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专题14 期末新定义题型复习（解析版）
类型一 有理数中的新定义
1．（2022秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产
生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b＝
1
ab+2a．则(-3)⊕(-4⊕ )=（ ） ⊕ ⊕
2
A．﹣13 B．6 C．24 D．30
1
思路引领：根据新定义先计算-4⊕ ，再计算（﹣3） （﹣10）即可求解．
2
解：由题意得： ⊕
1
(-3)⊕(-4⊕ )
2
1
＝（﹣3） [﹣4× +2×（﹣4）]
2
＝（﹣3）⊕（﹣2﹣8）
＝（﹣3） （﹣10）
⊕
＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3）
⊕
＝30﹣6
＝24．
故选：C．
总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序
和运算法则．
2．（2022秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab﹣
ab，则﹣1※2022的值（ ）
A．2023 B．2022 C．﹣2023 D．﹣2021
思路引领：根据新运算得出﹣1※2022＝﹣（12022﹣1×2022），再根据有理数的运算法
则进行计算即可．
解：﹣1※2022
＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022
＝1+2022
＝2023，
故选：A．
总结提升：本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解
此题的关键．
3．（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结
n n
果为3n+5；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算
2k 2k可以重复进行，例如，取n＝26，则：
若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（ ）
A．31 B．49 C．62 D．98
思路引领：根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计
算求解即可．
解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于 n
＝49为奇数应先进行F①运算，
即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，
即152÷23＝19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21＝49，
再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2022÷6＝337，
则第2022次“F运算”的结果是49．
故选：B．
总结提升：本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算
发现其数字的变化规律．
4．（2022秋•越秀区校级月考）已知a、b皆为有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，
a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣[（﹣2）※3]等于（ ）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．
解：根据题中的新定义得：3※2＝2×3＝6，
（﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8，
则原式＝6﹣8＝﹣2．
故选：A．
总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2022秋•靖江市校级月考）对于有理数 a、b定义一种新运算“ ”，规定a b＝|
a+b|+|a﹣b|，则（﹣2） 3的值是（ ）
⊙ ⊙
⊙A．6 B．5 C．4 D．2
思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．
解：根据题中的新定义得：
原式＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3|
＝1+5
＝6．
故选：A．
总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6．（2022秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙
花数”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：
①370，②371，③407，④502，“水仙花数”的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”，分别
判断得出答案即可．
解：①∵33+73+03＝370，
∴370为“水仙花数”，故此选项正确；
②∵33+73+13＝371，
∴371为“水仙花数”，故此选项正确；
③∵43+03+73＝407，
∴407为“水仙花数”，故此选项正确；
④∵53+03+23≠502，
∴546不是“水仙花数”，故此选项错误．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方以及新定义，根据“水仙
花数”的定义得出是解题关键．
7．（2022 秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数 a，b 满足 a*b
{ 2a-b，a≥b 1 1 3
= ．如5*3＝2×5﹣3＝7， *1= -2×1=- ，若x*3＝5，则有理数x
¿a-2b，a＜b 2 2 2
的值为（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．1或11
思路引领：分x≥3与x＜3两种情况求解．
解：当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；
当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，
但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．
即：若x*3＝5，则有理数x的值为4，
故选：A．
总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序．
类型二 整式加减中的新定义
8．（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则
3 1
[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[ ]= ，[﹣2]＝﹣1；
2 2
已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为 ．
思路引领：根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的
思想进行计算即可解答．
解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，
∴a﹣1＝b+1+1，
∴a﹣b＝3，
∴（b﹣a）3﹣3a+3b
＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）
＝﹣33﹣3×3
＝﹣27﹣9
＝﹣36，
故答案为：﹣36．
总结提升：本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
9．（2022秋•浦东新区期中）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则
6x2﹣3x﹣9＝ ．
思路引领：先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化为3（2x2﹣x）﹣9的形式，
整体代入计算即可．
解：∵2x2﹣2与x+4互容，
∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，
∴2x2﹣x＝6，
∴6x2﹣3x﹣9
＝3（2x2﹣x）﹣9
＝3×6﹣9
＝9，
故答案为：9．
总结提升：本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看做一
个整体进行计算是解题关键．
10．（2022秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为
．思路引领：由程序框图将a＝4，b＝﹣2代入a+b计算可得答案．
解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b，
∴输出结果为代入a+b＝4+（﹣2）＝2．
故答案为：2．
总结提升：此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
11．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与
x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝ ．
思路引领：根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝
6，即可求出答案．
解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，
∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，
∴2x2﹣x＝6，
∴6x2﹣3x＝18，
∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
1 1 2 1
12．（2022秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：- x-2(x- y2 )+(- x+ y2 )：
3 3 3 3
2
（其中x＝﹣2，y= ）．
3
（2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4
＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
①请你想想：a*b＝ ；
②若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；
③先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．
思路引领：（1）先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y值代入运算
