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专题 03 与绝对值有关的问题之五大题型
借着数轴化简绝对值
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求 ＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．
【分析】（1）根据 、 、 在数轴上的位置即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．
【详解】解：由数轴可知， ， ，则
（1） ， ， ．
故答案为： ， ， ；
（2） 、 互为相反数，
．
故答案为： ；
（3） ．【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断
出 、 、 的大小关系．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，
化简 ．
【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得： ，且
当 时
原式
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，
如图所示．
(1)用“＞”或“＜”填空： 0， 0， 0；
(2)化简 ．
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)0
【分析】（1）根据数轴上点的位置得出 ，再根据有理数的加减法法则判断即可；
（2）利用绝对值的意义化简即可．
【详解】（1）解：由图可得： ，且 ，
∴ ， ， ；（2）解： ， ， ，
．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理加减法，绝对值化简，关键是利用数轴
得出 ，且 ．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简： ；
(2)若 与 互为相反数，且 ，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉
绝对值，最后实现化简；
（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．
【详解】（1）由图可得 且
∴ ， ， ，
∴
∴
（2）∵ 与 互为相反数
∴
又∵ ，
∴∴
∴
∴原式
【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．
绝对值非负性的应用
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如果 ，那么a，b的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这
几个非负数都为0．
【变式训练】
1.（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中） ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得 的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵ ，∴
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性
质是解题的关键．
2.（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据 可知 ，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：由 得：
得：
故选：B
【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等
于零是解题关键．
分类讨论化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知 、 、 均为不等式0的
有理数，则 的值为 ．
【答案】3，-3，1，−1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时， =1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时， = =−1−1−1=−3；
(3)当a>0，b>0，c<0时， = =1+1−1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时， = =−1−1+1=−1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．
故答案为：3，-3，1，−1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若 ，则 ．
【答案】
【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， 或 ， ，
若 ， ，则 ；
若 ， ，则 ；
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ；（2）若 ，则 ＝ ；
（3）若 ，则 ．
【答案】（1）1， ；（2）1；（3）1或 ．
【分析】（1）根据 的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合 可知 即 ，化简即可；
（3）结合 可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合
（1），化简即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
（3）∵ ，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，，
当a、b、c中有三个负数时，
，
故答案为：1或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
利用几何意义化简绝对值
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示 和1两点之间的距离是_____；一般地，
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果 ，那么 ______；
(3)若 ， ，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距
离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于 与 之间，则 _____．
(5)当 _____时， 的值最小，最小值是_____．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3) ；
(4)
(5) ，
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据 表示数a的点到 与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：由数轴得
数轴上表示 和 的两点之间的距离是： ；
表示 和 两点之间的距离是： ；
故答案： ； ．
（2）解：由 得，
，
所以表示 与 距离为 ，
因为与 距离为 的是 或 ，
所以 或 ．
故答案： 或 ．
（3）解：由 ， 得，
， ，
所以表示 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，，
所以 或 ， 或 ，
当 ， 时，则A、B两点间的最大距离是 ，
当 ， 时，则A、B两点间的最小距离是 ，
故答案： ， ．
（4）解：
所以表示 与 的距离加上 与 的距离的和，
因为表示数a的点位于 与 之间，
所以 ，故答案： ．
（5）解：
，
所以表示 与 、 、 的距离之和，
①如图，当表示 的点在 的右侧时，即 ，
由数轴得：
，
所以 ，
所以 ；
②如图，当表示 的点在 和 的之间时，即 ，
由数轴得：
因为 ，
所以 ，
所以 ；
③如图，当表示 的点在 和 的之间时，即 ，由数轴得：
因为 ，
所以 ，
所以 ；
④当表示 的点在 或 或 的点上时，
即 或 或 ，
如图，当 时，
；
如图，当 时，
；
如图，当 时，
；
因为 ，
所以当表示 的点在 或 或 的点上时，仅当 时， 的最小值为 ；综上所述：当 ， 的最小值为 ．
故答案： ， ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距
离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为： ，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
③当a何值时， 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)① 或 ；②7；③当 时， 的值最小，最小值是7
【分析】（1）根据两点之间的距离 较大的数 较小的数可得结论；
（2）因为不确定 和 的大小关系，所以数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 ；
（3）①根据绝对值的意义可得： ，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并
即可；③分析得出 表示一点到 ，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示 和5的两点之间的距离是 ；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ；
（3）① ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
②∵数轴上表示数a的点位于 与2之间，
∴ ，
∴ ；
③ 表示一点到 ，1，2三点的距离的和，
∴当 时，该式的值最小，最小值为 ．
∴当 时， 的值最小，最小值是7．
【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对
值之间的关系，是解题的关键．
解绝对值方程
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；
（2）根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解： ，
；（2）解：
，
或 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1) 或
(2) 或
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得
出原方程的解；
（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程
的解；
（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或 ，然后解出方程，即可得出原方程
的解；
（4）首先对方程进行整理，得出 ，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出 或
，然后解出方程，即可得出原方程的解．
【详解】（1）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（2）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，∴原方程的解为： 或 ；
（3）解： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ；
（4）解： ，
整理，可得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正
数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号 表示 的绝对值为2， 表示 的绝对值为2，如果 那么 或 ．
若解方程 ，可将绝对值符号内的 看成一个整体，则可得 或 ，分别解
方程可得 或 ，利用上面的知识，解方程： ．
【答案】 或
【分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等．
【详解】解：移项得， ，
根据绝对值的意义，得 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可．一、单选题
1．（2022上·河北唐山·七年级统考期末）已知 ，则 的值为（）
A．2019 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．
【详解】解：∵
∴a+3=0，b-2=0，
∴ ，b=2，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数
的性质是解题的关键．
2．（2023上·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且 ，则
（ ）
A． B． C．4 D．-2
【答案】C
【分析】根据 判断 在数轴上的位置，从而判断 和 的正负性，通过绝对值的非负
性的解出答案.
