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特训 06 期末解答题汇编（精选 37 题）
一、解答题
1．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解析】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将减法转化为加法，再根据有理数加法法则计算；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）利用乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方与括号，再算乘除，最后算加减即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
【点睛】主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘
除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有
理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
3．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解一元一次方程的方法步骤，移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案；
（2）根据解一元一次方程的方法步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答
案．
【解析】（1）解： ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ；（2）解： ，
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等方法步
骤是解决问题的关键．
4．解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可．
【解析】（1）解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得 ；
（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得 ；
（3）解：
整理得
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
5．有理数的分类
；0；π； ； ； ；
正数集合{ …}
整数集合{ …}
负分数集合{ …}
非负有理数集合{ …}
【答案】π， ， ； ，0， ； ， ；0， ，
【分析】先根据绝对值的性质和有理数的乘方化简，再根据有理数的分类解答，即可求解．
【解析】解： ， ，
正数集合{π， ， ，…}整数集合{ ，0， ， …}
负分数集合{ ， ， …}
非负有理数集合{0， ， ， …}
故答案为：π， ， ； ，0， ； ， ；0， ，
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质和有理数的乘方，是基础题，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．
6．将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来． ，0， ， ，2．
【答案】画图见解析； ＜ ＜0＜2＜ ．
【分析】先把各数在数轴上表示出来，然后按照数轴上的点所表示的数从左到右依次增大即可比较大小．
【解析】解：把这些数在数轴上表示如图：
∴ ＜ ＜0＜2＜ ．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小特点是解题的关键．
7．如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
请回答：
(1)A、B、C这三个点表示的数各是：A：________,B：________,C：_______．
(2)A，B两点间的距离是多少？A，C两点间的距离是多少？
【答案】(1) ，1，4
(2)7，10【分析】（1）根据点在数轴上的位置，写出答案即可；
（2）用较大的数减去较小的数即可求得两点之间的距离．
【解析】（1）解：A、B、C这三个点表示的数分别是 ， ， ，
故答案为： ， ，
（2）A，B两点之间的距离为 ，
A，C两点之间的距离为 ．
【点睛】此题考查了数轴上的点表示的有理数、两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题
关键．
8．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
(1)判断正负，用“>”或“<”填空： ___0， ___0， ___0．
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴上点的位置得到 ，再根据有理数加减计算法则求解即可；
（2）根据（1）所求先去绝对值，然后根据整式的加减计算法则求解即可．
【解析】（1）解：由题意得： ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算，有理数的加
减计算，正确求出 是解题的关键．9．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且 ．求： 的值．
【答案】11或1
【分析】由题意得 ， ， ，继而知 或 ，再分别代入计算即可．
【解析】解：由题意知 ， ， ，
则 或 ，
当 时，原式
；
当 时，原式
；
综上，原式的值为11或1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
