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专题 02 平方根与立方根的六种考法全攻略
类型一、平方根的非负性
例1．已知 ，则 的平方根为____________．
【答案】
【详解】解： ，
，
，
，
．
故 的平方根为 ．
故答案为： ．
例2．若 ，则 的值为______．
【答案】
【详解】解：∵ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练1】当 时，化简 的结果为_________________．【答案】2
【详解】解： ，
又 ，
原式 ．
故答案为：2．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋ ＝0，则（x＋y）2的平方根为_______．
【答案】±4
【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，
则（x+y）2＝（3+1）2＝16，
所以（x+y）2的平方根为±4．
故填：±4．
【变式训练3】已知 与 互为相反数，求 的平方根．
【答案】 的平方根为±3．
【详解】∵ 与 互为相反数，∴ + =0，
∴a=27，b=36，∴ =3+6=9，
∴ 的平方根为±3．
【变式训练4】若 ，其中a，b均为整数，则 ______．
【答案】0，2，4
【详解】解：∵ ，其中a，b均为整数，
又∵ ，
①当 ， 时，
∴ ，
∴
②当 ， 时，
∴ 或 ，
∴ 或
③当 ， 时，
∴ 或 ，
∴ 或
故答案为：4或2或0类型二、利用数轴化简根式
例．已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： 的结果
是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【详解】解：观察数轴可知： ，
， ， ， ，
．
故选A．
【变式训练1】已知：如图，化简代数式 ______
【答案】
【详解】解：由数轴得 ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
【变式训练2】（1）填空： __________； __________；
（2）猜想： __________；
（3）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【答案】（1）5；5；（2） ；（3）【详解】解：（1） ； ；
故答案为：5；5；
（2）当 时， ；
当 时， ；
，
∴
故答案为： ；
（ ）由数轴得： ，且 ，
3 ， ，
∴
∴
．
【变式训练3】若实数 、 、 依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【答案】
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
．
【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：
．【答案】
【详解】解：由数轴可知，a0，c−a>0，
∴
．
类型三、探究性规律问题
例1．观察下列有规律的一组等式：
，即 ； ，即
．
(1)猜想： ______， ______．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含 （ 为正整数）的式子表示这一
规律，并验证所写式子的正确性．
【答案】(1)
(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，
，验证见解析
【详解】（1）解：由给定的等式猜想得： ；
故答案为： ；
（2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的
平方加1，
用一个含 （ 为正整数）的式子可表示为： ；
理由如下：
．
例2．(1)已知 , ， ，则 ____；(2)已知 , ， ，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向
___移动____位；
(4)如果 ，则 ___， ____．
【答案】（1）300；（2）0.04；（3）左(或右)，1；（4）10a，
【解析】解：（1）已知 ， ， ，则
300；
（2）已知 ， ， ，则 0.04；
（3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点
则向左（或右）移动1位；（4）如果 ，则 10a， ，
故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a； ．
【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如 等，有些数则不能直
接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用
规律求得，请你观察下表：
a … 0.04 4 400 40000 …
… x 2 y z …
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时， ＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知 ，则① ≈ ；② ≈ ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得： ．
故答案为 ．
（2）解：当 （n为整数）时， ．故答案为 ．
（3）解：若 ，则① ；② ．
故答案为： ．
【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规
律：
a 0.0036 0.36 36 3600
___________ ___________ ___________ ___________
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知： 2.775， 8.775.则 ___________， ___________；
② 已知： 5.385，若 53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【答案】(1) 0.06 0.6 6 60
(2) 87.75 0.02775 2900
(3)被开方数小数点每向右（左）移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，
反之亦然
【详解】（1）因为 ， ， ， ，
故答案为：0.06，0.6，6，60．
（2）①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700，
所以算术平方根的小数点向右移动1位，
因为 ．
所以 ；
因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077，
所以算术平方根的小数点向左移动2位；
因为 ，
所以 0.02775，
故答案为：87.75，0.02775．
②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85，
所以被开方数小数点向右移动2位，
因为 ，
所以 ，
故x=2900，
故答案为：2900．（3）根据前面的解答，发现规律如下：
被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦
然．
【变式训练3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
① ，
② ，
③ ，
④ ．
(1)观察算式规律，计算 ＝______； ＝______．
(2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律并证明．
【答案】(1)6，27
(2) ，证明见解析．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为6，27；
（2）通过观察可得规律式： ；
证明：
∵ n为正整数
∴
∴
【变式训练4】为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算
术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表 ．
第 第
第 组 第 组 第 组 第 组 第 组
组 组
______ ______ ______
(2)请你仿照表 中的规律，将表 补充完整．
表 ．第 第
第 组 第 组 第 组 第 组
组 组