即可；
（2）①利用题干中各式中的规律解答即可；
②利用①中的规律解答即可；
③利用①中的规律得到关于a，b的关系式，化简后将a，b的值代入运算即可．1 2 2 1
解：（1）原式=- x﹣2x+ y2- x+ y2
3 3 3 3
1 2 2 1
＝（- - 2 - ）x+（ + ）y2
3 3 3 3
＝﹣3x+y2，
2
当x＝﹣2，y= 时，
3
2
原式＝﹣3×（﹣2）+( ) 2
3
4
＝6+
9
58
= ；
9
（2）①a*b＝3a+b，
故答案为：3a+b；
②∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，
又∵a≠b，
∴3a+b≠3b+a，
∴a*b≠b*a，
故答案为：≠；
③（a﹣b）*（a+2b）
＝3（a﹣b）+（a+2b）
＝3a﹣3b+a+2b
＝4a﹣b．
当a＝1，b＝﹣7时，
原式＝4×1﹣（﹣7）
＝4+7
＝11．
总结提升：本题主要考查了整式的加减，化简求值，本题是阅读型题目，寻找题干中各
式的规律并熟练应用是解题的关键．
类型四 一元一次方程中的新定义
a+2b
13．（2021秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：a*b= （其中a，b为有理
2
5
数），那么方程3*x= 的解是x＝ ．
2
3+2x 3+2x 5
思路引领：分析题意，运用定义的新运算法则，可得3*x= ；不难得出 = ，
2 2 2
解方程即可解答本题．解：由题意得：
3+2x
3*x= ，
2
5
∵3*x= ，
2
3+2x 5
∴ = ，
2 2
解得x＝1．
故答案为：1．
总结提升：本题考查的是一道定义新运算的题目，需结合题中定义的新运算法则进行求
解．
14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚
好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣
6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于 x的
一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝ ．
思路引领：利用题中的新定义解答即可．
b-a
解：解关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0，得x= ，
3
∵关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，
b-a
3﹣（a﹣b）＝2× ，
3
9+3（b﹣a）＝2（b﹣a），
∴b﹣a＝﹣9．
故答案为：﹣9．
总结提升：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
|a b|
15．（2022秋•隆安县期中）我们将 这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公
c d
|a b| |1 2|
式表示就是 = ad﹣bc，例如 = 1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
c d 3 4
|3 -2|
（1）请你依此法则计算二阶行列式 ．
4 3
|2x-3 x+2|
（2）请化简二阶行列式 ，并求当x＝4时二阶行列式的值．
2 4
|a b|
思路引领：（1）根据 = ad﹣bc，可以求得所求式子的值；
c d
|a b|
（2）根据 = ad﹣bc，可以将题目中的式子化简，然后将x＝4代入化简后的式子
c d
即可．解：（1）由题意可得，
|3 -2|
4 3
＝3×3﹣（﹣2）×4
＝9+8
＝17；
|2x-3 x+2|
（2）
2 4
＝4（2x﹣3）﹣2（x+2）
＝8x﹣12﹣2x﹣4
＝6x﹣16，
当x＝4时，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．
总结提升：本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确
新定义，会用新定义解答问题．
a b a+b
16．（2022秋•西城区校级期中）定义如下：存在数a，b，使得等式 + = 成立，
2 4 2+4
则称数a，b为一对“互助数”，记为（a，b）．比如：（0，0）是一对“互助数”．
（1）若（1，b）是一对“互助数”，则b的值为 ；
1 5
（2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式（﹣x2+3x﹣1）- （- x2+5x﹣15）
5 2
的值；
1
（3）若（m，n）是一对“互助数”，满足等式m- n﹣（6m+2n﹣2）＝0，求m和n
4
的值．
思路引领：（1）根据“互助数”的定义即可求得b的值；
（2）根据“互助数”的定义求出x的值，再对所求代数式进行去括号，合并同类项，
最后把x的值代入化简后的代数式中即可求解；
9
（3）根据“互助数”的定义求得 n＝﹣4m①，再将所求等式化简得-5m- n+2=0
4
②，将①代入②中即可求解．
解：（1）∵（1，b）是一对“互助数”，
1 b 1+b
∴ + = ，
2 4 2+4
解得：b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵（﹣2，x）是一对“互助数”，
x -2+x
∴﹣1+ = ，
4 2+4解得：x＝8，
1 5
（﹣x2+3x﹣1）- （- x2+5x﹣15）
5 2
1
=-x2+3x-1+ x2-x+3
2
1
=- x2+2x+2，
2
当x＝8时，
1
原式=- ×64+ 16+2＝﹣14；
2
（3）∵（m，n）是一对“互助数”，
m n m+n
∴ + = ，
2 4 2+4
化简得：n＝﹣4m①，
1
由m- n﹣（6m+2n﹣2）＝0化简得，
4
9
-5m- n+2=0②，
4
把①代入②中得，
9
-5m- ×(-4m)+2=0，
4
1
解得：m=- ，
2
1
则n=-4×(- )=2，
2
1
∴m=- ，n＝2．
2
总结提升：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2022秋•邗江区期中）定义：若a+b＝6，则称a与b是关于6的实验数．
（1）4与 是关于6的实验数； 与5﹣2x是关于6的实验数．（用含x的代
数式表示）．
（2）若a＝x2﹣4x+2，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣2），判断a与b是否是关于6的实验数，并
说明理由．
（3）若c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），且c与d是关于6的实验数，求k的值．
思路引领：（1）由4+2＝6，6﹣（5﹣2x）可得答案；
（2）列出算式a+b＝a+b＝x2﹣4x+2+x2﹣2（x2﹣2x﹣2 ）去括号、合并同类项得出其结
果，判断结果是否等于3即可；
（3）由c与d是关于6的实验数知c+d＝6，据此可得6x2﹣8x+4﹣2（3x2﹣4x+k）＝6，进一步求解可得答案．
解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5﹣2x）＝1+2x，
∴4与2是关于6的实验数，1+2x与5﹣2x是关于6的实验数，
故答案为：1+2x；
（2）a与b是关于6 的实验数，
理由：∵a+b＝x2﹣4x+2+x2﹣2（x2﹣2x﹣2 ）
＝x2﹣4x+2+x2﹣2x2+4x+4
＝6，
∴a与b是关于6的实验数；
（3）∵c与d是关于6的实验数，c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），
∴c+d＝6x2﹣8x+4﹣2（3x2﹣4x+k）＝6，
解得k＝﹣1．
∴k的值为﹣1．
总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加
减运算顺序和法则．
18．（2022秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“⻘一值”．
若x≥0，则有理数x的“⻘一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，则有理数x的“⻘一值”[x]＝
x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1．
3
（1）求有理数﹣2和 的“⻘一值”；
2
（2）已知有理数a＞0，b＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[a]＝[b]，试求代数式（b
﹣a）2﹣2a+2b的值；
（3）对于一个有理数x，满⾜⽅程：[2x]+[x+1]＝4，请直接写出满⾜⽅程的解x的值．
思路引领：（1）根据定义：若x≥0，则有理数x的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，则有
理数x的“青一值”[x]＝x﹣1，进行计算即可解答；
（2）根据定义：若x≥0，则有理数x的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，则有理数x的
“青一值”[x]＝x﹣1，可得a﹣b＝﹣2，然后代入式子中，进行计算即可解答；
（3）分三种情况：当x≥0时，当﹣1≤x＜0时，当x＜﹣1时，然后分别进行计算即可
解答．
解：（1）[﹣2]＝﹣2﹣1＝﹣3；
3 3 5
[ ]= +1= ，
2 2 2
3 5
∴[﹣2]＝﹣3；[ ]= ；
2 2
（2）∵a＞0，b＜0，
∴[a]＝a+1，
[b]＝b﹣1，∵[a]＝[b]，
∴a+1＝b﹣1，
∴a﹣b＝﹣2，
∴（b﹣a）2﹣2a+2b
＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）
＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）
＝4+4
＝8；
（3）分三种情况：
当x≥0时，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，
∵[2x]+[x+1]＝4，
∴2x+1+x+2＝4，
1
解得：x= ；
3
当﹣1≤x＜0时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，
∵[2x]+[x+1]＝4，
∴2x﹣1+x+2＝4，
解得：x＝1（舍去）；
当x＜﹣1时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1﹣1＝x，
∵[2x]+[x+1]＝4，
∴2x﹣1+x＝4，
5
解得：x= （舍去）；
3
1
综上所述：x= ．
3
总结提升：本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算﹣化简求值，解一元一次方
程，理解定义中的[x]称作x的“青一值”是解题的关键．
19．（2021秋•桃江县期末）阅读材料：
在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M和N，若