【详解】解：
在数轴上 在 的左边， 的右边
，
为负数， 为正数故答案选：
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里面数的正
负性是解题的关键.
3．（2022下·四川遂宁·七年级统考期末）方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先去绝对值，得到 ，或 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，或 ，
∴ 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值方程的解，解题的关键是熟练掌握绝对值方程的解法．
4．（2022上·山东青岛·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数
式： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即
可求出值．
【详解】解：根据数轴上点的位置得： ，
， ， ，
则原式 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握各自的性质是
解本题的关键．二、填空题
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 ，则 的值是 ．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列式求出 的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，
， ，
， ，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数
都为0．
6．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）有理数 在数轴上的位置如图，化简：
．
【答案】 /
【分析】利用有理数 在数轴上的位置确定 ， 的符号，进而得到 的符号，
再利用绝对值的意义化简运算即可；
【详解】解：由有理数 在数轴上的位置可得：
原式
．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了数轴， 绝对值，实数的运算，利用有理数 在数轴上的位置确定
, 的符号是解题的关键
7．（2021上·广西南宁·七年级统考期中）已知 ， ， 都是不等于0的有理数，且 的
最大值是 ，最小值是 ，则 ．
【答案】0
【分析】）当a，b，c为正数时， 有最大值3，当a，b，c为负数时， 有最小
值-3，求得m、n值，从而可求解．
【详解】解：当a，b，c为正数时， 有最大值是3,
∴m=3，
当a，b，c为负数时， 的最小值是-3，
∴n=-3．
∴m+n=3-3=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论．
三、解答题
8．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知有理数 ， ， ，且
．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简： ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 ， ， ，且 ．即可求解．（2）先判断 、 、 的正负号，即可化简．
【详解】（1）解： ， ， ，且 ．
．
在数轴上将 ， ， 三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）解：根据数轴位置关系，可得： 、 、 ．
．
【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是 、 、 的正负性．
9．（2022上·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简： ；
(2)若 与 互为相反数，且 ，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉
绝对值，最后实现化简；
（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．
【详解】（1）由图可得 且
∴ ， ， ，
∴
∴
（2）∵ 与 互为相反数∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴原式
【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．
10．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与
形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点 、点 表示的数分
别为 、 ，则 、 两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．如图，
数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3．
(1)直接写出：线段 的长度是 ，线段 的中点表示的数为______；
(2) 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答： ，则 ： 有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，动点 在数轴上运动，若存在某个
位置，使得 ，则称点 是关于点 、 、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在
“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2) 或4；4
(3)存在； 或2
【分析】（1）数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段 的长度为4，线段 中点表示的数为1；
（2）按 或 或 化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按 或
或 分类讨论，求出在每种情况下 的值或取值范围，再进行比较，得出
结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按 或 或 分类讨论，根据
列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3，
∴ ， ，
∴线段 的长度为4，线段 中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
∴当 时，不存在x的值使 ；
当 时， ，
解得： ；
∴ 时， 或 ；
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的最小值为4；
故答案为： 或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解 ，∴ ，
解得： ，
∴点S表示的数为6，
当 时，由 得：
，
解得： ；
当 时，由 得：
，
解得： ；
当 时，由 得：
或 ，
解得： （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是 或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的
思想是解答本题的关键．
11．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知 ， 是有理数，当 时，则 _______；当 时，则 _______．
(2)已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， 是有理数，当 时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．
（2）由 可得 ，由根据 进而可求解．
（3）分四种情况讨论：①当 都是正数，即 时；②当 有一个为正
数，另两个为负数时，设 ；③当 有两个为正数，一个为负数时；④当
三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．【详解】（1）解：当 时，则 ，
当 ，则 ，
故答案为： ， ．
（2）已知 是有理数， ，
所以 ，且 中两正一负，
所以 ．
（3）由题意得： 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一
个负数或三个都为负数．
①当 都是正数，即 时，
则： ，
②当 有一个为正数，另两个为负数时，设 ，
则： ，
③当 有两个为正数，一个为负数时，
设 ，
则： ，
④当 三个数都为负数时，
则： ，
综上所述： 的值为 或 或 或
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝
对值等于它相反数是解题的关键．
12．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，
那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通
过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示 和3的两点A和B之间的距离是5，试求 的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】（1）7，3；（2） ；（3） 或 ；（4）①4②0或8③6，0
【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离 即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出 ， 的取值范围，然后计算
解题．
【详解】（1）② ；
③ ；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ，故答案为： ．
（3）∵
∴ ，
解得： 或 ；
（4）① ，
即 ，
解得： ；
故答案为：4．
②若 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
故答案为：8或0．
③由题可知 ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴代数式 的最大值是 最小值是 ，
故答案为：6，0．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数
形结合、从特殊到一般的数学思想结合解决问题．
