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专题 01 有理数的分类、数轴、相反数及绝对值（知识大串
讲）
【知识点梳理】
考点1 正数和负数
1. 概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
考点2 有理数
1. 概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整
数和零统称为非正整数。
2.分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
考点3 数轴
1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）
考点4 相反数
1.概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）
几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，
若a＋b=0，则a与b互为相反数。
两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
3.多重符号的化简
多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负
号）
考点5 绝对值
1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）
2.代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
3.代数符号意义：
a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0
a = 0， |a|=0
a＜0， |a|=‐a
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个
非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0
1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
6.比较大小
2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。【典例分析】
【考点1 正数和负数】
【典例1】（2022春•崇明区校级期中）如果规定收入为正，支出为负，收入 3元记作3元，
那么支出8元记作（ ）
A．5元 B．﹣11元 C．11元 D．﹣8元
【答案】D
【解答】解：∵收入为正，支出为负，收入3元记作3元，
∴支出8元记作﹣8元，
故选：D．
【变式1-1】（2022春•信都区期中）如果支出30元记作﹣30元，那么收入100元记作（
）
A．100元 B．70元 C．﹣100元 D．﹣130元
【答案】A
【解答】解：如果支出30元记作﹣30元，那么收入100元记作100元．
故选：A．
【变式1-2】（2022春•龙凤区期中）在体育课的立定跳远测试中，以 2.00m为标准，若小
明跳出了2.35m，可记作+0.35m，则小亮跳出了1.85m，应记作（ ）
A．+0.15m B．﹣0.15m C．+0.35m D．﹣0.35m
【答案】B
【解答】解：1.85﹣2.00＝﹣0.15（米），
故小亮跳出了1.85m，应记作﹣0.15m．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•开封期末）如图，检测排球的质量，其中质量超过标准的克数记为
正数，不足的克数记为负数，下面已检测的四个排球中其中质量最接近标准的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：排球质量接近标准代表与标准质量相差越小即绝对值越小，其中﹣
0.6，+0.7，﹣2.5，﹣3.5最小的绝对值为﹣0.6．
故选：A．
【考点2 有理数】
【典例2】（2021秋•让胡路区校级期末）把下列各数填入相应的集合中：
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8， ，﹣ ，9%， ，﹣0.2020020002…（每相邻两个2
之间0的个数逐次加1）． π
正分数集合：{ …}；
正整数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
【解答】解：正分数集合：{0.75， ，9%…}；
正整数集合：{+6，+8…}；
整数集合：{+6，﹣3，0，+8…}；
有理数集合：{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8， ，﹣ ，9%…}．
故答案为：0.75， ，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，0.75，﹣3，0，﹣
1.2，+8， ，﹣ ，9%．
【变式2-1】（2021秋•台江区校级期末）在一组数 3.14，0，﹣（﹣3），﹣ ， ，
3.2121121112…，﹣5中，非负整数有（ ）个． πA．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：在实数3.14，0，﹣（﹣3），﹣ ， ，3.2121121112…，﹣5中，非负
整数有0，﹣（﹣3），共2个． π
故选：B．
【变式2-2】（2022春•乐平市期中）在四个负数：﹣3，﹣1，﹣4，﹣6中，最小的是（
）
A．﹣1 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：负数比较大小，绝对值大的反而小，
∵|﹣6|＞|﹣4|＞|﹣3|＞|﹣1|，
∴﹣1＞﹣3＞﹣4＞﹣6，
∴最小的负数是﹣6．
故选：B．
【考点3 数轴】
【典例3】（2021秋•唐县期末）如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：A、刻度不均匀，故错误；
B、正确；
C、数据顺序不对，故错误；
D、没有正方向，故错误．
故选：B．