10．某个体儿童服装店老板以每件54元的价格购进30件棉马甲，针对不同的顾客，30件棉马甲的售价不
完全相同，若以65元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表所示：（利润
=售价-进价）
售出数量（件） 4 9 3 5 4 5
实际售价与标准价的差值
（元）
(1)①在销售过程中，最低售价为每件____________元；
②在销售过程中，最高获利为每件____________元；
(2)该儿童服装店在售完这30件棉马甲后，一共获得多少元的利润？
【答案】(1)①59；②16
(2)该儿童服装店在售完这30件棉马甲后，一共获得319元的利润
【分析】（1）根据正数、负数的意义，求出结果；
（2）分别求出按照不同价格售出的利润，再求和即可．
【解析】（1）解：①最低售价为每件 (元)，
②最高获利为每件 (元)，故答案为：①59，②16；
（2）解：
（元），
答：所以该儿童服装店在售完这30件棉马甲后，一共获得319元的利润．
【点睛】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算；理解正数与负数在实际应用中的意义是解题的关键．
11．有理数a、b在数轴上的位置如图所示．
(1)试确定 的符号；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：根据数轴上点的位置可知 ，
所以 ；
（2）解： ．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的化简、有理数的乘法、除法和加法运算法则及应用，根据题意分别确
定出 是解题关键．
12．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
(1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为 ， ；(2)你认为当输入数等于 时（写出一个即可），其输出结果为0；
(3)你认为这个“数值转换机”不可能输出 数；
(4)有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 （用含自
然数n的代数式表示）．
【答案】(1)1，2
(2)0（答案不唯一）
(3)负
(4)
【分析】（1）分别将4、7代入数值转换机，按程序计算即可得出结果；
（2）令输出结果为0，通过逆向运算，即可求解；
（3）根据一个数的绝对值是非负数，正数的倒数是正数，可知输出结果不可能是负数；
（4）根据所给程序图，结合小明输入的数字为正整数，即可求解．
【解析】（1）解：当输入的数字为4时， ，得到 ，
，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1；
当输入数字为7时， ，得到 ，
得到相反数为 ，绝对值为2，输出结果为2；
因此当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为1，2．
（2）解：由所给程序图可知，输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可）时，其输出结果为0；
（3）解：一个数的绝对值是非负数，正数的倒数是正数，
因此这个“数值转换机”不可能输出负数；
（4）解：由所给程序图可知，当输入数字为 （n为自然数）时，输出的结果是2，
因此小明输入的正整数为 ．
【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，涉及有理数的加法、倒数、绝对值、相反数等知识点，看懂
所给的程序流程图是解题的关键．
13．先化简，将求值： ，其中 ， ．
【答案】
【分析】根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．【解析】解：
=
当 ， 时，原式
【点睛】本题考查了整式的加减，去括号是解题关键，括号前是正数去括号不变号，括号前是负数去括号
全变号．
14．已知多项式 ， ．
(1)已知 的值与字母 的取值无关，求字母 、 的值？
(2)在（1）的条件下，求 的值？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算 ，根据 的值与字母 的取值无关，令 与 的系数为0，即可求解；
（2）将 代入 ，中，进而化简 ，即可求解．
【解析】（1）解：∵ ， ，
∴
，
∵ 的值与字母 的取值无关，∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的加减，正确的去括号是解题的关键．
15．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式，形式如下：
(1)求手捂住的多项式；
(2)若 ， 满足： ，请求出所捂住的多项式的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据题意可得捂住部分为： ，利用整式的加减的法则进行求解
即可；
（2）由非负数的性质可求得 ， 的值，再代入运算即可；
【解析】（1）解：根据题意得： ，
，
；（2） ，
， ，
解得： ， ，
代入
．
【点睛】本题主要考查整式的加减，非负数的性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．如图，设计一个爱心活动标志图案，其中 ， 为半圆的直径， ， ，
(1)用含 ， 的代数式表示这个图案（阴影部分）的面积 结果保留
(2)当 ， 时，求 的值．结果保留
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）阴影部分的面积＝圆的面积＋长方形的面积；
（2）把 ， 代入（1）计算．
【解析】（1）阴影部分的面积
；
（2）当 ， 时，
