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专题02模型方法课之截长补短解题方法专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，
AB＝CD，BF＝ ，则AD的长为________．
二、解答题
2．如图， 中， ， 分别平分 和 ， ， 相交于点 ，
．
（1）求 的度数；
（2）判断 ， ， 之间的等量关系，并证明你的结论．
3．已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点， ，BD=DC，
，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N．
（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数
量关系；
（2）当点M、N在边AB、AC上，且DM DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成
立，请证明；
（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之
间的数量关系．
14．在四边形 中， 是 边的中点．
（1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满
足的数量关系为______；（直接写出答案）
（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、
、 、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
5．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE BC，且DE=DB，点
F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG ∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=
；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：
_____________．
6．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，
请补充完整．
2（解决问题）
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上， ，连接EF，则
，试说明理由．
证明：延长CD到G，使 ，
在 与 中，
∴ 理由：（SAS）
进而证出： ___________，理由：（__________）
进而得 ．
（变式探究）
如图，四边形ABCD中， ， 点E、F分别在边BC、CD上，
．若 、 都不是直角，则当 与 满足等量关系________________
时，仍有 ．请证明你的猜想．
（拓展延伸）
如图，若 ， ， ，但 ， ，
连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．
37．阅读题：如图1， 平分 ，以 为圆心任意长为半径画弧，交射线 ，
于 ， 两点，在射线 上任取一点 （点 除外），连接 ， ，可证
，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在 中， ， 平分 交 于点 ，试判断 与
、 之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形 中， 平分 ， ， ，
，求 的面积．
8．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝
∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、
FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明
ABE≌ ADG，再证明 AEF≌ AGF，可得出结论，他的结论应是______________；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分
4别是BC，CD上的点，且∠EAF ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°
的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接
到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东
50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到
达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
9．在 中， ，点D、E分别在 、 上，连接 、 和 ；
并且有 ， ．
（1）求 的度数；
（2）求证： ．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，
∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．
11．如图， ， 、 分别平分 、 ， 与 交
于点O．
（1）求 的度数；
（2）说明 的理由．
12．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，
5求证：MB－MC＜AB－AC．
13．如图所示，已知AC平分∠BAD， ， 于点E，判断AB、
AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
14．如图所示， 平分 平分 ；
（1）求 与 的数里关系，并说明你的理由．
（2）若把 条件去掉，则（1）中 与 的数里关系还成立吗?并说明
你的理由．
15．如图， 是边长为1的等边三角形， ， ，点 ， 分
别在 ， 上，且 ，求 的周长．
616．已知， ，分别在边 ， 上取点 ， ，使 ，过点 平行
于 的直线与过点 平行于 的直线相交于点 ．点 ， 分别是射线 ， 上
动点，连接 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）如图 ，当点 ， 分别在线段 ， 上，且 时，请求出线段 ，
， 之间的等量关系式；
（3）如图 ，当点 ， 分别在 ， 的延长线上，且 时，延长
交 于点 ，延长 交 于点 ．请猜想线段 ， ， 之间的等量关系，
并证明你的结论．
17．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把
四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
7（1）如图1，在四边形 中， ， ，连接 ．
①小明发现，此时 平分 ．他通过观察、实验，提出以下想法：延长 到点
，使得 ，连接 ，证明 ，从而利用全等和等腰三角形的
性质可以证明 平分 ．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当 时，请你判断线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰 、等腰 的顶点分别为 、 ，点 在线段 上，且
，请你判断 与 的数量关系，并证明．
18．在平行四边形 中， 于 ， 于 ， 为 上一动点，连
接 ， 交 于 ，且 ．
（1）如图1，若 ，求 、 的长；
（2）如图2，当 时，求证： ；
（3）如图3，若 ，点 是直线 上任一点，将线段 绕 点逆时针旋转
60°，得到线段 ，请直接写出 的最小值_____．
19．问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是 上的任意一点，连结
PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?
8（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，
∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明
△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是
；
（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余
条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，
则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是 ．（直接写出结果）
20．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
9（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝
90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6 ，AD＝4 ，tan∠ABC＝2时，
求CQ＋ BQ的最小值．
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