文档内容
清单 01 有理数（18 个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中
考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”
号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
1．（2022秋•清镇市期末）贵阳市冬季某天的最高气温为3℃，最低气温为﹣2℃，则﹣2℃表示气温为（
）
A．零下3℃ B．零下2℃ C．零上2℃ D．零上3℃
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可进行解答．
【解答】解：﹣2°C表示气温为零下2℃，
故选：B．
【点评】本题主要考查了负数的意义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量．
2．（2022秋•宁德期末）某工厂计划一周5个工作日每天生产汽车零件200个，实际每天的产量与计划产
量相比，结果（超过的个数记为正数，不足的个数记为负数）如下：﹣2，﹣10，+12，0，+6．则工厂
这周5个工作日实际生产汽车零件共 个．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：﹣2﹣10+12+0+6＝6，
200×5+6＝1006，
故答案为：1006．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．考点二．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数 ；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数 ．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循
环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有
理数．
3．（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负
数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．
【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；
②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；
③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；
④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．
4．（2022秋•桂林期末）将下列有理数：﹣1.5，3.2， ，0，﹣2， 分别填入相应大括号内：
（1）正数：{ …}；
（2）整数：{ …}；
（3）负分数：{ …}．
【分析】利用有理数的分类以及各自的定义即可得到结果．
【解答】解：（1）正数：{3.2， ，…}．故答案为：3.2， ；
（2）整数：{ 0，﹣2，…}．
故答案为：0，﹣2；
（3）负分数：{﹣1.5，﹣ …}．
故答案为：﹣1.5，﹣ ．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．
考点三．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
5．（2022秋•南明区期末）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且AC+BC＝3，那么点
C所在的位置可能在（ ）
A．点A左侧 B．点A和点B之间
C．点B右侧 D．无法确定
【分析】根据数轴，判断A，B两点表示的数，求出AB，从而确定点C的位置．
【解答】解：由数轴可知：点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，
∴AB＝|﹣2﹣1|＝3，
∵AC+BC＝3，
∴点C一定在点A和点B之间，
故选：B．
【点评】本题主要考查了数轴的有关知识，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
6．（2022秋•清江浦区校级期末）在数轴上到3的距离为6的点所表示的数是（ ）
A．9 B．9或﹣3 C．﹣9或﹣3 D．﹣3
【分析】此题是有理数的运算，到点3的距离为6的点即可能在点3的左侧，也可能在点3的右侧，因
此需要考虑两种情况．
【解答】解：当所求点在3的左侧时，得3+6＝9，当所求点在3的右侧时，得3﹣6＝﹣3．
故在数轴上到3的距离为6的点所表示的数是9或﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查数轴上到点距离的问题，在没有明确点的位置时，考虑此问题一定要全面．
考点四．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个
数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，
m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
7．（2022秋•孝南区期末）若x的相反数是它本身，则x＝ ．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵x的相反数是它本身，
∴x＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
8．（2022秋•宁波期末）若a，b互为相反数，则（a+b）2＝ ．
【分析】互为相反数的两数的和是0，由此即可计算．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴（a+b）2＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查相反数，平方的概念，关键是掌握相反数的定义．
考点五．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
9．（2022秋•绥棱县期末）绝对值最小的有理数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据绝对值的定义，绝对值就是到原点的距离，距离为0最小．
【解答】解：正数的绝对值是正数；负数的绝对值是正数；0的绝对值是0，
正数大于0，所以绝对值最小的数是0．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值问题，掌握知识点绝对值最小的数是0是解题关键．
10．（2022秋•衢江区期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
A．|a|＝a（a＞0） B．|a|＝a（a＜0） C．|a|＝﹣a（a≥0） D．|a|＝﹣a（a≤0）
【分析】正数的绝对值等于它本身，既然是正数，所以a＞0，a的绝对值是|a|，所以|a|＝a．
【解答】解：用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是：|a|＝a（a＞0）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的
绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是
零．
考点六．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一项
都必须等于0．
11．（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．2022
【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，进而可得出结论．
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2022＝（﹣2+1）2022＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必
须等于0是解题的关键．
12．（2022秋•浏阳市期末）已知|5+a|+|b﹣2|＝0，则2a﹣b+7的值为 ．
【分析】根据绝对值的非负性求出a，b的值，进而求出代数式的值．
【解答】解：∵|5+a|+|b﹣2|＝0，∴5+a＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣5，b＝2，
∴2a﹣b+7＝2×（﹣5）﹣2+7＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了代数式求值，绝对值的性质，根据绝对值的非负性求出字母的值是的关键．
考点七．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a• ＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．
倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
13．（2022秋•潍坊期末） 的倒数是（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得到结论．
【解答】解： 的倒数是﹣2023，
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
14．（2022秋•阿荣旗校级期末）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【分析】根据倒数的定义可知如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．
【解答】解：如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1，
故选：D．
【点评】此题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．尤其是±1这两个特殊的数字．
考点八．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，
右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的
大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
15．（2022秋•顺平县期末）有理数a、b、c、d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是
（ ）
A．a B．b C．c D．d
【分析】数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，
然后求出最小的即可．
【解答】解：由数轴可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，d＝3，
故这四个数中，绝对值最小的是：c．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键．
16．（2022秋•五华区期末）在有理数﹣2.5，+2，﹣3，0， 中，最小的是 ．
【分析】根据有理数的大小比较方法即可求得答案．【解答】解：﹣3＜﹣2.5＜0＜ ＜+2，
即最小的是﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
考点九．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用那一条
法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
17．（2022秋•长春期末）定义：对于一个有理数，我们把{x}称为x的相伴数．若x≥0，则 x﹣
1；若x＜0，则 x+2．计算{3}+{﹣1}的结果为（ ）
A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5
【分析】根据相伴数的定义计算求解即可．
【解答】解：∵3＞0，﹣1＜0，
∴{3}+{﹣1}，
＝ ，
＝
＝2.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解“相伴数”的定义是解题的关
键．
18．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（ ）A．﹣3 B．﹣1 C． D．2
【分析】利用题意列出算式解答即可．
【解答】解：﹣2+1＝﹣1，
∴比﹣2大1的数是﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的加法，利用题意列出算式是解题的关键．
考点十．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号
（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
19．（2022秋•杜尔伯特县期末）100比80大（ ）
A．20% B．25% C．80% D．60%
【分析】根据题意列出算式（100﹣80）÷80，然后计算即可．
【解答】解：（100﹣80）÷80＝20÷80＝25%，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法、除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
20．（2022秋•阿克苏市期末）某市今年1月份某天的最高气温为6℃，最低气温为﹣1℃，则该市这天的
最高气温比最低气温高 ℃．
【分析】根据题意运用该月的最高气温减去最低气温进行求解．
【解答】解：6﹣（﹣1）
＝6+1
＝7（°C），
故答案为：7．
【点评】此题考查了有理数减法的应用能力，关键是能准确根据题意进行列式、求解．
考点十一．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
21．（2022秋•昌图县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（ ）
A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5
【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加
号变减号，减号变加号．
【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5．
故答案为：A．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便可解决问题．
22．（2022秋•龙马潭区期末）计算：12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣|﹣15|．
【分析】根据利用有理数的混合运算法则计算，即可得出问题的答案．
【解答】解：原式＝12+18﹣7﹣15＝8．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
考点十二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
23．（2022秋•固安县期末）如果□× ，那么“□”内应填的数是（ ）
A． B．4 C． D．﹣4
【分析】根据乘积为1的数互为倒数即可求解．
【解答】解：∵□× ，
∴□＝﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法及倒数，理解题意掌握倒数的定义是解题的关键．
24．（2022秋•武冈市期末）对于有理数x，y，若xy＜0，则 的值是（ ）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】先判断绝对值里面的代数式的符号再计算．
【解答】解：∵xy＜0，
∴x，y异号，
当x＞0，y＜0时，则 ，
当x＜0，y＞0时，则 ，
综上， 的值是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的计算，掌握分类讨论思想是关键．
考点十三．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把
绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除
混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
25．（2022秋•阿荣旗校级期末）计算： 的结果是（ ）
A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2
【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算即可求解．
【解答】解：（﹣4）÷（﹣ ）＝4×2＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，是基础题，有理数的运算要注意运算符号的处理，这也是
七年级同学最容易出错的地方．
26．（2022秋•垫江县期末）计算 （﹣6）÷（﹣ ）×6的结果是（ ）
A．6 B．36 C．﹣1 D．1
【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【解答】解： （﹣6）÷（﹣ ）×6＝ （﹣6）×（﹣6）×6
＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
考点十四．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结
果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整
数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
