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专题 02 反比例函数与一次函数综合
类型一、解不等式
例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数
y= （x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为
y=kx+b．
2
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请直接写出不等式kx+b﹣ ＜0的解集．
2
【答案】(1)直线EF的解析式为y=- x+5
(2)
(3) 或x>6
【解析】（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为（3，2），
∴k=3×2=6，
1
∴反比例函数解析式为y= ；
把x=6代入y= ，得y=1，则F点的坐标为（6，1），
把y=4代入y= ，得x= ，则E点坐标为（ ，4），把F、E的坐标代入y=kx+b得 ，解得 ，
2
∴直线EF的解析式为y=- x+5；
（2） 的面积=S BCDO-S ODE-S OBF-S CEF
矩形
△ △ △
= = ．
（3）结合函数图象，写出直线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围，
即可得到不等式kx＋b－ <0的解，
2
因为E点坐标为（ ，4），F点的坐标为（6，1），则kx＋b－ <0解是： 或x>6．
2
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴负半轴上，且点 的坐标为
， ，将 沿着 翻折得到 ，点 的对应点 恰好落在反比例函数 的图
象上，一次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出当 时，不等式 的解集．
【答案】(1)反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 ；(2)
【解析】（1）解：如图，过点 作 轴于点 ，在 中， ， ， ，
由翻折可知 ， ， ， ， ，
， ，
， ， ， 点 的坐标为 ，
将点 的坐标代入反比例函数的解析式可得 ，解得 ，
故反比例函数的解析式为 ；
将点 ， 的坐标代入一次函数的解析式可得 ，解得 ，
故一次函数的解析式为 ；
（2）
解：联立得 ，解得 或 ，
点 的坐标为 ．
由图象可得当 时，不等式 的解集为 ．【变式训练2】如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于点 和
，与 轴交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)在 轴上求一点 ，当 的面积为3时，则点 的坐标为______．
(3)将直线 向下平移2个单位后得到直线 ，当函数值 时，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ；(2) 或 ；(3) 或
【解析】解：∵ 过点 ，
∴ ，
即反比例函数解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∵ 过 和 ，
可得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）如下图，设点P为一次函数 与x轴的交点，当 时，有 ，
∴点P的坐标为（-1，0），
设点N的坐标为（n，0），则 ，
∵
，
∴ ，
解得 或 ，
∴点N的坐标为 或 ．故答案为： 或 ；
（3）如图，设 与 的图像交于 、 两点，∵ 向下平移两个单位得 ，且 ，
∴ ，
将直线 解析式与反比例函数解析式联立，
得 ，解得 或 ，
∴ ， ，
在A、 两点之间或B、 两点之间时，存在 ，
∴当函数值 时， 的取值范围为 或 ．
类型二、交点问题
例1．已知：如图1，点 是反比例函数 图象上的一点．
(1)求 的值和直线 的解析式；
(2)如图2，将反比例函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后，与 轴交于点 ，求线段 的长
度；
(3)如图3，将直线 绕原点 逆时针旋转 ，与反比例函数 的图象交于点 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ； ；(2)4；(3)
【解析】解：把点A（4，n）代入 ，得 ；设直线OA为 ，把 代入，得
4k=2,解得： ，
∴直线OA的解析式为 ；
（2）
如图1，将y轴顺时针旋转45°，交 的图象于点N，
则OM＝ON，
直线ON的解析式为y = x，
由 ，解得： 或 （舍去）
∴点N（ ）
∴OM＝ON＝ ；
（3）
解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A，
1则OA=OA，AA⊥OB，
1 1
作AC⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，
1
易证 ，
∴OC=OD，AC=AD，
1
∵A的坐标为（4，2），
∴ 的坐标为 ，
∴直线AA 的解析式为： ，
1
∴直线OB的解析式为： ，
由 ，解得 或 （负解舍去）
∴点 ．
例2．如图，矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，CD交y
轴于点M． ABD沿直线BD翻转，A点恰好落在y轴的点E处，BE交CD于点F．EM＝3，DM＝4．双曲
线过点C．△
(1)分别求出直线BE和双曲线的解析式；
(2)把直线BE向上平移n个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n的值．
【答案】(1) ； ；(2)
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∵矩形ABCD的顶点A在x轴负半轴，B在x轴正半轴，D在第二象限，C在第一象限，EM＝3，DM＝4，如图，
∴ 轴，
∴在 中，