【变式3】（2022春•南岗区校级期中）一名同学画了四条数轴，只有一个正确，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵选项A该数轴没有单位长度，选项B中单位长度1，2，3顺序颠倒，选
项D中1，﹣1位置颠倒∴
选项A、B、D不符合题意，
故选：C．
【典例4】（2021秋•鹿邑县期末）在数轴上，到表示﹣6的点的距离等于6个单位长度的
点表示的数是（ ）
A．12 B．﹣12 C．0或﹣12 D．﹣12或12
【答案】C
【解答】解：这个点所表示的数为x，则，
|x+6|＝6，
解得x＝0或x＝﹣12，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•天津期末）在数轴上，A，B两点之间的距离是5，若点A表示的数
是2，则点B表示的数是 ．
【答案】 ﹣ 3 或 7
【解答】解：若点B在点A的左边，则点B表示的数是2﹣5＝﹣3；
若点B在点A的右边，则点B表示的数是2+5＝7；
故答案为﹣3或7．
【变式4-2】（2021秋•绵竹市期末）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7
个单位长度得到点B．则点B表示的数是（ ）
A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
【答案】D
【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
故选：D．【典例5】（2022春•郧阳区期中）如图所示，直径为单位1的圆从表示﹣1的点沿着数轴
无滑动的向右滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ．
【答案】 ﹣1
【解答】 π解 ： 由直径为单位1的圆从数轴上表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一
周到达A点，
得：A点与﹣1之间的距离是 ．
由两点间的距离是大数减小数π，
得：A点表示的数是 ﹣1，
故答案为： ﹣1． π
【变式5-1】（π2022春•长丰县期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数
轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动 1周，点A到达A′的位置，则点A′表
示的数是（ ）
A． ﹣1 B．﹣ +1 C．﹣ ﹣1 D． ﹣1或﹣ ﹣1
【答π案】B π π π π
【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长＝ ，
∴当圆向左滚动π时点A′表示的数是﹣ +1；
故选：B π
【变式5-2】（2022春•洛阳期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴
上表示﹣1的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是
（ ）
A． ﹣1 B．﹣ ﹣1 C．﹣ +1 D． ﹣1或﹣ ﹣1
π π π π π【答案】D
【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴该圆的周长为 ，
∴当圆沿数轴向左π滚动1周时，点A′表示的数是﹣ ﹣1；
将圆沿数轴向右滚动1周时，点A′表示的数是 ﹣1π．
故选：D． π
【考点4 相反数】
【典例6】（2022春•南岗区校级期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（﹣2）和2 B．4和﹣（+4） C． 和﹣3 D．5和|﹣5|
【答案】B
【解答】解：﹣（﹣2）＝2，A不符合题意；
4与﹣（+4）互为相反数，B符合题意；
和﹣3不互为相反数，C不符合题意；
5＝|﹣5|，不互为相反数，D不符合题意．
故选：B．
【变式6-1】（2022春•宁远县期中） 的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【答案】C
【解答】解： 的相反数是 ．
故选：C．
【变式6-2】（2020秋•肃州区期末）﹣（+2）的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【答案】A
【解答】解：﹣（+2）＝﹣2，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【变式6-3】（2022•鼓楼区校级二模） ﹣1的相反数是 ．
【答案】 1 ﹣ π
π【解答】解：﹣（ ﹣1）＝1﹣ ，
故答案为：1﹣ ．π π
【典例7】（2021π秋•闽侯县期中）当x＝ 时，1﹣2x与x互为相反数．
【答案】1
【解答】解：∵1﹣2x与x互为相反数，
∴1﹣2x+x＝0，
解得x＝1．
故答案为：1．
【变式7】（2021秋•吉林期中）若a、b互为相反数，则a+（b﹣4）的值为 ．
【答案】 ﹣ 4
【解答】解：由题意得：a+b＝0．
∴a+（b﹣4）＝a+b﹣4＝0﹣4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【考点5 绝对值】
【典例8】（2022春•仓山区校级期中）|﹣2022|的值（ ）
A． B．2022 C． D．﹣2022
【答案】B
【解答】解：|2022|＝2022．
故选：B．
【变式8-1】（2022春•河源期中）若|x|＝﹣x，则x一定是（ ）
A．零 B．负数 C．非负数 D．负数或零
【答案】D
【解答】解：如果|x|＝﹣x，那么x一定是负数或0．
故选：D．
【变式8-2】（2022春•海淀区校级期中）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【答案】A
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
【典例9】（2022春•普陀区校级期中）若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a+b＝ ．【答案】 ﹣ 4