．
【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，正确计算结果是解题关键．17．已知多项式 ．
(1)把这个多项式按 的降幂重新排列；
(2)已知 是该多项式的次数， 是该多项式中二次项的系数， 为常数项，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照 的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；
（2）根据多项式的次数的定义找出次数最高的项即是该多项式的次数，再找出次数是2的项和不含字母的
项即可得二次项和常数项．
【解析】（1）解：按x的降幂重新排列为 ．
（2）解：因为这个多项式的次数是5，二次项的系数是 ，常数项是1，
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查多项式的定义，正确掌握多项式次数及各项的判定方法及多项式升幂、降幂排列方法是
解题关键．
18．李老师写出了一个式子 ，其中 为常数，且表示系数，然后让同学赋予
不同的数值进行计算．
(1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为 ，则甲同学给出的 的值分别是 ，
；
(2)乙同学给出了一组数据 ，请按照乙同学给出的数值化简整式；
(3)丙同学给出了一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请求出丙同学给出的 的值并算出整式的最
后结果．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为 ，即可得到 的值；（2）将 的值代入计算即可；
（3）根据（1）中化简后的结果，结合最后结果与 无关，可以得到 的值，并写出丙同学的计算结果．
【解析】（1）
∵其结果为
∴
解得：
故答案为： ，
（2）∵
∴
（3）由（1）得
∵结果与x的取值无关
∴
解得
∴原式
【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的结果．
19．小明在解关于x的方程 时，误将 看成了 ，得到方程的解为 ，请聪明的你帮
小明算一算方程的正确解．
【答案】
【分析】先根据题意得到方程 的解为 ，求出 ，再代入原方程得到 ，解方
程即可．
【解析】解：根据题意可得方程 的解为 ，
所以 ，
解得 ，
所以原方程为 ，
解得 ．【点睛】本题考查了方程的解的定义和解一元一次方程，熟知方程的解的定义，准确求出 是解题关键．
20．甲乙两人沿400米的环形跑道进行晨跑，甲的速度为8米 秒，乙的速度为6米 秒．
(1)若乙站在甲前面30米处，两人同时同向起跑，几秒后两人能首次相遇？
(2)若甲站在乙前面20米处，两人同时同向起跑，几秒后两人能首次相遇？
【答案】(1)15秒后两人能首次相遇；
(2)190秒后两人能首次相遇
【分析】（1）设x秒后两人能首次相遇，根据“甲的路程等于乙的路程加30”列出方程；
（2）设y秒后两人能首次相遇，根据“甲的路程等于乙的路程 ”列出方程；
【解析】（1）解：设 秒后两人能首次相遇，依题意得：
，
解之得： ．
答：15秒后两人能首次相遇；
（2）解：设 秒后两人能首次相遇，依题意得，
解之得： ，
答：190秒后两人能首次相遇．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系列出方程，再求解．
21．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图．
(1)某户居民1月份用水 ，试求1月份的水费为多少元？
(2)若某户居民某月用水 ，则用含x的代数式表示该月所用的水费；(3)若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？
【答案】(1)11元
(2)当 时， 元；当 时， 元；
当 时， 元
(3)该户居民5月份实际用水8.5立方米．
【分析】（1）利用1月份的水费=单价×该户居民1月份的用水量计算即可；
（2）分 及 三种情况，用含x的代数式表示出该月的水费；
（3）先求出用水量为 ， 时的水费，可得出该户居民5月份实际用水量超过 且不超过 ，
由（2）的结论及该户居民5月份共交水费22元，得出关于x的一元一次方程求解即可．
【解析】（1）解： （元）．
答：1月份的水费为11元．
（2）当 时，该月的水费为 元；
当 时，该月的水费为 元；
当 时，该月的水费为 元．
综上所述，该月的水费为当 时， 元；当 时， 元；
当 时， 元．
（3）∵ （元）， （元）， ，
∴该户居民5月份实际用水量超过 且不超过 ．
根据题意得： ，
解得： ．
答：该户居民5月份实际用水8.5立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解（2）的关键是分类讨论，
用含x的代数式表示出该月的水费；解（3）的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
22．某中学计划订购一批校服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批校服，已知甲加工厂每天能加工这种
校服 套，乙工厂每天能加工这种校服 套，且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用 天．（请用
一元一次方程解答）
(1)求这批校服共有多少套？
(2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高 ，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的 倍还少
天，求乙工厂一共加工了多少天？
【答案】(1)这批校服共有 套；
(2)乙工厂一共加工了 天．