点M、N到点P的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．如图7中，点M表示
数﹣1，点N表示数3，它们与表示数1的点P的距离都是2个单位长度，则点M与点N
互为基准变换点．
解决问题：
（1）若点A表示数a，点B表示数b，且点A与点B互为基准变换点．利用上述规定解
决下列问题：
①画图说明，当a＝0、4、﹣3时，b的值分别是多少？
②利用（1）中的结论，探索a与b的关系，并用含a的式子表示b；③当a＝2021时，求b的值．
5
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以 ，再把所得的数表示的点沿数轴
2
向左移动3个单位长度得到点B，若点A与点B互为基准变换点，求点A表示的数．
思路引领：（1）①根据互为基准变换点的定义画图，即可得到答案；
②观察①可得a与b的关系；
③结合②，把a＝2021代入即可；
（2）表示出B表示的数，再由点A与点B互为基准变换点列方程可得答案．
解：（1）①
由图可得：a＝0时，b＝2，a＝4时，b＝﹣2，a＝﹣3时，b＝5；
②a与b的关系为a+b＝2，
∴b＝2﹣a；
③a＝2021时，b＝2﹣2021＝﹣2019；
（2）设点A表示的数为x，根据题意得：
5
a﹣3＝2﹣x，
2
10
解得：x= ，
7
10
∴点A表示的数是 ．
7
总结提升：本题考查数轴及列代数式，解题的关键是读懂题意，理解互为基准变换点的
定义．
20．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：
1
定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若CB= CA，则称点C是[A，B]的相关点．
2
例如：如图1，点C是[A，B]的相关点，点D不是[A，B]的相关点，但点D是[B，A]的
相关点．
根据这个定义解决下面问题：
（1）如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣2，点N表示的数是4，若点G
是[M，N]的相关点，则点G表示的数是 ；
（2）数轴上点E所表示的数为﹣10，点F所表示的数为20．一动点P从点F出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，另一个动点Q从点E出发，以每秒1个单位的速
度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问当t为何值时，P为[F，Q]的相关点？
思路引领：（1）根据新定义列方程可得答案；
（2）表示出P表示的数是20﹣2t，Q表示的数是﹣10+t，再根据新定义列方程可得答案．
解：（1）设点G表示的数是x，
1 1
根据题意得：GN= GM，即|x﹣4|= [x﹣（﹣2）]，
2 2
解得x＝10或x＝2，
故答案为：10或2；
（2）P表示的数是20﹣2t，Q表示的数是﹣10+t，
∵P为[F，Q]的相关点，
1 1
∴PQ= PF，即|（20﹣2t）﹣（﹣10+t）|= ×2t，
2 2
解得t＝10或t＝30，
∴当t为10或30时，P为[F，Q]的相关点．
总结提升：本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根
据新定义列出方程解决问题．
21．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个
方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
x
（2）若关于x的方程 +m=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
2
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
思路引领：（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可．
解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下：
由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2；
由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1．
∵﹣1+2＝1，∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”．
（2）由3x﹣2＝x+4，解得x＝3；
x
由 +m=0解得x＝﹣2m．
2
x
∵方程3x﹣2＝x+4与方程 +m=0是“美好方程”，
2
∴﹣2m+3＝1，
解得m＝1．
n-3
（3）由2x﹣n+3＝0，解得x= ；
2
由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n；
∵关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，
n-3
∴ + 1﹣5n＝1，
2
1
解得n=- ．
3
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义
解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
22．（2022秋•大丰区期中）在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下
定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b＜0时，将点A向左
移动|b|个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“伴侣点”．如图，点A表示
的数为﹣1．
（1）在图中画出当b＝6时，点A关于点B的“伴侣点”P；
（2）当点P表示的数为﹣6，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数
；
（3）点A从数轴上表示﹣1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴
上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．
①点B表示的数为 （用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点
B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）求出P表示的数，再画图即可；
（2）根据已知可得B运动后表示的数；
（3）①根据左减右加即可解答；
②分两种情况：当8﹣2t≥0，P表示的数是﹣1+t+2＝t+1＝0，当8﹣2t＜0时，P表示
的数是：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t＝0，即可得到答案．
解：（1）∵b＝6＞0，∴将点A向右移动2个单位得到点p：﹣1+2＝1，
∴点P表示的数为1，数轴表示如图：
；
（2）∵点P表示的数为﹣6，点P为点A关于点B的“伴侣点”P在点A的左边5个单
位，
∴|b|＝5，
又∵b＜0，
∴b＝﹣5，即点B表示的数为﹣5，
故答案为：﹣5；
（3）①点B表示的数为：8﹣2t，
故答案为：8﹣2t；
②存在，理由如下：
根据题意得：点A表示的数为﹣1+t，
当8﹣2t≥0时，解得t≤4，
即将点A向右平移2个单位长度，得到点P，表示的数为：t+1，此时t+1＝0，
解得：t＝﹣1，与t＞0不符，舍去；
当8﹣2t＜0时，解得t＞4，即将A向左平移|b|个单位长度得点p为：﹣1+t﹣（2t﹣8）
＝7﹣t，与原点重合，
∴7﹣t＝0，
解得：t＝7，
即当t＝7时，点P与原点重合．
总结提升：本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所
表示的数．
23．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果
一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝
；
（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝
；
（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，
且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
思路引领：（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；
（3）利用“立信方程”以及a和k为正整数求解．
（1）∵2x+1＝1，解得x＝0；
把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：
1﹣2（0﹣m）＝3，
∴1+2m＝3，
解得：m＝1；
（2）解方程x2+3x﹣4＝0，
（x﹣1）（x+4）＝0，
解得：x ＝1或x ＝﹣4，
1 2
把x ＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
1
6×1+2×12﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
把x ＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
2
6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
故满足条件的n的值为5．
（3）因a为正整数，则a≠0，
又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，
4
∴x=2a2-3a-5+
，
a
∵两方程均为立信方程，
∴x的值为整数，
4
∴ 为整数，
a
∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，
∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，
同理9x﹣3＝kx+14，
∴（9﹣k）x＝17，
17
显然，此时k≠9，则x= ，
9-k
∴9﹣k可取8，﹣810，26，
∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，
∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，
故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
总结提升：本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关
键．
类型四 几何图形初步中的新定义24．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在
线段AB上的点值，记作d
C※AB
＝n．
2
甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则d
C※AB
=
3
．
1
乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则d
C※AB
=
3
．
关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
2
思路引领：根据题意，由点C在线段AB上，若AC＝2BC，可得AC= AB，故可判断甲；
3
1 2
点C是线段AB的三等分点，则AC= AB或AC= AB，故可判断乙．
3 3
解：∵点C在线段AB上，若AC＝2BC，
2 2
∴AC= AB，即n= ，
3 3
2
∴d
C※AB
=
3
．故甲的猜想正确；
∵点C是线段AB的三等分点，
1 2
∴AC= AB或AC= AB，
3 3
1 2
∴d
C※AB
=
3
或
3
．故乙的猜想不正确．
故选：A．
总结提升：本题考查新定义的题目，读懂题目并理解题意的解题关键．
25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝
120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题所有角都是指大于0°且
4
小于180°的角）．如果有一个角的垂角等于这个角的补角的 ，那么这个角的度数为（
5
）
A．150° B．130° C．30°或130° D．30°或150°
思路引领：根据题意需分类讨论，根据题意中数量关系列出方程，从而解决此题．
解：设这个角度数为x．
当这个角大于它的垂角，则这个角的垂角为x﹣90°．
4
∴x﹣90°= (180°-x)．
5
∴x＝130°．
当这个角小于它的垂角，则这个角的垂角为90°+x．4
∴90°+x= (180°-x)．
5
∴x＝30°．
综上：这个角的度数为130°或30°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握解一元一次方程是解决本
题的关键．
26．（2021春•长宁区校级期末）同一直线上有 A、B、C三点，若点C、A之间的距离与
点C、B之间的距离之比是1：2，则称点C为点A和点B的牛点．如果点P是点M和点
N的牛点，且PM＝1，则MN＝ ．
思路引领：根据两点间的距离分两种情况求解即可．
解：（1）如图，
∵PM：PN＝1：2，
∴PM＝MN，
∵PM＝1，
∴MN＝1；
（2）如图，
∵PM：PN＝1：2且PM＝1，
∴PN＝1×2＝2，
∴MN＝PM+PN＝2+1＝3．
故MN的长为3或1．
故答案为：1或3．
总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意分两种情况求解是解题的关键．
27．（2021秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为
“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|
＝60°，则∠1和∠2互为“正角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，
∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“正角”的共有 对．
思路引领：根据“正角”的定义解答即可．
解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，1
∴∠AOC＝∠BOC= ∠AOB=60°，
2
∴∠AOB﹣∠AOC＝60°，∠AOB﹣∠BOC＝60°，
又∵∠EOF＝60°，
∴∠AOB﹣∠EOF＝60°，
∵∠EOF＝∠AOC＝60°，
∴∠AOF﹣∠AOE＝60°，∠AOF﹣∠COF＝60°，
∠BOE﹣∠EOC＝60°，∠BOE﹣∠BOF＝60°，
∴图中互为“正角”的共有∠AOB与∠AOC，∠AOB与∠BOC，∠AOB与∠EOF，
∠AOF与∠AOE，∠AOF与∠COF，∠BOE与∠EOC，∠BOE与∠BOF共7对．
故答案为：7
总结提升：本题考查了角平分线的定义，理清题意是解答本题的关键．
28．（2019秋•莆田期末）定义：若 ﹣ ＝90°，且90°＜ ＜180°，则我们称 是 的差余
角．例如：若 ＝110°，则 的差余角 ＝20°．
α β α β α
（1）如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC
α α β
的差余角，求∠BOE的度数；
（2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE
有什么数量关系；
（3）如图3，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线
∠AOC-∠BOC
AB的同侧， 请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请
∠COE
说明理由．
1
思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE= ∠BOC，根据题意得到
2
1
∠AOC﹣∠COE＝∠AOC- ∠BOC＝90°，于是得到结论；
2
（2）根据角的和差即可得到结论； α
（3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣
∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，于是得到结
论．
解：（1）∵OE是∠BOC的角平分线，
1
∴∠COE＝∠BOE= ∠BOC，
2
∵∠COE是∠AOC的差余角，1
∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOC- ∠BOC＝90°，
2
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝30°；
（2）∵∠BOC是∠AOE的差余角，
∴∠AOE﹣∠BOC＝∠AOC+∠COE﹣∠COE﹣∠BOE＝∠AOC﹣∠BOE＝90°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC+∠BOE＝90°；
（3）答：是，
理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣∠COE，
∠AOC-∠BOC 90°+∠COE-90°+∠COE
∴ = = 2（定值）；
∠COE ∠COE
如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC﹣∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°+∠COE，
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°+∠COE）＝90°﹣∠COE，
∠AOC-∠BOC 90°+∠COE-90°+∠COE
∴ = = 2（定值），
∠COE ∠COE
∠AOC-∠BOC
综上所述， 为定值．
∠COE
总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键．
29．（2021秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果
这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．1
如图①所示，若∠COD= ∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
2
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则
∠BOD＝ ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 （0＜
＜63°）至∠COD，当旋转的角度 为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
α
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以
α α
3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终
在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的
时间；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝
∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等
60+α
式60-α= ，即可求出 的值；
2
（3）由旋转可知，分四种情α况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应
的时间．
解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，
1
∴∠COD= ∠AOB＝35°，∵∠AOC＝15°，
2
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；
故答案为：20°．
（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝ ，
∴∠BOC＝63°﹣ ，∠AOC＝63°+ ，
α
∵∠COB是∠AOD的内半角，
α α
1 63°+α
∴∠COB= ∠AOD，即63″﹣ = ，解得 ＝21°，
2 2
当旋转的角度 为21°时，∠CO α B是∠AOD的内半α角；
α（3）能，理由如下，
由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3°t；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，
此时，∠BOC＝30°﹣3°t，∠AOC＝30°+3°t，
则∠COB是∠AOD的内半角，
1 1
∴∠COB= ∠AOD，即30°﹣3°t= （30°+3°t），
2 2
10
解得t= （秒）；
3
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC＝3°t﹣30°，∠AOC＝30°+3°t，
则∠COB是∠AOD的内半角，
1 1
∴∠COB= ∠AOD，即3°t﹣30°= （30°+3°t），
2 2
解得t＝30（秒）；
如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3°t+30°，∠AOC＝360°﹣3°t﹣30°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
1 1
∴∠AOD= ∠BOC，即360°﹣3°t﹣30°= （360°﹣3°t+30°），
2 2
解得t＝90（秒）；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别10
为： 秒；30秒；90秒．
3
总结提升：本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；
