文档内容
清单 01 有理数（18 个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中
考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”
号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
1．（2022秋•清镇市期末）贵阳市冬季某天的最高气温为3℃，最低气温为﹣2℃，则﹣2℃表示气温为（
）
A．零下3℃ B．零下2℃ C．零上2℃ D．零上3℃
2．（2022秋•宁德期末）某工厂计划一周5个工作日每天生产汽车零件200个，实际每天的产量与计划产
量相比，结果（超过的个数记为正数，不足的个数记为负数）如下：﹣2，﹣10，+12，0，+6．则工厂
这周5个工作日实际生产汽车零件共 个．
考点二．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数 ；②按正数、负数与0的关系分类：有理数 ．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循
环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有
理数．
3．（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负
数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022秋•桂林期末）将下列有理数：﹣1.5，3.2， ，0，﹣2， 分别填入相应大括号内：
（1）正数：{ …}；
（2）整数：{ …}；
（3）负分数：{ …}．
考点三．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
5．（2022秋•南明区期末）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且AC+BC＝3，那么点
C所在的位置可能在（ ）
A．点A左侧 B．点A和点B之间
C．点B右侧 D．无法确定
6．（2022秋•清江浦区校级期末）在数轴上到3的距离为6的点所表示的数是（ ）
A．9 B．9或﹣3 C．﹣9或﹣3 D．﹣3
考点四．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如 a的相反数是﹣a，
m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
7．（2022秋•孝南区期末）若x的相反数是它本身，则x＝ ．
8．（2022秋•宁波期末）若a，b互为相反数，则（a+b）2＝ ．
考点五．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
9．（2022秋•绥棱县期末）绝对值最小的有理数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
10．（2022秋•衢江区期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
A．|a|＝a（a＞0） B．|a|＝a（a＜0） C．|a|＝﹣a（a≥0） D．|a|＝﹣a（a≤0）
考点六．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一项
都必须等于0．
11．（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．2022
12．（2022秋•浏阳市期末）已知|5+a|+|b﹣2|＝0，则2a﹣b+7的值为 ．
考点七．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a• ＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
13．（2022秋•潍坊期末） 的倒数是（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
14．（2022秋•阿荣旗校级期末）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
考点八．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，
右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的
大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
15．（2022秋•顺平县期末）有理数a、b、c、d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是
（ ）A．a B．b C．c D．d
16．（2022秋•五华区期末）在有理数﹣2.5，+2，﹣3，0， 中，最小的是 ．
考点九．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用那一条
法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
17．（2022秋•长春期末）定义：对于一个有理数，我们把{x}称为x的相伴数．若x≥0，则 x﹣
1；若x＜0，则 x+2．计算{3}+{﹣1}的结果为（ ）
A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5
18．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C． D．2
考点十．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号
（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
19．（2022秋•杜尔伯特县期末）100比80大（ ）
A．20% B．25% C．80% D．60%20．（2022秋•阿克苏市期末）某市今年1月份某天的最高气温为6℃，最低气温为﹣1℃，则该市这天的
最高气温比最低气温高 ℃．
考点十一．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的
形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
21．（2022秋•昌图县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（ ）
A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5
22．（2022秋•龙马潭区期末）计算：12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣|﹣15|．
考点十二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
23．（2022秋•固安县期末）如果□× ，那么“□”内应填的数是（ ）
A． B．4 C． D．﹣4
24．（2022秋•武冈市期末）对于有理数x，y，若xy＜0，则 的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
考点十三．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把
绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除
混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
25．（2022秋•阿荣旗校级期末）计算： 的结果是（ ）
A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2
26．（2022秋•垫江县期末）计算 （﹣6）÷（﹣ ）×6的结果是（ ）
A．6 B．36 C．﹣1 D．1
考点十四．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结
果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整
数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
27．（2022秋•平桥区期末）计算：6÷（﹣1）3﹣|﹣22×3|．
28．（2022秋•密云区期末）计算： ．
考点十五．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
29．（2022秋•五华区期末）如果|x﹣2|+（y+3）2＝0，那么yx的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6
30．（2022秋•湛江校级期末）若|x+6|+（y﹣2）2＝0，则xy＝ ．
考点十六．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
31．（2022秋•丰都县期末）现规定一种新的运算“*”：x*y＝xy，如3*2＝32＝9，则（﹣ ）*3的结果
为（ ）
A． B． C． D．
32．（2022秋•二七区校级期末）﹣23÷4﹣|﹣5|×（﹣1）2023＝ ．
考点十七．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说
法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前
者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
33．（2022秋•二道区校级期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.051（精确到千分位）C．0.05（精确到百分位）
D．0.0502（精确到0.0001）
34．（2022秋•东台市期末）2021年，中国宣布现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，提前十年完成
《联合国2030年可持续发展议程》减贫目标．近似数9899万精确到 位．
考点十八．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
35．（2022 秋•二七区校级期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约
55000000000千克．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×1011千克 B．55×109 千克
C．5.5×1010千克 D．5.5×1011千克
36．（2023春•合浦县期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和
药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数
法表示约为（ ）
A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg
C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg
【核心素养提升】
1、直观想象--利用数形结合的思想方法比较大小或化简求值
1．（2022秋•闽侯县校级期末）如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|2a+6|+|b
﹣9|＝0
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在点A、点B之间的
数轴上找一点C，使BC＝2AC，则C点表示的数为 ；
（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，
这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间
为t秒．
请用含t的代数式表示：点P到点A的距离PA＝ ，点Q到点B的距离QB＝
；点P与点Q之间的距离PQ＝ ．
2．（2022秋•和平区校级期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b﹣1）2
＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA﹣PB＝2时，求x的值；
（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当点P在A的左侧移动时，PN﹣PM的值是否
有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由．
2、分类讨论思想
3．（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的
距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 A，B，C所表
示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数： ，0，1，4，5所对应的点分别为C ，C ，
1 2
C ，C ，C ，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
3 4 5
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点 P表示
的数．4．（2022秋•福田区期末）[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示
为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为 ．
[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，
对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 ，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数
x为 ；
（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度
为每秒1个单位长度，则经过 秒点A追上点B；
（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时
点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点 A、点B、
点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？【中考热点聚焦】
热点 1、用正数和负数表示具有相反意义的量
1．（2023•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向
西走80米可记作（ ）
A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
热点 2、相反数、倒数、绝对值的概念
2．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（ ）
①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与﹣2互为倒数 B．2与 互为相反数
C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2
热点 3、数轴
4．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
3．（2023•杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在
数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
热点 4、有理数的大小比较及运算
6．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，
0℃，2℃，其中最低气温是（ ）A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
7．（2023•台湾）已知a＝﹣1， ，c＝﹣1 ，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确
（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
热点 5、科学记数法
8．（2023•湖州）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，
2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（ ）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
热点 6、有关有理数的规律探究
9．（2022•鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存
空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，
22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据
其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
11．（2022•牡丹江）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
12．（2023•甘孜州）有一列数，记第n个数为a ，已知a ＝2，当n＞1时，a ＝ ，
n 1 n
则a 的值为 ．
2023
热点 7、有关有理数的新定义运算
13．（2023•内蒙古）定义新运算“ ”，规定：a b＝a2﹣|b|，则（﹣2） （﹣1）的运算结果为
（ ） ⊗ ⊗ ⊗
A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3