【分析】（1）设单独加工这批校服乙工厂需要 天，则甲工厂需要 天，根据两工厂生产的校服一
样多这一等量关系列方程，解出方程，即可求出这批校服的套数；
（2）设实际生产中甲工厂的工作时间为 天，则乙工厂的全部工作时间为 天，根据校服共 套，
找到等量关系列出方程求解即可．
【解析】（1）解：设单独加工这批校服乙工厂需要 天，则甲工厂需要 天，
根据题意，得 ，
解得 ，
所以 （套）．
答：这批校服共有 套．
（2）解：设实际生产中甲工厂的工作时间为 天，则乙工厂的全部工作时间为 天，
题意，得 ，
解得 ，
所以 （天），
答：乙工厂一共加工了 天．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．
23．2020年，某商场开展“双十一”促销活动，将 ， 两种电器捆绑售卖， 电器降价 ， 电器
降价 ，已知 ， 两种电器的原销售单价之和为2500元，小明参加活动购买 ， 电器各一件，
共付1900元．
(1) ， 两种电器原销售单价各是多少元？
(2)若商场在这次促销活动中 电器盈利 ， 电器亏损 ，你认为商场在这次促销活动中是盈利还
是亏损了？ ， 两种电器捆绑售卖一件盈利或亏损了多少元？【答案】(1) 电器原销售单价为1500元，则 电器原销售单价为1000元；
(2) ， 两种电器捆绑售卖一件盈利了65元
【分析】（1）设 电器原销售单价为 元，则 电器原销售单价为 元，根据小明参加活动购买
， 电器各一件，共付1900元，列方程求解即可；
（2）设 电器进价为 元 件， 电器的进价为 元 件，根据题意，列方程求 ，再用 进
行计算，即可得解．
【解析】（1）解：设 电器原销售单价为 元，则 电器原销售单价为 元，
根据题意，得 ．
解得 ．
所以 ．
答： 电器原销售单价为1500元，则 电器原销售单价为1000元；
（2）解：设 电器进价为 元 件， 电器的进价为 元 件，
根据题意，得 ，
．
解得 ， ．
所以 （元 ．
答：商场在这次促销活动中盈利了， ， 两种电器捆绑售卖一件盈利了65元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握：折扣价等于原售价乘以折扣率，利润率等于利润除以
进价，是解题的关键．
24．已知关于 的代数式： ， ，且代数式 ．
(1)若 时，化简代数式 ；
(2)若代数式 是关于 的一次多项式，求 的值；
(3)当 是关于 的一元一次方程时，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）先化简代数式 ，再把 代入即可；
（2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得 值，代入 即可即可；
（3）依据一元一次方程是只含一个未知数并且未知数的次数为1的方程可得 值代入 即可．
【解析】（1）解：
把 代入上式得：
故答案为： ．
（2）解：由（1）可知： ，
由题意 是关于 的一次多项式得： ， ，
解得： ， ，
将 ， 代入 ，
故答案为：9．
（3）解：因为 是关于 的一元一次方程，
所以： ， ，
解得： ， ， ，
将 ， 代入把 代入
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键．
25．如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为 ，A在B的右边，且A与B的距离是5，动点P从点
B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速
度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为t（ ）秒．
(1)写出数轴上点A表示的数___________，与点A的距离为3的点表示的数是___________．
(2)点P表示的数___________（用含t的代数式表示），点Q表示的数___________（用含t的代数式表
示）．
(3)问点P与点Q何时到点O距离相等？
【答案】(1)3，0或6
(2) ，
(3) 或1
【分析】（1）由 的长结合点A所在的位置可得出点A表示的数，与点A的距离为3的点有两个，根据
两点间的距离即可得出；
（2）由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数；
（3）由点P与点Q到点O距离相等，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）∵点B表示的数为 ，A在B的右边，且A与B的距离是5，
∴点A表示的数为 ，
∵ ， ，
∴与点A的距离为3的点表示的数是0或6．
故答案为：3；0或6．
（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ．故答案为： ； ．
（3）依题意，得： ，
即 或 ，
解得： 或 ．
答：当 或 时，点P与点Q到点O距离相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据路程
=速度×时间，用含t的代数式表示出点P，Q表示的数．
26．如图，点A，B，C，D在同一平面内，利用尺规，按下列要求作图并作答．
(1)画射线 ，连接线段 交线段 于点E；
(2)在射线 上求作一点F，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据射线、线段的定义画图即可；
（2）以点C为圆心，以 为半径画弧，交 的延长线于点G，以点G为圆心，以 为圆心画弧，交
线段 于点F，则点F即为所求的点.
【解析】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，点F即为所求.【点睛】本题考查了线段、射线的作图，以及尺规作图-线段的和差，理解线段、射线的特征和线段和差的
定义是解答本题的关键.