由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
30．（2021秋•武侯区期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线
分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的
“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS
平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐
线”．
【迁移运用】
（1）如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；
射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点
O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停
止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过
程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD
的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
思路引领：（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分类讨论的思想方法分
∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解
方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣
∠AOD＝70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM两
种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
解：（1）∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS＝∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC．
当∠AOC＝2∠AOB时，如图，
则：90﹣4t＝2×40．
5
解得：t= ．
2
当∠AOB＝2∠AOC时，如图，
则：40＝2（90﹣4t）．
35
解得：t= ．
2
5 35
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为 或 ．
2 2
②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣
∠AOD＝70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON＝∠CON．
∴90+2t＝4t．
∴t＝45．
∴当t＝45秒时，运动停止，此时∠AON＝180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM．
当∠COM＝2∠COD时，如图，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），
则：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．
解得：t＝40．
∴∠CON＝4°×40＝160°．
当∠COD＝2∠COM时，如图，
即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．
则：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．
解得：t＝43．
∴∠CON＝4°×43＝172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，
∠CON的度数为160°或172°．
总结提升：本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练
应用新定义是解题的关键．
配套作业
1．（2022秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数 x和y，x☆y
＝a2x+ay﹣2（a为常数）．例如：4☆3＝a2×4+a•3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，则
2☆4的值为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
思路引领：根据x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，可以得到a2+2a的值，然后将所求式子变
形，再将a2+2a的值代入计算即可．
解：∵x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，
∴a2×1+a×2﹣2＝3，
∴a2+2a﹣2＝3，
∴a2+2a＝5，
∴2☆4
＝a2×2+a×4﹣2
＝2a2+4a﹣2＝2（a2+2a）﹣2
＝2×5﹣2
＝10﹣2
＝8，
故选：C．
总结提升：本题考查有理数的混合运算、新定，解答本题的关键是明确题意，会用新定
义解答问题．
1 1 1 1 5
2．（2022春•龙凤区期中）定义运算a⊗b= + ，比如2 3= + = ，下面给出了关
a b 2 3 6
于这种运算的几个结论： ⊗
1
①2 （﹣3）=- ；②此运算中的字母均不能取零；③a b＝b a；④a （b+c）
6
＝a ⊗ c+b c； ⊗ ⊗ ⊗
其中正确有（ ）个．
⊗ ⊗
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：各选项利用题中的新定义判断即可．
1 1 1
解：①根据题中的新定义得：2 （﹣3）= - = ，不符合题意；
2 3 6
②此运算中的字母均不能取零，⊗符合题意；
1 1 1 1
③a b= + ，b a= + ，
a b b a
⊗ ⊗
故a b＝b a，符合题意；
1 1 1 1 1 1
④a ⊗ （b+ ⊗ c）= + ，a c+b c= + + + ，
a b+c a c b c
故a ⊗（b+c）与a c+b c不⊗一定相⊗等，不符合题意．
故选：B．
⊗ ⊗ ⊗
总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2022秋•肇源县期中）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记
|a b| |a b| |x+1 x-1|
成 ，定义 = ad﹣bc．上述记号就叫做2阶行列式，若 = 12，则
c d c d x-1 x+1
x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
|a b| |x+1 x-1|
思路引领：根据 = ad﹣bc和 = 12，可以列出相应的方程，然后求解
c d x-1 x+1
即可．
|a b| |x+1 x-1|
解：∵ = ad﹣bc， = 12，
c d x-1 x+1
∴（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（x﹣1）＝12，∴x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝12，
∴4x＝12，
解得x＝3，
故选：B．
总结提升：本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确新定义，列
出相应的方程．
b-1
4．（2021秋•南丹县期末）在有理数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+ ，如：1☆
2
-3-1
（﹣3）＝1+ =-1．如果2☆x＝x☆（﹣1）成立，则x的值是（ ）
2
A．﹣1 B．5 C．0 D．2
思路引领：已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
x-1
解：根据题中的新定义化简2☆x＝x☆（﹣1）得：2+ =x﹣1，
2
去分母得：4+x﹣1＝2x﹣2，
移项得：x﹣2x＝﹣2﹣4+1，
合并得：﹣x＝﹣5，
解得：x＝5．
故选：B．
总结提升：此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是
解本题的关键．
5．（2022秋•汉阳区期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个
角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角
（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角），如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，
图中所有互为垂角的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
思路引领：由OC⊥AB，OE⊥OD，得出∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝
90°，∠BOE﹣∠COE＝90°，∠BOE﹣∠BOD＝90°，即可得出结论．
解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，
∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∠BOE﹣∠COE＝90°，∠BOE﹣
∠BOD＝90°，
∴∠AOD和∠COD、∠AOD和∠AOE、∠BOE和∠COE，∠BOE和∠BOD互为垂角，故选：C．
总结提升：本题考查了互为垂角，熟练掌握互为垂角的定义是解题的关键．
6（2021秋•侯马市期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3
与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12
与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的
“平衡数”．
思路引领：利用“平衡数”的定义判断即可．
解：∵a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，
∴a+b＝6x2﹣8kx+12﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣8kx+12﹣6x2+4x﹣2k＝（4﹣8k）x+12﹣2k
＝n，即4﹣8k＝0，
1
解得：k= ，
2
1
即n＝12﹣2× =11．
2
故答案为：11．
总结提升：此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2021秋•文登区期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 x和y，x※y＝
