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专题 04 有理数章节压轴题专项训练
1．如果 ， ，那么 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分
子都是偶数，分母都是奇数 ， 把这两道算式相乘，得出积为 ，由此进一步再做比较
即可得解．
【详解】解：设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．
2．有一列数 ，将这列数中的每个数求其相反数得到 ，再分别求与1的和的倒
数，得到 ，设为 ，称这为一次操作，第二次操作是将 再进行
上述操作，得到 ；第三次将 重复上述操作，得到 ……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个
① ， ， ， ②
③ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．
【详解】解：由题意得： ， ， ， ，
， ， ， ，故①正确；
∵ ，
∴ 是由 经过503次操作所得，
∵ ， ， ， ，
∴ 、 、 、……，三个为一组成一个循环，
∵ ，
∴ ，故②错误；
依次计算： ， ， ， ，
， ， ， ，
，
则每3次操作，相应的数会重复出现，
，，
．故③错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．
3．如图， ， ， ， 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且
，数 对应的点到点 ， 的距离相等，数 对应的点到点 ， 的距离相等，
若 ，则原点是 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．
【详解】因为 ，
所以 ，
所以
当原点在 或 点时， ，又因为 ，所以原点可能在 或 点
当原点在 或 点时， ，所以原点不可能在 或 点
综上所述，原点应是在 或 点．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代
数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
4．对于正数 ，规定 ，例如 ，则的结果
是（ ）
A． B．4 C． D．4
【答案】A
【分析】计算出 的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【详解】解： ，
， ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，
利用题目中的新规定解答．
5．观察等式： ； ； ； ，已知按一定规律
排列的一组数： ， ， ．若 ，用含 的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题．
【详解】解： ；
；
；
，
，
，
，
原式 ．
故选：D．
【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键．
6．如果四个互不相同的正整数 满足 ，则
的最大值为（ ）
A．40 B．53 C．60 D．70
【答案】B
【分析】由题意确定出 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】∵四个互不相同的正整数 ，满足 ，
∴要求 的最大值，即m最大，4-m最小，则有： ， ， ，
，
解得： ，
则 ．
故选：B．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．现在有三个仓库 、 、 ，分别存有 吨、 吨、 吨某原材料；要将这种原材料运往三个
加工厂 、 、 ，每个加工厂都需要 吨原材料．从每个仓库运送 吨材料到每个加工厂的成
本如下表所示（单位：元 吨）：
（ ）
（
）
（
）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运 吨到 ；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
【答案】
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【详解】解：（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运
吨到 ，
故答案为： ；
（2）解：运费如下：
（ ）
（
）
（
）运输方案一：
（ ） 7
（
10 2
）
（
3 8
）
运费为：
运输方案二：
（ ） 7
（
2 10
）
（
3 8
）
运费为：
运输方案三：
（ ） 7
（
3 0 9
）
（
0 10 1
）
运费为：
故答案为：40．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键．
8．已知： ，且 ， 则 共有 个不同的值，若在这些不
同的 值中，最大的值为 ，则 ．
【答案】3【分析】根据绝对值的性质进行化简即可
【详解】 ， ，
， ， ，
， ， 三个数中有两负一正，
当 ， 为负， 为正数时，
当 ， 为负， 为正数时，
当 ， 为负， 为正数时，
共有 个不同的值，若在这些不同的 值中，最大的值为 ，
， ，
，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键9．怎样简便怎样算
(1) ；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)1
(4)
【分析】（1）根据 将原式变形为
即可得到答案；
（2）将原式先加上 ，再减去 ，根据有理数加减计算法则求解即可；
（3）根据 ，利用乘法的分配律将分子变形为 ，由此即
可得到答案；
（3）根据 先将括号内的式子变形为 ，再由
进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键．10．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现
了很多重要的规律，例如；数轴上点 、点 表示的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离
，线段 的中点表示的数为 ．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的
数为3．
(1)直接写出：线段 的长度是 ，线段 的中点表示的数为______；
(2) 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答： ，则 ： 有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，动点 在数轴上运动，若存在某个
位置，使得 ，则称点 是关于点 、 、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在
“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2) 或4；4
(3)存在； 或2
【分析】（1）数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段
的中点公式直接求出线段 的长度为4，线段 中点表示的数为1；
（2）按 或 或 化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按 或
或 分类讨论，求出在每种情况下 的值或取值范围，再进行比较，得出
结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按 或 或 分类讨论，根据
列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3，
∴ ， ，
∴线段 的长度为4，线段 中点表示的数为1；
故答案为：4；1．（2）解：当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
∴当 时，不存在x的值使 ；
当 时， ，
解得： ；
∴ 时， 或 ；
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的最小值为4；