27．如图，平面内有彼此距离相等的三个点A，B，C，请按要求完成下列问题：
(1)利用直尺和圆规，在线段 的延长线上作线段 ，使 ，并连接线段 （保留画图痕迹）；
(2)用量角器度量 的度数是________（精确到1°）．
【答案】(1)见解析
(2)96°
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用测量法解决问题即可．
（1）
解：线段CD，线段AD即为所求，如图所示：
（2）
解：测量法可知，∠BAD＝96°．
故答案为：96°．
【点睛】本题主要查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．如图，点 为线段 上一点， 为线段 的中点， 为线段 的中点， ．(1)求 的长；
(2)若 ，且点 为 的中点，求 的长．
【答案】(1)3
(2)0.5．
【分析】（1）根据 分别是 的中点，可得 ， ，进而得知 ，
再结合 ，即可求出 的长；
（2）根据 ， ，可得 ， 的中点，可得 ，再依据 为线
段 的中点，可知 ，再由 即可求解．
【解析】（1）解：∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴
∵ 的中点，
∴
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离和线段中点的概念，掌握线段的和差计算，灵活运用数形结合思想
是解题关键．
29．如图所示，点C在线段 上，点M，N分别是 ， 的中点．(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，其他条件不变，你能猜想出 的长度吗？并说明理由；
(3)若点C是线段 延长线上一点，且满足 ，其他条件不变，请画出图形，并直接写出
的长度．
【答案】(1) 的长为5cm
(2) 的长度为 ，理由见解析
(3)画图见解析， 的长度为
【分析】（1）根据点M、N分别是 、 的中点，先求出 、 的长度，则 ；
（2）根据点M、N分别是 、 的中点， ，所以 ；
（3）点C是线段 延长线上一点， 所以 ．
【解析】（1）解：∵点M，N分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ 的长为 ；
（2）解： 的长度为 ，
理由：∵点M，N分别是 ， 的中点，∴ ，
∵A ，
∴
，
∴ 的长度为 ；
（3）如图：
的长度为 ，
理由：∵点M，N分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵A ，
∴
，
∴ 的长度为 ．
【点睛】本题考查线段的中点，线段的和差倍分关系，正确画出图形是解题的关键．
30．如图，已知线段 上有两个定点B，C．
(1)图中共有____________条线段．
(2)若在线段 上增加一点，则增加了_____________条线段．(3)现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠五个站．问：①有____________种票价；②要准备
____________种车票．
(4)已知A，B两地之间相距140km，在A，B所在的公路（ 看成直线）上有一处C，且B与C之间的距
离为40km，M在A，C两地的正中间，求M与A地之间的距离．
【答案】(1)6
(2)4
(3)①21；②42
(4) 或 ．
【分析】（1）根据图形数出线段的条数即可；
（2）根据图形数出线段的条数即可，注意要做到不重不漏；
（3）①当直线m上有2个点时，线段的总条数为1，直线m上有3个点时，线段的总条数为 ，直
线m上有4个点时，线段的总条数为 条，…由此得出当直线m上有n个点时，线段的总条数为
，根据点数为7可求票价；
②因车票需要考虑方向性，故需要准备车票的种类是票价的2倍，用票价得数量 可得车票的数量；
（4）根据线段的和差可得答案，注意要分情况讨论．
【解析】（1）解：图中有6条线段，线段 ．
故答案为：6；
（2）解：增加一个点后共有10条线段，
所以会增加4条线段．
故答案为：4；
（3）解：当直线m上有2个点时，线段的总条数为1，
直线m上有3个点时，线段的总条数为 ，
直线m上有4个点时，线段的总条数为 ，
…
由此得出当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ，
①现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠五个站，
所以直线上共有7个点，共有线段 （条），所以共有21种票价；
②因车票需要考虑方向性，故需要准备车票的种类是票价的2倍，
所以 （种），
所以共有42种票价．
故答案为：①21；②42；
（4）解：当点C在线段 上时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ；
当点C在线段 的延长线上时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ；
综上， 或 ．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题．
31．如图，已知，C为线段 上一点，D为 的中点，E为 的中点，F为 的中点
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ， ，取 的中点G， 的中点H， 的中点P，求 的长(用含a的式子表
示)．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据线段中点的性质，进行线段的和差运算，即可求得；
(2)设 ， ，则 ， ，根据线段中点的性质，进行线段的和差运
算，可得 ，据此即可求得；
(3)设 ， ，即 ，则 ， ，根据线段中点的性质，进行
线段的和差运算，即可求得．
【解析】（1）解： 为 的中点，E为 的中点，
， ，
，
为 的中点，
∴ ，
；
（2）解：设 ， ，则 ， ，
，
为 的中点，
，
∴ ；
，
，
，，
即 的值为 ；
（3）解：如图，
设 ， ，即 ，则 ， ，
的中点为G， 的中点为H，
， ，
，
的中点为P，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段中点的有关运算，线段的和差运算，熟练掌握和运用线段中点的有关运算是解决
