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专题02 有理数应用及数轴满分突破
考点1 有理数应用满分突破
1．（2021秋•文山市期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，
某天检修工从A地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）
+8，﹣9，+4，﹣7，﹣2，﹣10，+11，﹣3，+7，﹣5；
（1）收工时，检修工在A地的哪边？距A地多远？
（2）若每千米耗油0.3升，从A地出发到收工时，共耗油多少升？
【解答】解：（1）（+8）+（﹣9）+（+4）+（﹣7）+（﹣2）+（﹣10）+（+11）+
（﹣3）+（+7）+（﹣5）
＝8﹣9+4﹣7﹣2﹣10+11﹣3+7﹣5＝8+4+11+7﹣9﹣7﹣2﹣10﹣3﹣5＝30﹣36＝﹣6（千
米），
答：收工时，检修工在A地的西边，距A地6千米；
（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|﹣7|+|﹣2|+|﹣10|+|+11|+|﹣3|+|+7|+|﹣5|
＝8+9+4+7+2+10+11+3+7+5＝66（千米）
66×0.3＝19.8（升）
答：从A地出发到收工时，共耗油19.8升．
2．（2022春•崇明区校级期中）某股民上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下
表为本周内每日该股票的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 +4 +4.5 ﹣1 ﹣2.5 ﹣6 +2
（1）星期三收盘时每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
（3）已知该股民买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和
0.1%的交易税，如果他一直观望到星期六才将股票全部卖出，请算算他本周的收益如何？
【解答】解：（1）27+4+4.5+（﹣1）＝34.5（元），
答：星期三收盘时每股是34.5元；
（2）周一27+4＝31（元），
周二31+4.5＝35.5（元），
周三35.5﹣1＝34.5（元），
周四34.5﹣2.5＝32（元），周五32﹣6＝26（元），
周六26+2＝28（元）．
答：本周内最高价是每股35.5元；最低价是每股26元；
（3）28×1000﹣28×1000×（0.15%+0.1%）﹣1000×27×（1+0.15%）＝889.5（元）．
答：本周赚889.5元．
3．（贵港期末）有20箱橘子，以每箱25千克为标准质量，超过的千克数用正数表示，不
足的千克数用负数表示，结果记录如下：
与标准质量的差值 ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
（单位：千克）
箱数 1 4 2 3 2 8
（1）在这20箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
（2）与标准质量比较，20箱橘子总计超过或不足多少千克？
（3）若橘子每千克售价6.5元，则全部售完这20箱橘子共有多少元？
【解答】解：（1）2.5﹣（﹣3）＝5.5kg
答：最重的一箱比最轻的一箱重5.5kg．
（2）（﹣3×1）+（﹣2×4）+（﹣1.5×2）+（0×3）+（1×2）+（2.5×8）＝﹣3﹣8﹣
3+0+2+20＝8kg
答：20箱橘子的平均质量比标准质量超过8kg．
（3）（25×20+8）×6.5＝3302（元）
答：全部售完这20箱橘子共有3302元．
4．（四川期中）2020年“双十一”期间某淘宝商家提前搞促销活动，计划平均每天销售
某品牌学习机100台，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．如表
是双十一的一周销售倩况（超额记为正、不足记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +2 ﹣3 +25 +8 ﹣4 +2 ﹣6
（1）根据记录的数据，计算该店一周日销量最多比最少多多少台？
（2）本周实际销售总量达到了计划数量吗，通过计算说明理由．
（3）该店实行每日按销售台数计算工资，每销售一台学习机可得10元，若超额完成任
务，则超过部分每台另奖20元；少销售一台扣30元，那么该店铺的销售人员这一周的
工资总额是多少元？
【解答】解：（1）25﹣（﹣6）＝25+6＝31（台），答：该店一周日销量最多比最少多31台；
（2）2﹣3+25+8﹣4+2﹣6＝24＞0，
∴本周实际销量达到了计划数量；
（3）（100×7+24）×10+（2+25+8+2）×20+（﹣3﹣4﹣6）×30＝7590（元）．
答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是7590元．
5．（2021秋•遵化市期末）某灯具厂计划一天生产200盏景观灯，但由于各种原因，实际
每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，下表是某周的生产情况（增产
记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +3 ﹣5 ﹣2 +9 ﹣7 +12 ﹣3
（1）求该厂本周实际生产景观灯的盏数；
（2）求产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数；
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元，若超额完成任务，则超
过部分每盏另奖25元，若未能完成任务，则少生产一盏扣30元，那么该厂这一周应付
工资总额是多少元？
【解答】解：（1）3﹣5﹣2+9﹣7+12﹣3＝7（盏），
200×7+7＝1407（盏），
答：该厂本周实际生产景观灯的盏数是1407盏；
（2）12﹣（﹣7）＝19盏，
产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数是19盏；
（3）根据题意1407×50+25×（3+9+12）﹣30×（5+2+7+3）＝70440（元）
答：该厂这一周应付工资总额是70440元
考点2 数轴压轴满分突破
6.如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单
位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点
M、点N同时出发）
（1）数轴上点B对应的数是 ．
（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？
【解答】（1）∵OB＝3OA＝30，∴B对应的数是30．
故答案为：30．
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
此时点M对应的数为3x﹣10，点N对应的数为2x．
①点M、点N在点O两侧，则
10﹣3x＝2x，
解得x＝2；
②点M、点N重合，则，
3x﹣10＝2x，
解得x＝10．
所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
7．（2021秋•正阳县期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向
左移动4cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点．
（1）用1个单位长度表示1cm，请你在题中所给的数轴上表示出A、B、C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝ cm；
（3）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点以每秒1cm、5cm的速度向右移
动，设移动时间为t（t＞0）秒，试探究CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说
