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专题 03 与绝对值有关的问题之五大题型
借着数轴化简绝对值
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求 ＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，
化简 ．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，
如图所示．(1)用“＞”或“＜”填空： 0， 0， 0；
(2)化简 ．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简： ；
(2)若 与 互为相反数，且 ，求（1）中式子的值．
绝对值非负性的应用
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如果 ，那么a，b的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1.（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中） ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．1
2.（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．3分类讨论化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知 、 、 均为不等式0的
有理数，则 的值为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若 ，则 ．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ；
（2）若 ，则 ＝ ；
（3）若 ，则 ．
利用几何意义化简绝对值
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示 和1两点之间的距离是_____；一般地，
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果 ，那么 ______；
(3)若 ， ，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距
离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于 与 之间，则 _____．
(5)当 _____时， 的值最小，最小值是_____．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为： ，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
③当a何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
解绝对值方程
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号 表示 的绝对值为2， 表示 的绝对值为2，如果 那么 或 ．
若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个整体，则可得 或 ，分别解
方程可得 或 ，利用上面的知识，解方程： ．
一、单选题
1．（2022上·河北唐山·七年级统考期末）已知 ，则 的值为（）
A．2019 B． C． D．1
2．（2023上·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且 ，则
（ ）
A． B． C．4 D．-23．（2022下·四川遂宁·七年级统考期末）方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·山东青岛·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数
式： （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 ，则 的值是 ．
6．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）有理数 在数轴上的位置如图，化简：
．
7．（2021上·广西南宁·七年级统考期中）已知 ， ， 都是不等于0的有理数，且 的
最大值是 ，最小值是 ，则 ．
三、解答题
8．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知有理数 ， ， ，且
．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简： ．9．（2022上·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简： ；
(2)若 与 互为相反数，且 ，求（1）中式子的值．
10．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与
形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点 、点 表示的数分
别为 、 ，则 、 两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．如图，
数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3．
(1)直接写出：线段 的长度是 ，线段 的中点表示的数为______；
(2) 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答： ，则 ： 有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，动点 在数轴上运动，若存在某个
位置，使得 ，则称点 是关于点 、 、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在
“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
11．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______．
(2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值．
12．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，
那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通
过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示 和3的两点A和B之间的距离是5，试求 的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．
