文档内容
专题04 有理数的乘除法（知识大串讲）
【知识点梳理】
考点1 有理数的乘法
（1）有理数乘法的法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0．
（2）几个有理数相乘时积的符号法则：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．
注意：第一个因数是负数时，可省略括号．
（2）乘法交换律：abc=cab=bca
乘法结合律：a(bc)d=a(bcd)=……
分配律：a(b+c+d+…+m)=ab+ac+ad+…+am
考点2 有理数的除法
（1）倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab＝1，那么a和b互为倒数；
倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.
（2）有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.
（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．）
0除以任何一个不为0的数，都得0．
【典例分析】
【考点1 有理数的乘法运算】
【典例1】（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣ ）的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
【答案】B【解答】解：原式＝+（6× ）
＝3．
故选：B．
【变式1-1】（2022•滨海新区二模）计算（﹣3）×7的结果等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣21 D．21
【答案】C
【解答】解：原式＝﹣（3×7）
＝﹣21．
故选：C．
【变式1-2】（2022•香洲区模拟）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子
正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．a+b＞0 D．ab＞0
【答案】C
【解答】解：A选项，a＜b，故该选项不符合题意；
B选项，|a|＜|b|，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，故该选项符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
故选：C．
【典例2】（2022•枣庄一模）已知|x|＝2，|y|＝1，且xy＜0，则x+y＝（ ）
A．3 B．3或﹣3 C．1或﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝1，
∴x＝±2，y＝±1，
又∵xy＜0，
∴x＝2，y＝﹣1或x＝﹣2，y＝1，
当x＝2，y＝﹣1时，x+y＝1，
当x＝﹣2，y＝1时，x+y＝﹣1，∴x+y的值为1或﹣1．
故选：C．
【变式 2-1】（2021 秋•姑苏区校级期末）若|x|＝2，|y|＝3，且 xy＜0，则 x+y 的值为
（ ）
A．5或﹣5 B．﹣1或1 C．5或﹣1 D．1或﹣5
【答案】B
【解答】解：因为|x|＝2，|y|＝3，
所以x＝±2，y＝±3，又xy＜0，
所以当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；
当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1．
则x+y＝±1，
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•邯山区校级期中）若|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的值是（
）
A．2 B．﹣8 C．8或﹣8 D．2或﹣2
【答案】D
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5．
∵ab＜0，
∴a与b异号．
∴当a＝3，则b＝﹣5，此时a+b＝3﹣5＝﹣2．
当a＝﹣3，则b＝5，此时a+b＝﹣3+5＝2．
综上：a+b＝2或﹣2．
故选：D．
【考点2 有理数的乘法运算定律】
【典例3】（章贡区校级月考）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣ ）
【解答】解：（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣ ）
＝（﹣8）×（﹣1.25）×9×（﹣ ）
＝10×（﹣1）＝﹣10．
【变式3-1】（徐闻县期中） ×（﹣ ）× × ．
【解答】解： ×（﹣ ）× ×
＝（ × ）×（﹣ × ）
＝ ×（﹣ ）
＝﹣ ．
【变式3-2】（海拉尔区校级月考）（﹣0.25）×（﹣ ）×4×（﹣18）．
【解答】解：原式＝﹣（ × ×4×18）＝﹣14．
【典例4】（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算：
① ；
② ．
【解答】解：①原式＝（﹣ ）×（﹣36）﹣ ×（﹣36）+ ×（﹣36）
＝3+1﹣6
＝﹣2．
②原式＝（﹣100+ ）×24
＝﹣100×24+ ×24
＝﹣2400+2
＝﹣2398
【变式4-1】（郯城县校级月考）（ ）×（﹣60）
【解答】解：原式＝﹣15﹣25+50＝10．
【变式4-2】（2021秋•头屯河区期末）用简便方法计算：29 ×（﹣3）．【解答】解：29 ×（﹣3）
＝（30﹣ ）×（﹣3）
＝30×（﹣3）﹣ ×（﹣3）
＝﹣90+
＝﹣89 ．
【典例5】（2020秋•兰山区月考）25× ﹣25× +25×（﹣ ）
【解答】解：25× ﹣25× +25×（﹣ ）
＝25×（ ﹣ ﹣ ）
＝25×0
＝0．
【变式5】（红河州校级期中）用简便方法计算：
（1）﹣13× ﹣0.34× + ×（﹣13）﹣ ×0.34
（2）（﹣ ﹣ + ﹣ ）×（﹣60）
【解答】解：（1）﹣13× ﹣0.34× + ×（﹣13）﹣ ×0.34
＝﹣13× ﹣ ×13﹣ ×0.34﹣0.34×
＝﹣13×（ + ）﹣（ + ）×0.34
＝﹣13×1﹣1×0.34
＝﹣13﹣0.34
＝﹣13.34
（2）（﹣ ﹣ + ﹣ ）×（﹣60）
＝（﹣ ）×（﹣60）﹣ ×（﹣60）+ ×（﹣60）﹣ ×（﹣60）＝20+15﹣12+28
＝51
【考点3 倒数】
【典例6】（2022•盘锦）﹣6的倒数是（ ）
A． B．﹣0.6 C． D．6
【答案】A
【解答】解：﹣6的倒数是1÷（﹣6）＝ ．
故选：A．
【变式6-1】（2022•深圳）下列互为倒数的是（ ）
A．3和 B．﹣2和2 C．3和﹣ D．﹣2和
【答案】A
【解答】解：A．因为3× ＝1，所以3和 是互为倒数，因此选项A符合题意；
B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项B不符合题意；
C．因为3×（﹣ ）＝﹣1，所以3和﹣ 不是互为倒数，因此选项C不符合题意；
D．因为﹣2× ＝﹣1，所以﹣2和 不是互为倒数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【变式6-2】（2022•广安）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国
与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C．﹣ D．
【答案】D
【解答】解：2022的倒数为 ．
故选：D．
【考点4 有理数的除法运算】
【典例7】（2021秋•平罗县期末）计算： ．【解答】解：
＝
＝﹣ ×36﹣ ×36+ ×36
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18．
【变式7】计算： ．
【解答】解：
＝
＝﹣ ×36﹣ ×36+ ×36
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18
【考点5有理数的乘除混合运算】
【典例8】（2022春•闵行区校级期中）计算：﹣56×（﹣ ）÷（﹣1 ）．
【解答】解：原式＝﹣56×（﹣ ）×（﹣ ）
＝﹣15．
【变式8】（2022春•普陀区校级期中）计算：（﹣ ）×（﹣ ）÷（﹣3 ） ．
【解答】解：原式＝﹣ × × ×
＝﹣ ．
【考点6 有理数的加减乘除】
【典例9】（2021春•虹口区校级期中）计算： ．
【解答】解：原式＝＝
＝
＝1．
【变式9】（2021秋•徐汇区校级月考）计算： ．
【解答】解：原式＝ × ﹣ × + ×
＝ ﹣ +
＝ ．
