解析】方程中，分式分母为0，分式无意义。x=2时分式无意义，x=-3分式无意义。所以要使分式方程
有意义，x≠2且x≠-3。
14．若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
，
去分母得： ，
∵关于x的分式方程 有增根，增根为：x=2，
∴ ，即：m=2．
15．已知关于x的分式方程 ＝1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m＞﹣4且m≠﹣3
【答案】B【解析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于 0，综合得出m的取值范
围．根据题意解分式方程 ，得x═ ，
∵2x﹣1≠0，
∴x≠ ，即 ≠ ，解得m≠﹣3，
∵x≥0，
∴ ≥0，解得m≥﹣4，
综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3．
16. （2023深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75
吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方
程．
设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输 吨，
则 ．
故选B
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
17.（2023黑龙江绥化） 某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的 ．在甲车运送1天货
物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物 天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多
少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．
设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
18. （2023湖北十堰）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已
知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5
个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为 元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800
元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【详解】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为 元，
由题意可得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
19. （2023湖北随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修
12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队
每个月修x千米，则可列出方程为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，根据“最终用的时间比
甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，
依题意得 ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
20. （2023湖南郴州） 小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为 km/h，实际平均速
度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设原计划平均速度为 km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方
程即可．
设原计划平均速度为 km/h，由题意，得：
，即： ；
故选B
【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．
21.（2023湖南张家界） 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代
水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株
脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为 文．如果每株椽
的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 文能买多少株
椽？设 元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）．A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设 元购买椽的数量为x株，根据单价 总价 数量，求出一株椽的价钱为 ，再根据少
拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【详解】设 元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为 ，
由题意得： ，
故选C．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
22. （2023辽宁本溪）某校八年级学生去距离学校 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发
后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的 倍，求慢车的速
度，设慢车的速度是 ，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
设慢车的速度是 ，则快车的速度为 ，
依题意得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
23. （2023四川广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速
度提高 ，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x
千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为 千米/小时，根
据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】由题意可得走路线b时的平均速度为 千米/小时，
∴ ，
故选：A．
【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24. （2023四川内江）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入
一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比
乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得
方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入 个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出
分式方程即可．
【详解】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入 个数据，由题意得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.（2023山东东营） 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设
了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购
进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第
一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程．
设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为 千克，根据题意，得
故选：A
【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键．
二、填空题
1. （2023湖南邵阳）分式方程 的解是_____．
【答案】
【解析】根据解分式方程的步骤计算即可．
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．
2. （2023湖南永州）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是_______．【答案】
【解析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3.（2023江苏苏州） 分式方程 的解为 ________________．
【答案】
【解析】方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程验根即可求解．
方程两边同时乘以 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
4. （2023内蒙古赤峰）方程 的解为___________．
【答案】
【解析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出 的值．
，
方程两边同时乘以 得， ，
，
，，
或 ．
经检验 时， ，故舍去．
原方程的解为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
5. （2023浙江台州）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比
第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
【答案】3
【解析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检
验．
设第一组有x人，则第二组有 人，根据题意，得
去分母，得
解得，
经检验， 是原方程的根．
故答案为：3
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．
6. （2023浙江绍兴）方程 的解是________．
【答案】
【解析】先去分母，左右两边同时乘以 ，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行
检验即可．
【详解】去分母，得： ，
化系数为1，得： ．
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分
母，注意解分式方程要进行检验．
7.方程 的解为 ．
【答案】x=5
【解析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，
再进行检验即可得解．
解：
方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0. 故原方程的解为：
x=5
【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，
8.下列方程中是分式方程的个数为 个。
（1） （2）
（3） （4） （a为字母系数）
【答案】1
【解析】分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中（3）是分式方
程，其他的均不符合分式方程的定义。
9．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母
，得到 ，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
方程两边都乘 ，得
∵原方程有增根，∴最简公分母 ，解得 ，
当 时， 故m的值是1，故答案为1x+2 a
10．若数 a使关于 x的分式方程 + =3 的解为非负数，且使关于 y的不等式组
x−1 1−x
{y−3 y+1 13
− ?−
4 3 12的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为 ．
2(y−a)?0
【答案】40．
【解析】去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），
5−a
解得：x= ，
2
∵分式方程的解为非负数，
5−a 5−a
∴ ?0，且 ?1，
2 2
解得a≤5且a≠3，
y−3 y+1 13
解不等式 − ?− ，得：y≤0，
4 3 12
解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，
∵不等式组的解集为y≤0，
∴a＞0，
∴0＜a≤5，
则整数a的值为1、2、4、5，
∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，
11. 方程 的解为 ．
【答案】
【解析】根据方程两边同时乘以 ，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
方程两边同时乘以 ，
解得经检验， 是原方程的解
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．
12．若关于x的分式方程2﹣ ＝ 的解是正数，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜4且k≠0．
【解析】解分式方程，然后根据分式方程解的情况确定k的取值范围．
原方程去分母，得：2（x﹣2）﹣（1﹣k）＝﹣1，
解得：x＝ ，
∵分式方程的解为正数，且x≠2，
∴ ，且 ，
解得：k＜4且k≠0．
13.若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 .