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴a+b＝2﹣6＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【变式 9-1】（2021 秋•思明区校级期末）若|x|＝5，|y|＝2 且 x＜0，y＞0，则 x+y＝
（ ）
A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5，y＝±2，
∵x＜0，y＞0，
∴x＝﹣5，y＝2，
∴x+y＝﹣3．
故选：D．
【变式9-2】（2021秋•陇县期末）已知|x|＝4，|y|＝5且x＞y，则2x﹣y的值为（ ）
A．﹣13 B．+13 C．﹣3或+13 D．+3或﹣13
【答案】C
【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝5且x＞y
∴y必小于0，y＝﹣5．
当x＝4或﹣4时，均大于y．
所以当x＝4时，y＝﹣5，代入2x﹣y＝2×4+5＝13．
当x＝﹣4时，y＝﹣5，代入2x﹣y＝2×（﹣4）+5＝﹣3．
所以2x﹣y＝﹣3或+13．
故选：C．
【典例10】（2021秋•河东区校级期末）若 ab≠0，那么 + 的取值不可能是（
）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：∵ab≠0，
∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，
+ ＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时，
+ ＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时，
+ ＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时，
+ ＝﹣1+1＝0；
综上所述， + 的值为：±2或0．
故选：C．
【变式10】（2022春•东乡区期中）如果a•b＜0，那么 ＝ ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：∵a•b＜0，
∴|a|和|b|必有一个是它本身，一个是它的相反数，|ab|是它的相反数，
∴ ＝1﹣1﹣1＝﹣1；或 ＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【典例11】（2021秋•九龙县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，b﹣a 0，c﹣a 0．
（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．
【解答】解：（1）观察数轴可知：a＜0＜b＜c，
∴b﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0．
故答案为：＜；＞；＞．
（2）∵b﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0，
∴|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|＝c﹣b+b﹣a﹣c+a＝0．【变式11-1】（2022春•宾阳县期中）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代
数式|a+b|﹣|a﹣1|﹣|b﹣2|的结果是（ ）
A．1 B．2b﹣1 C．2a﹣3 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：由数轴可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
∴a+b＞0，a﹣1＞0，b﹣2＜0，
∴原式＝a+b﹣（a﹣1）+（b﹣2）＝a+b﹣a+1+b﹣2＝2b﹣1，
故选：B．
【变式11-2】（2021秋•唐山期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b 0，a+b 0，a﹣c 0．
（2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|．
【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，
c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0；
故答案为：＞，＜，＜；
（2）原式＝c﹣b+[﹣（a+b）]﹣[﹣2（a﹣c）]
＝c﹣b﹣a﹣b+2a﹣2c
＝a﹣2b﹣c．
【考点6有理数的大小比较】
【典例12】（2022春•普陀区校级期中）比较大小：﹣ ﹣ （填“＜”或
“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【解答】解：|﹣ |＝ ＝3 ，|﹣ |＝ ＝3 ，
∵3 ＜3 ，
∴﹣ ＞﹣ ．故答案为：＞．
【变式12-1】（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣|﹣ | ﹣（﹣5.25）．（用
“＞”或“＜”填空）
【答案】＜
【解答】解：∵﹣|﹣ |＝﹣ ，﹣（﹣5.25）＝5.25，
∴﹣ ＜5.25，
即：﹣|﹣ |＜﹣（﹣5.25），
故答案为：＜．
【变式12-2】（2021秋•铜梁区校级期末）若0＜m＜1，m、m2、 的大小关系是（ ）
A．m＜m2＜ B．m2＜m＜ C． ＜m＜m2 D． ＜m2＜m
【答案】B
【解答】解：当m＝ 时，m2＝ ， ＝2，
所以m2＜m＜ ．
故选：B．
【变式12-3】（2022春•道外区期末）如图，数轴上A、B两点所表示的两个数分别是m、
n，把m、n、﹣m、﹣n按从小到大顺序排列，排列正确的是（ ）
A．﹣m＜﹣n＜m＜n B．m＜n＜﹣m＜﹣n C．m＜﹣n＜﹣m＜n D．m＜﹣n＜n＜﹣
m
【答案】D
【解答】解：∵m＜0＜n，且|m|＞n，
∴﹣m＞n，﹣n＞m，
∴m、n、﹣m、﹣n的大小关系为m＜﹣n＜n＜﹣m．
故选：D．