故答案为： 或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解 ，
∴ ，
解得： ，
∴点S表示的数为6，
当 时，由 得：
，
解得： ；
当 时，由 得：
，
解得： ；
当 时，由 得：
或 ，解得： （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是 或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的
思想是解答本题的关键．
11．已知 为数轴上三点，当点 到点 的距离是点 到点 的距离3倍时，则称点 是
的三倍点，不是 的三倍点．若数轴上点 在原点的左边，且到原点的距离为1，点
在原点的右边，且到点 的距离为4．
(1)直接写出 两点表示的数；
(2)若点 是 的三倍点，求点 表示的数；
(3)若点 在点 的左边，是否存在使得 中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存
在，请求出点 表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 表示的数为 ，点 表示的数为3
(2)点 表示的数为2或5
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）根据数轴上点 在原点的左边，且到原点的距离为1可得出点 表示的数，根据点
在原点的右边，且到点 的距离为4可得出点 表示的数；
（2）设点 表示的数为 ，根据题意可得 ，求解即可得到答案；
（3）分四种情况： 若点 是 的三倍点； 若点 是 的三倍点； 若点 是
的三倍点； 若点 是 的三倍点；⑤若 是 的三倍点，分别求解即可得到
答案．
【详解】（1）解： 数轴上点 在原点的左边，且到原点的距离为1，
点 表示的数为 ，
点 在原点的右边，且到点 的距离为4，
点 表示的数为3；
（2）解：设点 表示的数为 ，由题意可得 ，
，
解得 或 ，
点 表示的数为2或5；
（3）解：存在．
假设存在点 为 ，满足题意，
若点 是 的三倍点，
由题意可得， ，
解得： ，
点 为 ；
若点 是 的三倍点，
由题意可得， ，
解得： ，
点 为 ；
若点 是 的三倍点，
由题意可得， ，
解得 ，
点 为 ；
若点 是 的三倍点，
由题意可得， ，
解得 ，
点 在点 的左边，即 ，因为 ，
所以不符合题意；
⑤若 是 的三倍点，
由题意可得， ，
解得 ，
故点 表示的数为 或 或 或 时使得 中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确理解“三倍点”
的定义，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
12．已知在数轴上，一动点 从原点 出发，沿着数轴以每秒 个单位长度的速度来回移动，第
次移动是向右移动 个单位长度，第 次移动是向左移动 个单位长度，第 次移动是向右移动 个
单位长度，第 次移动是向左移动 个单位长度，第 次移动是向右移动 个单位长度，…….
(1)求出 秒钟后动点 所在的位置；
(2)第 次移动后，点 在表示数______的位置上，运动时间为______ ；
(3)第 次移动后，点 运动时间为______ ，当 为奇数时，点 在表示数______的位置上；当
为偶数时，点 在表示数______的位置上；
(4)如果在数轴上有一个定点 ，且 与原点 相距 个单位长度，问：动点 从原点出发，可能
与 重合，若能，则第一次与点 重合需要多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3) ， ，
(4)1140秒或1164秒
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间；
（3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解；
（4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算
即可得解．
【详解】（1）解： ，
点 走过的路程是 ，
处于： ；
（2）解：Q处于： ；
∴点Q走过的路程是
秒，
故答案为： ， ．
（3）解：第 次移动后，点 运动时间为 ，
设 ，当 为奇数时，
∴点 在表示数为 的位置上；
当 为偶数时， 点 在表示数 的位置
故答案为： ， ， ．
（4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得 ，
动点 走过的路程是
，时间 秒 ；
②当点 原点左边时，设需要第 次到达点 ，则 ，
解得 ，
动点 走过的路程是
，
时间 秒 ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚
跳到点 处的次数的计算方法是关键．
13．阅读理解：对于有理数a、b， 的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离； 的
几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如： 的几何意义即数轴表示
数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1) 的几何意义：_____________；若 ，那么x的值是_________．
(2) 的几何意义：________________； 的最小值是______________
(3) 的最小值是多少？
【答案】(1)数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离， 或
(2)数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离与数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离之和，
(3)
【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解．
【详解】（1） 的几何意义：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离，若 ，即 或 ，解得 或 ，则x的值是 或 ，
故答案为：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离， 或
（2） 的几何意义：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离与数轴上表示 的点与
表示 的点之间的距离之和，
当 时， 的最小值是为
故答案为：数轴上表示x的点与表示 的点之间的距离与数轴上表示 的点与表示 的点之间的
距离之和，
（3）解：∵ 表示 到 的点的距离的和，
∴当 时， 最小，
最小值为
．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的混合运算，绝对值方程，掌握绝对值的几何意义
是解题的关键．
14．对于有理数 ， ， ， ，若 ，则称 和 关于 的“美好关联数”为 ，例
如，则 ，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1) 和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若 和2关于3的“美好关联数”为4，求 的值；
(3)若 和 关于1的“美好关联数”为1， 和 关于2的“美好关联数”为1， 和 关于3的
“美好关联数”为1，…， 和 的“美好关联数”为1，…．
① 的最小值为______；
② 的值为______．【答案】(1)8
(2) 或 ；
(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时
候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解： ，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ；
（3）解：①∵ 和 关于1的“美好关联数”为1，
∴ ，
∴在数轴上可以看作数 到1的距离与数 到1的距离和为1，
∴只有当 时，
有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
， 的最小值 ；
， 的最小值 ；
， 的最小值 ；