明理由．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）CA＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6（cm）；
故答案为：6．
（3）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA＝（4+5t）﹣（﹣2+t）＝6+4t，AB＝（﹣2+t）﹣（﹣6﹣3t）＝4+4t，
∴CA﹣AB＝（6+4t）﹣（4+4t）＝2，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．
8．（2022春•普陀区校级期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只
蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．
（1）运动 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 ；
（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：
2x+3x＝8﹣（﹣12），
解得：x＝4，
﹣12+2×4＝﹣4．
答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；
（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，
若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20，
解得：t＝2．
若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20，
解得：t＝6．
综上所述：t的值为2或6．
故答案为：4；﹣4．
9．（2021秋•邹平市校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左
侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速
度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q
同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
10．（2021秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，
﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度
也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 6 ； 运动1秒后线段AB的长为 ；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为 和 ；
（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t
的值； 若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，
运动1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，
∴AB＝﹣1+5＝4．
故答案为6，4．
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，
故答案为5t，3t．
（3）由题意：（5﹣3）t＝6，
∴t＝3．（4）由题意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，
解得t＝ 或 ，
∴t的值为 或 秒时，线段AB的长为5．
11．（2021秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P
从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 ；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同
时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发
生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．
故点P在数轴上表示的数是1；
故答案为：1；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC＝6x BC＝4x，AB＝10，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得x＝5，
∴点P运动5秒时，追上点R；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP＝ AP+ BP＝ （AP+BP）
＝ AB＝5．
②当点P运动到点B左侧时（如图②），
MN＝PM﹣PN＝ AP﹣ BP＝ （AP﹣BP）＝ AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．12．（江苏期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的
距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距
离是 ．
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示x和﹣3的两点
之间的距离表示为 ．若|x+3|＝4，则x＝ ．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝ ．
（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为
.则满足条件的所有整数x的和为 ．
（5）若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 ．
【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；
数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．
故答案为：4，5；
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；
数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；
若|x+3|＝4，
则x+3＝4或﹣4，
∴x＝1或﹣7，
故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；
（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几
何意义分析可知：
当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．
故答案为：5；
（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，解得：x＝﹣1，
此时不符合x＜﹣1，舍去；
当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，
此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，
解得：x＝3，
此时不符合x＞3，舍去．
∴x＝﹣1或0或1或2或3；
满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，
故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；
（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，
∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，
∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．
故答案为：3，6．