27．（2022秋•平桥区期末）计算：6÷（﹣1）3﹣|﹣22×3|．
【分析】先计算乘方，再计算乘除，后计算绝对值和加减．
【解答】解：6÷（﹣1）3﹣|﹣22×3|
＝6÷（﹣1）﹣|﹣4×3|
＝﹣6﹣|﹣12|
＝﹣6﹣12
＝﹣18．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
28．（2022秋•密云区期末）计算： ．
【分析】先计算有理数的乘方，然后根据有理数的乘除法和加法可以解答本题．
【解答】解：
＝9×（﹣ ）÷2
＝﹣12÷2
＝﹣6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．
考点十五．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
29．（2022秋•五华区期末）如果|x﹣2|+（y+3）2＝0，那么yx的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6
【分析】首先依据非负数的性质求得x、y的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴原式＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，依据非负数的性质求得x、y的值是解题的关键．
30．（2022秋•湛江校级期末）若|x+6|+（y﹣2）2＝0，则xy＝ ．
【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|x+6|+（y﹣2）2＝0，
∴|x+6|＝0，（y﹣2）2＝0，
∴x+6＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣6，y＝2，
∴xy＝（﹣6）2＝36，
故答案为：36．
【点评】本题考查了非负数的性质，代数式求值，初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次
方；③二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
考点十六．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．31．（2022秋•丰都县期末）现规定一种新的运算“*”：x*y＝xy，如3*2＝32＝9，则（﹣ ）*3的结果
为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据x*y＝xy，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：∵x*y＝xy，
∴（﹣ ）*3＝（﹣ ）3＝﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
32．（2022秋•二七区校级期末）﹣23÷4﹣|﹣5|×（﹣1）2023＝ ．
【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：﹣23÷4﹣|﹣5|×（﹣1）2023
＝﹣8÷4﹣5×（﹣1）
＝﹣2+5
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键．
考点十七．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说
法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前
者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
33．（2022秋•二道区校级期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.051（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位）
D．0.0502（精确到0.0001）
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解答】解：A．0.05019≈0.1（（精确到0.1），所以A选项不符合题意；
B．0.05019≈0.050（（精确到千分位），所以B选项符合题意；
C．0.05019≈0.05（（精确到百分位），所以C选项不符合题意；
D．0.05019≈0.0502（（精确到0.0001），所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，
它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪
个相对更精确一些．
34．（2022秋•东台市期末）2021年，中国宣布现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，提前十年完成
《联合国2030年可持续发展议程》减贫目标．近似数9899万精确到 位．
【分析】根据题目中的数据，可知近似数9899万精确到万位，本题得以解决．
【解答】解：9899万精确到万位．
故答案为：万．
【点评】本题考查了近似数，理解“精确度”是近似数的常用表现形式是解题的关键．
考点十八．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
35．（2022 秋•二七区校级期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约
55000000000千克．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×1011千克 B．55×109 千克
C．5.5×1010千克 D．5.5×1011千克
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，
n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：55000000000千克＝5.5×1010千克．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．36．（2023春•合浦县期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和
药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数
法表示约为（ ）
A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg
C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：100×0.00000201kg＝0.000201kg＝2.01×10﹣4kg．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【核心素养提升】
1、直观想象--利用数形结合的思想方法比较大小或化简求值
1．（2022秋•闽侯县校级期末）如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|2a+6|+|b
﹣9|＝0
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在点A、点B之间的
数轴上找一点C，使BC＝2AC，则C点表示的数为 ；
（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动；同一时刻，
另一动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，
这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间
为t秒．
请用含t的代数式表示：点P到点A的距离PA＝ ，点Q到点B的距离QB＝
；点P与点Q之间的距离PQ＝ ．
【分析】（1）利用非负数和的性质得到2a+6＝0，b﹣9＝0，然后解方程求出a、b，从而得到点A和点
B表示的数；
（2）利用AB＝12，BC＝2AC得到BC＝8，AC＝4，则OC＝1，从而得到C点表示的数；
（3）由于点P4秒运动到B点，而Q点8秒运动到B点，所以分0≤t≤4和4＜t≤8计算点P到点A的距离PA；易得点Q到点B的距离QB＝8﹣t（0≤t≤8）；分P点在Q点左侧、P点运动到Q点右侧和P
点运动到B点进行计算．
【解答】解：（1）∵|2a+6|+|b﹣9|＝0
∴2a+6＝0，b﹣9＝0，解得a＝﹣3，b＝9，
∴点A表示的数为﹣3，点B表示的数为9；
（2）AB＝9﹣（﹣3）＝12，
∵BC＝2AC，
∴BC＝8，AC＝4，
∴OC＝1，
∴C点表示的数为1；
（3）点P到点A的距离PA＝ ；
点Q到点B的距离QB＝8﹣t（0≤t≤8）；
当0≤t≤2时，点P与点Q之间的距离 PQ＝t+4﹣3t＝4﹣2t，
当2＜t≤4时，点P与点Q之间的距离 PQ＝3t﹣t﹣4＝2t﹣4，
当4＜t≤8时，点P与点Q之间的距离 PQ＝8﹣t．