．
由折叠的性质可得 ， ．
∵在矩形ABCD中， ，
又 ，
∴四边形OMDA、四边形OMCB都是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
则 ．
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ．
设直线BE的解析式为 ，
把点 和点 的坐标代入得，
解得 ，
∴直线BE解析式为： ；
设反比例函数解 ，
把点 代入得 ，
∴双曲线的解析式为： ；
（2）
解：根据（1）得直线BE向上平移n个单位长度所得的直线为 ，
将它代入双曲线解析式得 ，
整理得 ．
∵平移后的直线与双曲线只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ， （不符合题意舍去），
故n的值为 ．
例3.在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（2，a）．
(1)a＝ ，k＝ ；
(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别
交函数y＝ （x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝ （x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．
【答案】(1)3；6；(2)①5
② 或
【解析】解：∵直线l：y＝ x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（2，a），
∴a＝ ×2＝3，
∴点A（2，3），
∵反比例函数y＝ 过点A，
∴k＝3×2＝6．
故答案为：3；6．
（2）
①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA，
∴A为OP中点，
∵A（2，3），
∴点P的坐标为（4，6），
将x＝4代入y＝ 中，得y＝ ，
将y＝6代入y＝ 中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴，
∴B（4， ），C（1，6），
如图所示：结合函数图象可知，区域W内有5个整点，
故答案为：5；
②当点P在点A下方时，如图，
结合函数图象可知，当 ≤m＜1时，区域W内有5个整点；
当点P在点A上方时，如图，结合函数图象可知，当 ＜m≤4时，区域W内有5个整点；
综上所述：当 ＜m≤4或 ≤m＜1，区域W内有5个整点．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数 的图像交于点A（a，4－a）点
B（b，4－b），其中 ，与坐标轴的交点分别是C、D．
(1)求 的值；
(2)求直线l的函数表达式
(3)若 ，过点 作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数 的图象分别交于点E、F．
①当 时，求t的取值范围．
②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)① ；② 或
【解析】解： 直线 与反比例函数 的图象交于点 ，点 ，
，
，
，
，
，
；
（2）
设直线 的解析式为 ，把 ，点 代入得，，
解得， ，
直线 的解析式为 ；
（3）
①当 时， ，
，
反比例函数的解析式为： ，
令 ，解得 或 ，
．
过点 ， 作平行于 轴的直线与直线 和反比例函数 的图象分别交于点 、 ，
， ， ，
当 时，点 在点 的左侧，
，整理得 ，方程恒成立；
当 或 时， ， 重合，则 ；
当 或 时， ，
整理得， ，解得 ，
或 ，
综上，当 时， 的取值范围为： ．
②如图，作直线 ， ， ， ，分别与反比例函数交于点 ， ， ， ，， ， ， ．
由图可知，若线段 上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），则 的取值范围为： 或
．
类型三、定值、最值问题
例1．如图1，在平面直角坐标系中，点 绕原点顺时针旋转 至点B，恰好落在反比例函数
的图像上，连接OA，OB，过点B作 轴交于点C，点 是第一象限内双曲线上一动点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若 ，求P的坐标；(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于 ，平面内有一点 ，PQ与GA的延长线交于
点H；
①若 ，求点H的坐标；
②当 时，记H的坐标为 ，试判断 是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，
说明理由．
【答案】(1) ；(2)点P的坐标为（1，2）或
(3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值．
【解析】解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠AHO=90°，
∴∠HAO+∠AOH=90°，
∵BC⊥x轴，
∴∠BCO=90°，
∴∠AHO=∠BCO，
∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B，
∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1，
∴∠AOH+∠BOC=90°，
∴∠HAO=∠BOC，
∴△AHO≌△OCB（AAS），
∴OC=AH=2，BC=OH=1，
∴点B坐标为（2，1），
将点B坐标代入反比例函数 ，
得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式： ；
（2）设点P坐标为（p， ），
则S POC＝ ×2× = ，
△
当点P在点B左侧的双曲线上，
S PBC＝ ×1×(2−p) ，
△
∵S POC=4S PBC，
△ △
∴ =4× ，
解得p=p=1，
1 2
∴点P坐标为（1，2）；
当点P在点B右侧的双曲线上，
S PBC＝ ×1×(p−2)= ，