【答案】3
【解析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分
式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题
1. （2023江苏连云港）解方程： ．
【答案】
【解析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解，∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
2. 解方程： ．
【答案】x＝﹣1
【解析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．
3．当k为何值时，分式方程 有增根？
【答案】当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．
【解析】分式方程两边乘以x（x﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x（x﹣1）=0，求出
x=0或1，将x=0或1代入整式方程即可求出k的值．
试题解析：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x=x+2k﹣5（x﹣1），
又∵分式方程有增根，
∴x（x﹣1）=0，
解得：x=0或1，
当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），
解得：k=2.5，
当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），
解得：k=﹣2.5，
则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．
4. 若关于x的方程 无解，求a的值．
【答案】 ， 或 ．【解析】原方程化为 ，①
∵原方程无解，∴ 或 ， ，
得 ， 分别代入①，得 ， ，
综上知 ， 或 ．
5．解关于x的方程 ﹣ = 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【答案】﹣5或﹣
【解析】试题分析：根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方
程，根据解方程，可得答案．
试题解析：方程去分母后得：（k+2）x=-3，分以下两种情况：
令x=1，k+2=-3，
∴k=-5
令x=-2，-2（k+2）=-3，
∴k=- ，
综上所述，k的值为-5，或- ．
6.（2023广东省） 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 ，甲、乙两同学骑自行车同时
从学校出发，甲的速度是乙的 倍，结果甲比乙早到 ，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【解析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千米/分钟，根据时间
=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结
论．
【详解】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千米/分钟，
根据题意得： ，
解得： ．经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
7.（2023贵州省） 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速
度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，设更新设备前每天生产x件产品．解
答下列问题：
（1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件
产品．
【答案】（1） （2）125件
【解析】【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了 ”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【详解】（1） 更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，
更新设备后每天生产产品数量为： （件），
故答案为： ；
（2）解：由题意知： ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【点睛】本题考查分式方程 的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
8. （2023湖南常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元
购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价
的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使
总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个（2）最多可购进A型玩具25个
【解析】【分析】（1）设 型玩具的单价为 元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）设 型玩具的单价为 元/件．
由题意得： ，
解得：
经检验， 是原方程的解
B型玩具的单价为 元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）设购进A型玩具 个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点睛】考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式．
9. （2023江苏扬州）甲、乙两名学生到离校 的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同
学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发 后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同
学骑自行车的速度．
【答案】
【解析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关
系列方程即可．
【详解】设甲同学步行的速度为 ，则乙同学骑自行车速度为 ，
，由题意得，
，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，也符合实际．
，答：乙同学骑自行车的速度为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．
10. （2023湖南岳阳）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已
知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖面积相同，
平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量 ．
【解析】【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，根据去年
与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量 ．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
11. （2023江苏徐州）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改
善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为
，甲路线的平均速度为乙路线的 倍，甲路线的行驶时间比乙路线少 ，求甲路线的行驶时
间．【答案】甲路线的行驶时间为 ．
【解析】设甲路线的行驶时间为 ，则乙路线的行驶事件为 ，根据“甲路线的平均速度
为乙路线的 倍”列分式方程求解即可．
【详解】甲路线的行驶时间为 ，则乙路线的行驶事件为 ，由题意可得，
，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴甲路线的行驶时间为 ，
答：甲路线的行驶时间为 ．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程．
12. （2023长春）随着中国网民规模突破 亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字
敦煌文化大使 伽瑶 ，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作 个 伽瑶 玩偶摆件，为
了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 倍，结果提前 天完成任务．问原计划平均每
天制作多少个摆件？【答案】原计划平均每天制作 个摆件．
【解析】设原计划平均每天制作 个，根据题意列出方程，解方程即可求解．
设原计划平均每天制作 个，根据题意得，
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作 个摆件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13. （2023内蒙古通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机
器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满
足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【解析】【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，根据题意列
出分式方程，解方程、检验后即可解答；
（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台，再题意列出一元一次不等式组，解不等
式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一
次函数的增减性求最值即可．【详解】
（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运 吨，
由题意可得： ，
解得：
经检验， 是分式方程 的解
每台A型机器每天搬运 吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器 台
由题意可得： ，
解得： ，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当 时，公司采购金额w有最小值，即 ，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列
出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键．
14. （2023山东济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．
已知A型充电桩比B型充电桩的单价少 万元，且用 万元购买A型充电桩与用 万元购买B型充电桩
的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买 个A，B型充电桩，购买总费用不超过 万元，且B型充电桩的购买数量不
少于A型充电桩购买数量的 ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】（1）A型充电桩的单价为 万元，B型充电桩的单价为 万元（2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个；方案二：购买A型充电桩
个，购买B型充电桩 个；方案三：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个；方案三总费用最少．
【解析】【分析】（1）根据“用 万元购买A型充电桩与用 万元购买B型充电桩的数量相等”列分式
方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过 万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 ”列不
等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为 万元，则A型充电桩的单价为 万元，由题意可得：
,
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为 万元，B型充电桩的单价为 万元
（2）解：设购买A型充电桩 个，则购买B型充电桩 个，由题意可得：
，解得 ，
∵ 须为非负整数，
∴ 可取 ， ， ，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为 （万元）；
方案二：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为 （万元）；
方案三：购买A型充电桩 个，购买B型充电桩 个，购买费用为 （万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式
方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
15. （2023山东烟台）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的
，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》
数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图
书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316
元．
【解析】【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 元，根据“用600元购买
《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m
的取值范围结合函数解析式解答即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 元，
依题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为 本，
依题意得， ，解得 ，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得， ，
∵ ，
∴y随m的增大而增大，
∴当 时，有最小值，此时 （元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316
元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据
题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