xy+2a（x+y）+2（a为常数），若2※（﹣3）的值为4，则a的值为 ．
思路引领：根据x※y＝xy+2a（x+y）+2，2※（﹣3）的值为4，可以得到相应的方程，
然后求解即可．
解：∵x※y＝xy+2a（x+y）+2，2※（﹣3）的值为4，
∴2×（﹣3）+2a（2﹣3）+2＝4，
解得a＝﹣4，
故答案为：﹣4．
总结提升：本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程．
8．（2021秋•城固县期末）在数的学习中，我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究，
如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究一种特殊的
数﹣﹣巧数．定义：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称
为巧数．若一个巧数的个位数字比十位数字大2，则这个巧数是 ．
思路引领：设这个数个位数字是x，则十位数字是x﹣2，这个两位数是10（x﹣2）+x，
根据一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍得：10（x﹣2）+x＝4（x+x﹣2），
即可解得答案．
解：设这个两位数个位数字是x，则十位数字是x﹣2，这个两位数是10（x﹣2）+x，
根据题意得：10（x﹣2）+x＝4（x+x﹣2），
解得x＝4，
∴10（x﹣2）+x＝10×（4﹣2）+4＝24，答：这个两位数是24．
故答案为：24．
总结提升：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解巧数的定义，找到等量关
系列方程．
9．（2022秋•珠海期中）给出新定义如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）
＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3；根据上述知识，解下列问题：
（1）若x＝﹣2，y＝3，则f（x）+g（y）＝ ；
（2）若f（x）+g（y）＝0，求2x﹣3y的值；
（3）若x＜﹣3，化简：f（x）+g（x）．（结果用含x的代数式表示）
思路引领：（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行
求解即可；
（2）由非负数的性质可求得x与y的值，代入所求的式子运算即可；
（3）根据绝对值的定义进行求解即可．
解：（1）当x＝﹣2，y＝3时，
f（x）+g（y）
＝|2×（﹣2）﹣2|+|3+3|
＝|﹣4﹣2|+|6|
＝6+6
＝12，
故答案为：12；
（2）∵f（x）+g（y）＝0，
∴|2x﹣2|+|y+3|＝0，
∴2x﹣2＝0，y+3＝0，
解得：x＝1，y＝﹣3，
∴2x﹣3y
＝2×1﹣3×（﹣3）
＝2+9
＝11；
（3）当x＜﹣3时，
2x﹣2＜0，x+3＜0，
∴f（x）+g（x）
＝|2x﹣2|+|x+3|
＝﹣（2x﹣2）﹣（x+3）
＝﹣2x+2﹣x﹣3
＝﹣3x﹣1．
总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2021秋•全南县期末）定义：对于一个有理数 x，我们把{x}称作x的相伴数；若
1 1 1 1
x≥0，则{x}= x﹣1；若x＜0，则{x}=- x+1．例：{1}= ×1﹣1=- ．
2 2 2 2
3
（1）求{ }，{﹣1}的值；
2
（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，求下列代数式的值；
①a+b；
②（a+b）2﹣2a﹣2b．
思路引领：（1）根据相伴数的定义求得即可；
（2）由相伴数的定义化简，然后代入代数式确定即可．
3 1 3 1 1 3
解：（1）{ }= × -1=- ，{﹣1}=- ×(-1)+1= ；
2 2 2 4 2 2
（2）①a＞0，b＜0，{a}＝{b}，
1 1
即 a﹣1 =- b+ 1，
2 2
解得：a+b＝4．
②（a+b）2﹣2a﹣2b＝（a+b）2﹣2（a+b），
＝42﹣8，
＝8．
总结提升：本题考查了代数式求值，掌握相伴数的概念化简是解题的关键．
11．（2022秋•丹徒区期中）定义一种新运算，观察下列各式：
1 3＝1×2+3＝5；
4 （﹣1）＝4×2﹣1＝7；
⊙
（﹣2） 3＝（﹣2）×2+3＝﹣1；
⊙
6 5＝6×2+5＝17；
⊙
（1）请你想一想：用代数式表示a b的结果为 ；
⊙
（2）若a≠b，那么a b b a（填入“＝”或“≠”）；
⊙
（3）若a （﹣6b）＝4，请计算（a﹣5b） （a+b）的值．
⊙ ⊙
思路引领：（1）根据题目中的式子，可以写出a b的结果为2a+b；
⊙ ⊙
（2）根据（1）中的结果可以写出a b和b a的结果，再根据a≠b，即可判断它们的
⊙
结果是否相等；
⊙ ⊙
（3）根据a （﹣6b）＝4，可以得到2a+（﹣6b）＝4，然后将所求式子化简，再将
2a+（﹣6b）＝4化简的结果整体代入计算即可．
⊙
解：（1）由题目中的式子可得，
a b＝2a+b，
故答案为：2a+b；
⊙（2）∵a≠b，a b＝2a+b，b a＝2b+a，
∴a b≠b a，
⊙ ⊙
故答案为：≠；
⊙ ⊙
（3）∵a （﹣6b）＝4，
∴2a+（﹣6b）＝4，
⊙
∴a﹣3b＝2，
∴（a﹣5b） （a+b）
＝2（a﹣5b）+（a+b）
⊙
＝2a﹣10b+a+b
＝3a﹣9b
＝3（a﹣3b）
＝3×2
＝6．
总结提升：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新运算解答．
12．（2022秋•通州区期中）定义：已知M，N为关于x的多项式，若M﹣N＝k，其中k为
大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：M＝
x2+2x+3，N＝x2+2x﹣2，M﹣N＝（x2+2x+3）﹣（x2+2x﹣2）＝5，则称M是N的“友好
式”，M关于N的“友好值”为5．
（1）已知M＝（x+3）（x﹣1），N＝（x+1）2，则M是N的“友好式”吗？若是，请
证明并求出M关于N的“友好值”；若不是，请说明理由；
（2）已知M＝（2x﹣m）2，N＝4x2﹣6x+n，若M是N的“友好式”，且“友好值”为
1
求m，n的值．
4
思路引领：（1）读懂题意，利用新定义计算并判断；
（2）利用新定义列等式求出m、n的值．
解；（1）M﹣N＝（x+3）（x﹣1）﹣（x+1）2
＝x2+2x﹣3﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣4，
﹣4＜0，
∴不符合定义，
∴M不是N的”友好式“；
（2）M﹣N＝（2x﹣m）2﹣（4x2﹣6x+n）
＝4x2﹣4xm+m2﹣4x2+6x﹣n
＝（6﹣4m）x+m2﹣n
∵M是N的“友好式”，3
∴6﹣4m＝0，m= ，
2
1
∴M﹣N＝m2﹣n= ，
4
3 1
即（ ）2﹣n = ，
2 4
∴n＝2，
3
∴m= ，n＝2．
2
总结提升：本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新
定义，利用新定义解决问题．
13．（2022秋•咸安区期中）定义：若A﹣B＝n，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4
与3是关于1的伴随数，2x﹣3与2x是关于﹣3的伴随数．
（1）填空：2022与 是关于﹣1的伴随数， 与﹣3x+5是关于2的伴随数．
（2）若a与2b是关于3的伴随数，2b与c是关于﹣5的伴随数，c与d是关于10的伴
随数，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
（3）现有A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数）始终是数n的伴随数，求
n的值．
思路引领：（1）根据新定义列式可得结论；
（2）先根据伴随数的新定义可得：a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，再将所求式化
简并整体代入可得结论；
（3）先计算A﹣B的值，再由伴随数的新定义列等式可得k的值，从而得n的值．
解：（1）∵2022﹣2023＝﹣1，2﹣（﹣3x+5）＝2+3x﹣5＝3x﹣3，
∴2022与2023是关于﹣1的伴随数，3x﹣3与﹣3x+5是关于2的伴随数，
故答案为：2023，3x﹣3；
（2）∵a与2b是关于3的伴随数，2b与c是关于﹣5的伴随数，c与d是关于10的伴随
数，
∴a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，
∴（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）
＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c
＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）
＝3﹣5+10
＝8；
（3）∵A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数），
∴A﹣B＝（8x2﹣6kx+13）﹣2（4x2﹣3x+k）
＝8x2﹣6kx+13﹣8x2+6x﹣2k
＝（6﹣6k）x+13﹣2k，∵A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数）始终是数n的伴随数，
∴n＝（6﹣6k）x+13﹣2k，
∴6﹣6k＝0，
∴k＝1，
∴n＝13﹣2＝11．
总结提升：本题考查了整式的混合运算和新定义﹣数n的伴随数，能灵活运用整式的运
算法则进行计算是解此题的关键．
14．（2022春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称
这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
思路引领：（1）求得方程2x﹣6＝4解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程
3x+m＝0的解，利用方程解的定义解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣n，再利用定义列出关于n的等
式解答即可．
解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，
∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，
∴3×（﹣5）+m＝0，
∴m＝15；
（2）∵某“友好方程”的一个解为n，
∴“友好方程”的另一个解为﹣n，
∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，
∴n＝3或n＝﹣3．
∴n＝±3．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，