即PQ＝ ．
故答案为﹣3，9；1； ；8﹣t（0≤t≤8）； ．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．
（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）一般来说，当数轴方向朝右时，
右边的数总比左边的数大．数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．
2．（2022秋•和平区校级期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b﹣1）2
＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA﹣PB＝2时，求x的值；
（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当点P在A的左侧移动时，PN﹣PM的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由．
【分析】（1）由|a+2|+（b﹣1）2＝0，得出a+2＝0，b﹣1＝0求出a，b的值，即可求出线段AB的值；
（2）分类讨论A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；
（2）当P在A的左侧移动时，设点P对应的数为x，列式求出|PN|﹣|PM|的值即可．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∵点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，
∴线段AB的长为3；
（2）当P在点A左侧时，
|PA|﹣|PB|＝﹣（|PB|﹣|PA|）＝﹣|AB|＝﹣3≠2；
当P在点B右侧时，
|PA|﹣|PB|＝|AB|＝3≠2．
∴上述两种情况的点P不存在；
当P在A、B之间时，|PA|＝|x﹣（﹣2）|＝x+2，|PB|＝|x﹣1|＝1﹣x，
∵|PA|﹣|PB|＝2，
∴x+2﹣（1﹣x）＝2，
∴x＝ ，
即x的值为 ；
（3）|PN|﹣|PM|的值不变，值为 ．
∵|PN|﹣|PM|
＝ |PB|﹣ |PA|
＝ （|PB|﹣|PA|）
＝ |AB|
＝ ，
∴|PN|﹣|PM|＝ ．
【点评】本题考查了数轴的性质，掌握数轴上两点间的距离，运用数形结合的数学思想是解题的关键．2、分类讨论思想
3．（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的
距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点 A，B，C所表
示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数： ，0，1，4，5所对应的点分别为C ，C ，
1 2
C ，C ，C ，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
3 4 5
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点 P表示
的数．
【分析】（1）根据两点间的距离易得AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC ，AC ，BC 的长，
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
根据定义，进行判断即可求解．
（2）这两个小题运用分类讨论，再由方程即可求得．
【解答】解：（1）∵AC ═﹣ ﹣（﹣1）═ ，BC ═2﹣（﹣ ）═ ，
1 1
∴2AC ≠BC ，
1 1
∴C 不是A，B的“联盟点”．
1
∵AC ═0﹣（﹣1）═1，BC ＝2﹣0＝2，
2 2
∴2AC ═BC ，
2 2
∴C 是A，B的“联盟点”．
2
∵AC ═1﹣（﹣1）＝2，BC ═2﹣1＝1，
3 3
∴AC ═2BC ，
3 3
∴C 是A，B的“联盟点”．
3
∵AC ═4﹣（﹣1）＝5，BC ═4﹣2＝2，
4 4
∴AC ≠BC ，
4 4
∴C 不是A，B的“联盟点”．
4
∵AC ═5﹣（﹣1）＝6，BC ═5﹣2＝3，
5 5
∴AC ═2BC ，
5 5∴C 是A，B的“联盟点”．
5
综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C ，C ，C ．
2 3 5
（2）解；设点P表示的数为x，
①∵P在线段AB上，
∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，
当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝ ，
当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝ ，
综上所述，点P 表示的数为 ， ．
②由题意得，AB＝4，
∵P在A的左侧，
∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，
当点A为B，P的“联盟点”时，
若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，
若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，
当点B为A，P的“联盟点”时，
2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，
当点P为A，B的“联盟点”时，
BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，
综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．
【点评】此题考查了新定义，分类讨论，方程思想，两点间的距离．
4．（2022秋•福田区期末）[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示
为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为 ．
[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，
对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 ，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数
x为 ；
（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，则经过 秒点A追上点B；
（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时
点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点 A、点B、
点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据线段中点坐标公式即可求解；
（3）根据点A追上点B时，点B和点A的路程差＝A，B两点运动的速度差×时间，求解即可；
（4）根据动点的运动分三种情况讨论其中一个点是另外两个点的中点即可求解．
【解答】解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝4，b＝2．
故答案为4、2．
（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，
若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝ ＝3，
若B为线段AP的中点时，则 ＝2，解得x＝0．
故答案为3，0；
（3）解：设经过x秒点A追上点B，
（3﹣1）x＝4﹣2，
2x＝2，
x＝1，
答：经过1秒点A追上点B．
（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，
t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，
当点A为PB的中点时，则有，
2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝ ，
当点B为PA的中点时，则有，
2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝ ，
当点P为BA的中点时，则有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝ ，
答：经过 秒， 秒， 秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．
故答案为： 秒， 秒， 秒．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质；绝对值；偶次方，解决本题的难点是