本题的关键．
32．如图，已知 与 互余， ，OC是 的角平分线，求 的度数．
【答案】
【分析】先根据互余的定义求得 ，再根据 是 的角平分线， ，即可求得
的度数．
【解析】解： 与 互余，
，
是 的角平分线，，
．
【点睛】此题考查了互余、角平分线的定义等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键．
33．如图， 是 内的一条射线， 、 分别平分 、 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ，试猜想 与 、 的数量关系并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）先求出 的度数，再根据角平分线的定义 和 的度数，最后根据
即可求解；
（2）用和（1）相同的方法即可求解．
【解析】（1）解： ， ，
，
、 分别平分 、 ， ，
，
，
；
（2） ， ，
，
、 分别平分 、 ，
，
，．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据角平分线的定义
和各个角之间的和差关系计算角度．
34．如图，O为直线AB上一点， ， 平分 ， ．
(1)求出 的度数；
(2)试判断 是否平分 ，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2) 平分 ,理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的性质进行解答即可；
（2）分别求出 和 的度数，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
答： 的度数为 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度计算，读懂题意，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
35．己知 ，(1)如图1， 平分 ， 平分 ，若 ，则 是__________°；
(2)如图2， 、 分别平分 和 ，若 ，求 的度数．
(3)若 、 分别平分 和 ， ，则 的度数是__________
（直接填空）．
【答案】(1)11
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质求出 的度数，进而求出 的度数，最后根据角平分线的概
念计算求解即可；
（2）首先求出 ，进而求出 ，然后根据角平分线的概念求出 ，最后
根据角的和差关系求解即可；
（3）分析两种情况讨论，计算方法同（2）．
【解析】（1）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（3）①若 或 至少有一个在 内部时，如下图，
则
；
②若 和 都在 外部时，如下图，
则
，
综上 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．
36．已知 ，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则 ______°
(2)如图②，若 ， ，则 ______°
(3)如图③，在∠AOB内，若 ，则 ______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（ ， ），求
此时∠MON的度数．
【答案】(1)80
(2)80
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ， ，
，则 ；
（2）根据角平分线的定义得到 ， ，而 ，
则 ，所以 ；（3）与（2）一样得到 ， ，则 ；
（4）反向延长 、 得到 、 ，然后分类讨论：当 、 在 内部；当 、 在
内部，可计算得到 ；
当 、 在 内部，可计算得到 ；当 、 在 内部，可计算得到
．
【解析】（1）解： 、 是 的三等分线，
，
射线 、 分别平分 和 ，
， ，
；
故答案为80；
（2）解： 射线 、 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
，
；
故答案为80；
（3）解： 射线 、 分别平分 和 ，
， ，
，， ，
，
，
；
故答案为 ；
（4）解：反向延长 、 得到 、 ，如图，
当 、 在 内部，
设 ，则 ，
， ，
；
当 、 在 内部，可计算得到 ；
当 、 在 内部，可计算得到 ；
当 、 在 内部，可计算得到 ．
【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
37．由两块 的长方形和一块边长为 的正方形拼成如下图形．(1)如图1，用含 、 、 的式子表示出该图形的面积________（直接写出结果）
(2)已知 ， ．
①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的二个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影
三角形的面积分别记作 和 ，试通过计算比较 与 的大小关系；
②如图3， 是边长为 的正方形 边 上一个点， 、 是图形上如图所示的两个顶点，点 为
线段 上一动点，当三角形 的面积不随点 位置变化而变化，求 的长度．（用含 的式子表
示）
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式即可得出答案；
（2）①作出辅助线如图所示，用长方形面积减去三个三角形面积即可得出 和 ，然后作差比较即可；
②设 的长度为x，根据三角形 的面积不随点 位置变化而变化，可得 ，据此列出等
式，即可求出 的长度．
【解析】（1）解：正方形的面积为： ，两个长方形的面积为： ，
因此该图形面积为： ，故答案为： ；
（2）解：①如图所示：
，
，
，
；
②如图，
设 的长度为x，则 ．
，
，
点 为线段 上一动点，三角形 的面积不随点 位置变化而变化，
，
，
解得 ，
即 的长度为 ．
【点睛】本题考查代数式的应用，整式的加减运算，解一元一次方程，能够用代数式表示出相关三角形的面积是解题的关键．