△
∵S POC=4S PBC，
△ △
∴ =4× ，
解得 （不符合题意，舍去），
∴点P坐标为 ，
∴符合条件的点P坐标为（1，2）或 ；
（3）
①当m=2时，
根据题意，可得mn=2，
即2n=2，
∴n=1，
∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3），
设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A和点G坐标代入解析式，
得 ，
解得 ，
∴直线AG的解析式为y=3x+5，
设直线PQ的解析式为 ，
将点P和点Q坐标代入解析式，
得 ，
解得 ，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+5，
联立 ，
解得 ，
∴点H坐标为（0，5）；
②（a+2）（b-4）是定值，
∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2），
设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0），
代入点A和点G的坐标，得 ，解得 ，∴直线AG的解析式为 ，
设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0），
代入点P和点Q坐标，得 ，解得 ，∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n，联立 ，解得 ，∴点H（m-2，n+4），
∵记H的坐标为（a，b），∴a=m-2，b=n+4，∴（a+2）（b-4）=mn，
∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点，∴mn=2，
∴（a+2）（b-4）=2．
例2．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ．
(1)点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接 、 ，若四边形 为正方形．
①求 、 的值；
②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标．
【答案】(1)点 在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)① ， ；②点 的坐标为
【解析】解：点 在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，
设点 的坐标为 ，
点 关于直线 的对称点为点 ，
， 平分 ，连接 交 于 ，如图所示：
，
轴于 ，
轴， ，
，
，
，
在Rt 中， ，
，
为 边 上的中线，即 ，
，
，
，
点 在这个反比例函数的图像上；
（2）
解：① 四边形 为正方形，
， 垂直平分 ，
，
设点 的坐标为 ， ， ， ， （负值舍去）， ， ，
把 ， 代入 得 ， ；②延长 交 轴于 ，如图所示：
， ， 点 与点 关于 轴对称，
，则点 即为符合条件的点，
由①知， ， ， ， ，
设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，故当 最大时，点 的坐标为 ．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数 （ ）， （ ， ），
．
(1)若 与 相交于点
①求 与 的值；
②结合图像，直接写出 时 的取值范围；(2)在 轴上有一点 且 ，过点 作 轴平行线，分别交 、 、 于点 、 、 ，经计算发
现，不论 取何值， 的值均为定值，请求出此定值和点 的坐标．
【答案】(1)①m的值为-2，k的值为-4．②0＜x＜2．
(2) =6，点B的坐标为（1，3）
【解析】解：（1）①∵y 与y 图象相交于点A（2，m），
2 3
∴把A（2，m）分别代入 和 ，
得 ，解得 ．
∴m的值为-2，k的值为-4．
② ，y=-4x+6，A（2，-2），
3
根据图象可知，y＜y 时，0＜x＜2．
2 3
（2）
∵P（a，0），a＞0，
∴
∴ ，
BC-BD
．
∵不论k取何值，BC-BD的值均为定值，
∴ ，
解得a=1或a=-1（舍去）．
∴此定值为6，点B的坐标为（1，3）．
【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么 为
此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将 沿着直线AB翻折，使点C落在点 上，求直线BC的坐标三角形的
面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是 ，直线AB上有一点P，使得 周长最小，且点P正
好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
【答案】(1)84
(2)
(3)
【解析】（1）∵将 代入 ，得： ，
∴点B（0，-7），
∴ ，
又∵点D（0，18），即 ，
∴ ，
由翻折的性质可得： ，
在Rt BOC中，由勾股定理可得： ，
△
∴直线BC的坐标三角形的面积 ；
（2）设 ， ，
∵在Rt AOB中，由勾股定理可得： ，即 ，
△
解得： ，
∴点A（ ，0），
∵将点A（ ，0）代入 ，得： ，
∴ ，
（3）
如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴ ，
∴ ，
∴当点P、C、E在一条直线上时， 有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时， DPE的周长最小，
设直线CE的解析式 ， △
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得： ，解得： ，
∴直线CE的解析式 ，
联立 ，
解得： ，
∴点P（-9，5），
设反比例函数解析式为 ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ．