理解新定义并熟练应用新定义解答是解题的关键．
15．（2022秋•西城区校级期中）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点
的距离等于点A，点B到原点距离的和的2倍，则称点P为点A和点B的“2倍点”．
（1）已知点A表示1，点B表示﹣2，下列各数﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分
别是P ，P ，P ，P ，其中是点A和点B的“2倍点”的有 ；
1 2 3 4
3
（2）已知点A表示 ，点B表示m，点P为点A和点B的“2倍点”，且点P到原点的
2
距离为10，求m的值；
（3）已知点A表示a（a＜0），将点A沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点B．当
点P为点A和点B的“2倍点”时，直接写出点P与点A的距离（用含a的式子表示）．思路引领：（1）根据新定义进行解答便可；
（2）根据新定义列出方程解答便可；
（3）根据定义先求得P点表示的数，再根据两点距离公式求得结果．
解：（1）∵点A表示1，点B表示﹣2，
∴点A，点B到原点距离的和的2倍为：（1+|﹣2|）×2＝6，
∵﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分别是P ，P ，P ，P ，
1 2 3 4
∴P ，P 到原点的距离为6，
1 4
∴点A和点B的“2倍点”的有P ，P ，
1 4
故答案为：P ，P ；
1 4
3
（2）根据题意得2( +|m|)=10，
2
解得m＝±3.5；
（3）设点P表示的数为x，
根据题意得|x|＝2（|a|+|a﹣3|），
∴|x|＝﹣4a+6，
∴x＝﹣4a+6或4a﹣6，
∴PA＝|（﹣4a+6）﹣a|＝|﹣5a+6|＝﹣5a+6或PA＝|a﹣（4a﹣6）|＝|﹣3a+6|＝﹣3a+6，
∴点P与点A的距离为（﹣5a+6）或（﹣3a+6）．
总结提升：本题考查了数轴，理解题目已知条件中点P为点A和点B的“2倍点”是解
题的关键．
1
16．（2022秋•天河区校级期中）已知|a+1|+（b﹣4）2＝0，c是- 的倒数，且a，b，c分
2
别是点A，B，C在数轴上对应的数．
（1）直接写出a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；
（2）定义：在数轴上，若点D到点E、F的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福
中心”．
①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G
表示的数之和；
②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点M，
N分别从点A，B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点 P是
M和N的“幸福中心”？
思路引领：（1）由|a+1|+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质可求得a＝﹣1，b＝4，由c
1 1
是- 的倒数，得- c＝1，则c＝﹣2，所以点A，B，C对应的数分别为﹣1，4，﹣2，
2 2
在数轴上标出点A、B、C即可；（2）①设点G表示的数是x，点G到点B、C的距离之和为m，先说明点G不能在点
C的左侧和点B的右侧，而当点G在点B与点C之间时，m＝x+2+4﹣x＝6，此时﹣
2≤x≤4，而x为整数，则x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，即可求得所有满足条件的点
G表示的数之和是7；
②先说明点M和点N之间的距离保持不变，为4﹣（﹣1）＝5，则点P不能在点M与
点N之间，再设运动的时间为t秒，则点P、M、N表示的数分别为7﹣2t、﹣1+t、
4+t，当点P在点N的右侧时，则7﹣2t﹣（﹣1+t）+7﹣2t﹣（4+t）＝6；当点P在点M
的左侧时，则﹣1+t﹣（7﹣2t）+4+t﹣（7﹣2t）＝6，解方程求出相应的t值即可．
解：（1）∵|a+1|≥0，（b﹣4）2≥0，且|a+1|+（b﹣4）2＝0，
∴|a+1|＝0，（b﹣4）2＝0，
解得a＝﹣1，b＝4；
1
∵c是- 的倒数，
2
1
∴- c＝1，
2
∴c＝﹣2，
∴点A，B，C对应的数分别为﹣1，4，﹣2，如图所示．
（2）①设点G表示的数是x，点G到点B、C的距离之和为m，
若点G在点C左侧，则x＜﹣2，
∴m＝﹣2﹣x+4﹣x＝2﹣2x＞6，不符合题意；
若点G在点B右侧，则x＞4，
∴m＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，不符合题意；
当点G在点B与点C之间，则m＝x+2+4﹣x＝6，
∵﹣2≤x≤4，且x为整数，
∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝7，
∴所有满足条件的点G表示的数之和是7．
②∵点M和点N的速度相同，运动方向相同，
∴点M和点N之间的距离保持不变，为4﹣（﹣1）＝5，
若点P在点M与点N之间，由点P到点M、N的距离之和为5，不符合题意，
设运动的时间为t秒，则点P、M、N表示的数分别为7﹣2t、﹣1+t、4+t，
当点P在点N的右侧时，则7﹣2t﹣（﹣1+t）+7﹣2t﹣（4+t）＝6，
5
解得t= ；
6
当点P在点M的左侧时，则﹣1+t﹣（7﹣2t）+4+t﹣（7﹣2t）＝6，
17
解得t= ，
65 17
综上所述，经过 秒或 秒，点P是M和N的“幸福中心”．
6 6
总结提升：此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、非负数的性
质、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示运动过程中点所对应
的数是解题的关键．
17．（2022秋•宝安区校级期中）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段
AC的长度是线段BC的长度的2倍，那么称点C为线段AB的“幸运点”．
（1）如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣2和4，点C为线段AB上一点，
且点C为线段AB的“幸运点”，则点C表示的数为 ；
（2）如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和﹣1，点C为数轴上一点，
若点C为线段AB的“幸运点”，则点C表示的数为 ；
（3）如果数轴上点A表示的数是2001，点B表示的数是2025，动点P从点A出发以每
秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P是线段AB
的“幸运点”．
思路引领：（1）根据点C为线段AB上一点，且点C为线段AB的“幸运点”，A，B
两点所表示的数分别是﹣2，4，可得AC＝4，BC＝2，即得点C表示的数为2；
（2）由点C为线段AB的“幸运点”，得AC＝2BC，分两种情况：当C在线段AB上时，
C表示的数为﹣2，当C在B右侧时，点C表示的数为2；
（3）P表示的数是2001+2t，可列方程2t＝2|24﹣2t|，即可解得答案．
解：（1）∵点C为线段AB上一点，且点C为线段AB的“幸运点”，A，B两点所表
示的数分别是﹣2，4，
∴AC＝2BC，AC+BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴AC＝4，BC＝2，
∴点C表示的数为﹣2+4＝2，
故答案为：2；
（2）∵点C为线段AB的“幸运点”，
∴AC＝2BC，
当C在线段AB上时，AC+BC＝3，
∴AC＝2，BC＝1，
∴点C表示的数为﹣4+2＝﹣2，
当C在B右侧时，AC﹣BC＝3，∴AC＝6，BC＝3，
∴点C表示的数为﹣4+6＝2，
故答案为：﹣2或2；
（3）由已知得：P表示的数是2001+2t，
∴PA＝2t，PB＝|2025﹣（2001+2t）|＝|24﹣2t|，
∵点P是线段AB的“幸运点”，
∴2t＝2|24﹣2t|，
解得t＝8或t＝24，
∴t＝8或t＝24时，点P是线段AB的“幸运点”．
总结提升：本题考查一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据已知
分类列方程．
18．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中
一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点 O在线段 AB上（不含端点 A，B），在直线 AB同侧作射线 OC，OD．设
∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
思路引领：（1）分两种情况讨论，分别计算．
（2）作出图形，用t表示图中的各个角，列出t的方程求解．注意t的取值范围，对解
出的结果需要验证和取舍．
解：（1）依题意，∠AOC+∠COB＝120°，
且2∠AOC＝∠COB，或∠AOC＝2∠COB．
1
当2∠AOC＝∠COB时，∠AOC= ∠AOB＝40°；
3
2
当∠AOC＝2∠COB时，∠AOC= ∠AOB＝80°．
3（2）∵5t＜180°，
∴t＜36°．
2
①当∠AOC＝2∠COD时，∠AOC= ∠AOD，
3
2
即3t= （180°﹣5t），
3
360°
解得t= ．
19
1
当2∠AOC＝∠COD时，∠AOC= ∠AOD，
3
1
即3t= （180°﹣5t），
3
90°
解得t= ．
7
2
②当∠BOC＝2∠COD时，∠BOC= ∠BOD，
3
2
即180°﹣3t= ×5t，
3
540°
解得t= ．
19
2700°
∴∠BOD＝5t= ．
191
当2∠BOC＝∠COD时，∠BOC= ∠BOD，
3
1
即180°﹣3t= ×5t，
3
270°
解得t= ＞36°，不合题意舍去．
7
总结提升：本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
19．（2021秋•薛城区期末）新定义：若∠ 的度数是∠ 的度数的n倍，则∠ 叫做∠
的n倍角．
α β α β
（1）若∠M＝20°22′，请求出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝
90°，求∠BOC的度数．
思路引领：（1）根据∠M＝20°22′，直接得出∠M的3倍角的度数；
（2）根据已知条件得出∠AOB的所有2倍角；
（3）根据已知条件设∠AOB＝ ，得出∠AOC＝3 ，∠COD＝4 ，根据∠BOD＝90°，
求出a，再根据∠BOC＝90°﹣4 ，从而得出答案．
α α α
解：（1）∵∠M＝20°22′，
α
∴3∠M＝3×20°22′＝61°6′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
∴设∠AOB＝ ，则∠AOC＝3 ，∠COD＝4 ，
∴∠AOD＝7 ，
α α α
∴∠BOD＝6 ，
α
∵∠BOD＝90°，
α
∴ ＝15°，
∴∠BOC＝90°﹣4×15°＝30°．
α