弄清楚点的运动方向和运动后点的位置的表示，同时分类思想也是本题的亮点．
【中考热点聚焦】
热点 1、用正数和负数表示具有相反意义的量
1．（2023•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向
西走80米可记作（ ）
A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
【分析】正数和负数可以表示具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：∵向东走60米记作+60米，
∴向西走80米可记作﹣80米，
故选：A．
【点评】本题考查正数与负数的实际意义，明确正数和负数是一对具有相反意义的量最为关键．
热点 2、相反数、倒数、绝对值的概念
2．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（ ）
①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据相反数的定义判断①；根据绝对值的性质判断②；根据倒数的定义判断③．
【解答】解：①﹣2022的相反数是2022，故①符合题意；
②﹣2022的绝对值是2022，故②符合题意；
③ 的倒数是2022，故③符合题意；
正确的个数是3个，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，倒数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
3．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与﹣2互为倒数 B．2与 互为相反数
C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2
【分析】根据倒数的定义判断A选项；根据相反数的定义判断B选项；根据0的相反数是0判断C选项；
根据正数的绝对值等于它本身判断D选项．
【解答】解：A选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；
B选项，2与 互为倒数，故该选项不符合题意；
C选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；
D选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值，掌握乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数
互为相反数是解题的关键．
热点 3、数轴
4．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2023•杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在
数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴﹣1＜a×b＜0，
即﹣1＜c＜0，
那么点C应在﹣1和0之间，
则A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．
热点 4、有理数的大小比较及运算
6．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，
0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
【分析】明确在实数中负数小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小．
【解答】解：由题可知：﹣20＜﹣10＜0＜2，
所以最低气温是﹣20℃．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较大小，题目难度较小，一般出现在期末第一题．
7．（2023•台湾）已知a＝﹣1， ，c＝﹣1 ，下列关于a、b、c三数的大小关系，何者正确
（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．
【解答】解：∵a＝﹣1， ，c＝﹣1 ，且﹣1＞﹣1 ＞﹣1 ，
∴a＞c＞b．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，关键是熟练掌握有理数的大小比较方法．
热点 5、科学记数法
8．（2023•湖州）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，
2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（ ）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n
是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：502000＝5.02×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
热点 6、有关有理数的规律探究
9．（2022•鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存
空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，
22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22022与22的尾数相同，即可求解．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，
∴2的乘方的尾数每4个循环一次，
∵2022÷4＝505…2，
∴22022与22的尾数相同，
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．
10．（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据
其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】由已知可得7n的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位
数字相同，即可求解．
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
∴7n的尾数1，7，9，3循环，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
∵2023÷4＝505…3，
∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，
∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7，
故选：C．
【点评】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．11．（2022•牡丹江）观察下列数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是 ×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值
即可．
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是 ×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是 ×（﹣1）12+1＝﹣ ．
故选：D．
【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问
题．
12．（2023•甘孜州）有一列数，记第n个数为a ，已知a ＝2，当n＞1时，a ＝ ，
n 1 n
则a 的值为 ．
2023
【分析】分别计算出a（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．
i
【解答】解：由题知，
a ＝2，
1
，
，
，
…
由此可知，．
所以a ＝2．
2023
故答案为：2．
【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的a（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．
i
热点 7、有关有理数的新定义运算
13．（2023•内蒙古）定义新运算“ ”，规定：a b＝a2﹣|b|，则（﹣2） （﹣1）的运算结果为
（ ） ⊗ ⊗ ⊗
A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3
【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
（﹣2） （﹣1）
＝（﹣2⊗）2﹣|﹣1|
＝4﹣1
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