， 的最小值 ；， 的最小值 ；
∴ 的最小值：
．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
15．数轴上点A表示 ，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点
B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对
值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为 个单位长度．
动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速
度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从
点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点
时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当 秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离 为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段 上时，O、M两点间的和谐距离 __________（用含
有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离 __________（用含有t的代数式表示）；
__________时，M、N两点相遇；
(3)当 __________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当 __________时，
M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【答案】(1)12(2) ， ，
(3) 或 ；8或
【分析】（1）当 秒时，M表示的数是 ，N表示的数是 ，即的M、N
两点在折线数轴上的和谐距离 为 ；
（2）当点M、N都运动到折线段 上，即 时，M表示的数是 ，N表示
的数是 ，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得 ，可
解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得 ，可解得
或 ，由 时，M运动到O，同时N运动到C，可知 时，不存在M、O两点在折
线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当 ，即M在从点O运动
到点C时，有 ，可解得 或 ，当 时，M在从C运动到D，速
度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐
距离相等，即可得答案．
【详解】（1）当 秒时，M表示的数是 ，N表示的数是 ，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离 为 ，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，
∴当点M、N都运动到折线段 上，即 时，M表示的数是 ，N表示的
数是 ，
∴O、M两点间的和谐距离 ，C、N两点间的和谐距离
，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴ ，
解得 ，
故答案为： ， ， ；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
由（1）知， 时，M运动到O，同时N运动到C，
∴ 时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当 ，即M在从点O运动到点C时，
，即 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
当 时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和
谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故答案为： 或 ；8或 ．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨
论．
16．定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，
则这10个值的和的最小值是 ．
【答案】(1)① ， ， ， ；②见解析，一般规律为
(2)① ；②
【分析】（1）①根据定义 即可求解；②举例 ，通
过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于
，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：① ，
，
，
，
，
故答案为： ， ， ， ；
②例如： ，
，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为 ；
（2）解：①
；
②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于 ，
为偶数，
最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化
简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
17．已知 ，求 的最大值与最小值．
【答案】 的最大值为5,最小值为
【分析】分4种情况讨论：(1) , ；(2) , ；(3) , ；(4) , .分
别求出每种情况 的最大值与最小值，最后再综合起来找出 的最大值与最小值即可.
【详解】(1)当 , 时,有
∴ ；
(2)当 , 时,有
∴ 或 ；
∴ 或
(3)当 , 时,有 ，∴ ；
(4)当 , 时,有 ，∴ 或
∴ 或
综上,可得: 的最大值为5,最小值为 .
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键.
18．阅读：如图，已知数轴上有 、 、 三个点，它们表示的数分别是 ， ，8． 到 的
距离可以用 表示，计算方法： 表示的数8， 表示的数 ，8大于 ，用 ．用式
子表示为： ．根据阅读完成下列问题：(1)填空： ______， ______．
(2)若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒4个单位长度和9个
单位长度的速度向右运动，试探索： 的值是否随着时间 的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点 、 都从 点出发，点 以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点 移动6秒时，
点 才从 点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点 移动的时间为 秒 ，
写出 、 两点间的距离（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)10，16
(2)不会改变，见解析
(3)t或 或
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示 ，
的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边．
【详解】（1）解： ， ，
（2）解：不变，
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是 ， ， ，
所以： ， ，
所以： ，
所以 的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是 ， ，
当点Q追上点P时， ，
解得： ，
①当 时，点Q在还点A处，
所以： ，②当 时，点P在点Q的右边，
所以： ，
③当 时，点Q在点P的右边，
所以： ，
综上所述，P、Q两点间的距离为t或 或 ．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同
时渗透了分类讨论的数学思想．
