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专题 02 反比例函数与一次函数综合
类型一、解不等式
例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数
y= （x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为
y=kx+b．
2
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请直接写出不等式kx+b﹣ ＜0的解集．
2
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴负半轴上，且点 的坐标为
， ，将 沿着 翻折得到 ，点 的对应点 恰好落在反比例函数 的图
象上，一次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)直接写出当 时，不等式 的解集．
【变式训练2】如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点 和
，与 轴交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)在 轴上求一点 ，当 的面积为3时，则点 的坐标为______．
(3)将直线 向下平移2个单位后得到直线 ，当函数值 时，求 的取值范围．
类型二、交点问题
例1．已知：如图1，点 是反比例函数 图象上的一点．
(1)求 的值和直线 的解析式；
(2)如图2，将反比例函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后，与 轴交于点 ，求线段 的长度；
(3)如图3，将直线 绕原点 逆时针旋转 ，与反比例函数 的图象交于点 ，求点 的坐标．
例2．如图，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，CD交y
轴于点M． ABD沿直线BD翻转，A点恰好落在y轴的点E处，BE交CD于点F．EM＝3，DM＝4．双曲
线过点C．△
(1)分别求出直线BE和双曲线的解析式；
(2)把直线BE向上平移n个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n的值．
例3.在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（2，a）．
(1)a＝ ，k＝ ；
(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别
交函数y＝ （x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝ （x＞0）的图象在点B，C之间的部
分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数 的图像交于点A（a，4－a）点
B（b，4－b），其中 ，与坐标轴的交点分别是C、D．
(1)求 的值；
(2)求直线l的函数表达式
(3)若 ，过点 作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数 的图象分别交于点E、F．
①当 时，求t的取值范围．
②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．类型三、定值、最值问题
例1．如图1，在平面直角坐标系中，点 绕原点顺时针旋转 至点B，恰好落在反比例函数
的图像上，连接OA，OB，过点B作 轴交于点C，点 是第一象限内双曲线上一动点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若 ，求P的坐标；
(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于 ，平面内有一点 ，PQ与GA的延长线交于
点H；
①若 ，求点H的坐标；
②当 时，记H的坐标为 ，试判断 是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，
说明理由．例2．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ．
(1)点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接 、 ，若四边形 为正方形．
①求 、 的值；
②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数 （ ）， （ ， ），
．(1)若 与 相交于点
①求 与 的值；
②结合图像，直接写出 时 的取值范围；
(2)在 轴上有一点 且 ，过点 作 轴平行线，分别交 、 、 于点 、 、 ，经计算发
现，不论 取何值， 的值均为定值，请求出此定值和点 的坐标．
【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形
（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么 为
此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将 沿着直线AB翻折，使点C落在点 上，求直线BC的坐标三角形的
面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是 ，直线AB上有一点P，使得 周长最小，且点P正
好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