______ ______ ______
(3)通过表 和表 ，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第 组、第 组、第 组、第 组中的被开方数和结
果，再观察第 组、第 组、第 组中的被开方数和结果）．
【答案】(1) ； ；
(2) ； ；
(3)被开方数的小数点向左或向右移动 位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动
位．
【解析】（1）
解：根据题意，得 ．
故答案为： ； ； ．
（2）
解：已知 ，
， ．
已知 ，
．
故答案为： ； ； ．
（3）解：通过观察表 和表 可发现，被开方数的小数点向左或向右移动 位，算数平方
根的小数点就随之向左或向右移动 位．
类型四、整数部分问题
例1．已知 ．若 为整数且 ，
则 的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故选B．
例2定义 为不大于x的最大整数，如 ， ， ，则满足 ，则
的最大整数为__________．
【答案】35
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大整数为35．
故答案为：35．
【变式训练1】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 _________， _________．
【答案】
【详解】解： ，
，
则 ．
故答案是：3， ．
【变式训练2】已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 是 的整数部分，
求 的平方根．
【答案】
【详解】解：∵ 的算术平方根是 ； 的平方根是 ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ 是 的整数部分， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 的平方根是 ．
∴ 的平方根为 ．
【变式训练3】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道 是无理数，而且 ，
即 ，无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，
于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示
方法是有道理，因为 的整数部分是 ，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵ ，即 ，∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ．②∵ ，即 ，∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ．
请解答：
如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值；
【答案】1
【详解】∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 ，即
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为4，即b=4．
∴ ，
即 的值是1．
【变式训练4】如图，每个小正方形的边长均为 ，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3） 为阴影正方形边长的小数部分， 为 的整数部分，求 的值．
【答案】（1）13， ；（2）不大于 的所有正整数为：1，2，3；（3）
【详解】解：（1）阴影部分面积为： ，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为： ，
故答案为：13， ．
（2）不大于 的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ．类型五、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为
800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通
过计算说明．
【答案】不能．理由见解析
【详解】不能．理由如下：
正方形纸片的边长为： ＝30（cm），
设裁出的纸片的长为5acm，宽为4acm，
则：5a•4a＝800，解得：a＝2 ，
∴5a＝10 ＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣ ）x的值．
【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2） ；（3）4
【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为 ，
∵4＜6＜9，∴2＜ ＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为 ，宽为（3﹣ ）的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝ ．
（3）∵小正方形的边长为 ，∴x＝2，y＝ ，
∴原式＝ ，＝4.
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无
理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
（2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正
方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它
们的大小．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②见解析，
【详解】解：设正方形边长为a，
∵a2=2， ∴a= ，
故答案为： ， ；
（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b， ∴b2=5， ∴b=± ，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示
的数为-3+ ，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，∴比较大小： ．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式 来估计，
其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到
0.1h）
（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到
0.01km）
【答案】（1）0.5h；（2）9.65km
【详解】（1） ．
这场雷雨大约能持续0.5h．
（2）
类型六、平方根与立方根的综合运用
例．如果 为 的算术平方根， 为 的立方根，求 的
平方根与立方根．
【答案】 的平方根为 ，立方根为1
【详解】解： 为 的算术平方根，
，
．
为 的立方根，
，
．
，
， ，
的平方根为 ，立方根为1．
【变式训练1】已知2的平方等于 ， 是27的立方根， 表示3的平方根．(1)求 ， ， 的值；
(2)求多项式： ．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ．
【详解】（1）解：由2的平方等于 ， 是27的立方根， 表示3的平方根可
得
， ，
解得 ， ， ；
（2）解：将 ， ， 代入 ，可得
．
【变式训练2】计算下列各题，
(1)已知 的平方根为 ， 的算术平方根为4，求 的立方根；
(2)已知 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解：∵ 的平方根为 ，
∴ ，即 ，
∵ 的算术平方根为4，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的立方根是 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，且 ，
当 时， ；
当 时， ．
【变式训练3】已知 的平方根是 ， 的立方根是2， ．
（1）求 的值；
（2）求 的算术平方根．
【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2） 或3．【详解】解：（1）∵ 的平方根是 ， 的立方根是2
∴a=5，2b+4=8，即b=2
∵
∴c=1或c=0
∴a=5、b=2、c=1或c=0；
（2）当c=1时， =
当c=0时， =3；
∴ 的算术平方根为 或3．