总结提升：此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，本题是阅读型题目，准确理解并
熟练应用题干中的定义是解题的关键．
20．（2021秋•咸安区期末）新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB 内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC、
∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB
的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为
；
【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时
针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时
间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线
为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
思路引领：（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
（3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，
②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，
1
③设∠AOC＝x，则∠BOC= x，
2
1
由题意得，x+ x＝45°，解得x＝30°，
2
故答案为：15°或22.5°或30°；
（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，
若射线OA是∠MON的幸运线，
1 1 12
则∠AON= ∠MON，即60﹣15t= （60+5t），解得t= ；
2 2 7
1 1 12
∠AON= ∠MON，即60﹣15t= （60+5t），解得t= ；
3 3 5
2 2 12
∠AON= ∠MON，即60﹣15t= （60+5t），解得t= ；
3 3 11
当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，
若射线ON是∠AOM的幸运线，
1 1
则∠AON= ∠MOA即15t﹣60= ×20t，解得t＝12（舍）；
2 2
1 1 36
∠AON= ∠MOA，即15t﹣60= ×20t，解得t= ；
3 3 5
2 2
∠AON= ∠MOA，即15t﹣60= ×20t，解得t＝36（舍）；
3 3
12 12 12 36
故t的值是 或 或 或 ．
7 5 11 5
总结提升：本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能
力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．
21．（2021秋•启东市期末）新定义：若∠ 的度数是∠ 的度数的n倍，则∠ 叫做∠
的n倍角．
α β α β
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝
90°，求∠BOC的度数．
思路引领：（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝ ，则∠AOC＝3 ，∠COD＝4 ，得到∠BOD＝6 ，∠BOC＝2 ；根
据∠BOD＝90°，求得 ＝15°，于是结论可得．
α α α α α
解：（1）∵∠M＝10°21′，
α
∴3∠M＝3×10°21′＝31°3′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；
∴图中∠AOB的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
∴设∠AOB＝ ，则∠AOC＝3 ，∠COD＝4 ，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7 ，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2 ．
α α α
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6 ，
α α
∵∠BOD＝90°，
α
∴6 ＝90°．
∴ ＝15°，
α
∴∠BOC＝2 ＝30°．
α
总结提升：此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，本题是阅读型题目，准确理解并
α
熟练应用题干中的定义是解题的关键．
22．（2020秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下
定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON
上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关
于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB ，OB 的位置如图3所示，且∠B OM＝30°，∠B OM＝15°，则
1 2 1 2
在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 OB ；
2
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON
内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺
时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间
为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线
OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
思路引领：（1）由∠MON内含对称的定义可求解；
1
（2）由∠MON内含对称的定义可得10°≤ （x+10）°≤30°，可求解；
2
（3）分两种情况讨论，利用∠MON内含对称的定义列出不等式，即可求解．
解：（1）∵∠AOB 在∠MON的外部，
1
∴射线OA、OB 组成的∠AOB 的平分线在∠MON的外部，
1 1
∴OB 不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
1
∵∠B OM＝15°，∠AOM＝10°，
2
∴∠AOB ＝25°，
2
∴射线OA、OB 组成的∠AOB 的平分线在∠MON的内部，
2 2
∴OB 是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
2
故答案为：OB ；
2
（2）由（1）可知，当OC在直线OM的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于
∠MON内含对称，
∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，
∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，
∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
1
∴10°≤ （x+10）°≤30°，
2
∴10≤x≤50；
（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，
∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，
若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，
3t-30+50-t
∴50﹣t≤ ≤70﹣t，
2
∴20≤t≤30；
若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，
50-t+3t-40
∴50﹣t≤ ≤70﹣t，
2
∴22.5≤t≤32.5，
综上所述：20≤t≤32.5．
总结提升：本题是新定义题，考查了角平分线的性质，一元不等式的应用，理解新定义，运用新定义解决问题是本题的关键．
23．（2022秋•岳麓区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个
角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．
（1）如图①，已知OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝75°，
∠AOC＝ 25 ° ；
（2）如图②，已知∠AOB＝90°，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②在①的基础上，现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n°得到∠C'OD'．当OA恰好
是∠C'OD'的三分线时，求n的值．
1
思路引领：（1）根据OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，可得∠AOC=
3
∠AOB，据此可得∠AOC的度数；
1
（2）①根据∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，可得∠COD= ∠AOB＝
3
30°；
②分两种情况：当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'＞∠AOC'时，∠AOC'＝10°；当
OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'＜∠AOC'时，∠AOC'＝20°，分别求得n的值．
解：（1）已知OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，
若∠AOB＝75°，
1
∴∠AOC= ∠AOB＝25°，
3
故答案为：25°．
（2）①如图2，
∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
1
∴∠COD= ∠AOB＝30°；
3
②分两种情况：当OA是∠C'OD'的三分线，且∠AOD'＞∠AOC'时，∠AOC′＝10°，
∴∠DOC'＝30°﹣10°＝20°，
∴∠DOD'＝20°+30°＝50°；
当OA是∠C′OD'的三分线，且∠AOD'＜∠AOC时，
∠AOC'＝20°，∴∠DOC′＝30°﹣20°＝10°，
∴∠DOD'＝10°+30°＝40°；
综上所述，n＝40°或50°．
总结提升：本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角
的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
