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专题 02 经典考点之动点与数轴的融合（五大考
点）
实战训练
一．跳蚤类-点的跳动
1．如图，一电子跳蚤在数轴的点P 处，第一次向右跳1个单位长度到点P 处，第二次向左跳2个
0 1
单位长度到点P 处，第三次向右跳3个单位长度到点P 处，第四次向左跳4个单位长度到点P
2 3 4
处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P 在数轴上表示的数为（ ）
0
A．﹣5 B．0 C．5 D．10
2．一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A 处，第二次
1
从点A 跳动到OA 的中点A 处，第三次从点A 跳动到OA 的中点A 处，如此不断跳动下去，
1 1 2 2 2 3
A A的长度是（ ）
61 1 1 1
A．1− B．1− C．1− D．1−
7 12 32 64
3．点P从原点向距离原点左侧1个单位的A点处跳动，第一次跳动到OA的中点A 处，第二次从
1
A 点跳动到AA 的中点A 处，第三次从A 点跳动到AA 的中点A 处，如此不断跳动下去，则第
1 1 2 2 2 3
6次跳动后，P点表示的数为 ．
4．一只青蛙从位于数轴上表示数a 的点开始，每次向左或向右跳一步，每步一个单位长，跳第 k
0
步后落在表示数a 的点，经过n次跳动的落点依次表示数a ，a ，a ，…，a ，若a ＝9，a ＝
k 1 2 3 n 0 2015
2022，则a ＝ ．
2010
二．折叠类---可用中点公式（距离公式）（
5．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请
你回答以下问题：
（1）表示数﹣2的点与表示数 的点重合；表示数7的点与表示数 的点重合．
（2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后
重合，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ；
（3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？
6．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B
两点表示的数是多少？
7．在下面给出的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，回答下面的问题：
（1）A、B之间的距离是
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是： ；
（3）若将数轴折叠，使点A与﹣3表示的点重合，则点B与数 表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折
叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：
M： N： ．
8．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 A表示﹣10，
点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出
发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来
的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向
运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
三．两点距离类
9．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，
以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝ ；PC＝ ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，
当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t＝ ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒．
②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．
10．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速
度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 ；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，
问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？
若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
1
11．已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是数轴上的
2
一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次
向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？
若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．
12．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0．
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
（2）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒
的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），
①当t＝1时，甲小球到原点的距离为 ；乙小球到原点的距离为 ；当t＝3时，甲
小球到原点的距离为 ；乙小球到原点的距离为 ；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，
乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
13．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不
存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以
6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
四．新定义
14．在数轴上，若点C到点A的距离刚好是2个单位长度，则把C点叫做A点的“美好点”，若C
点到A、B两点的距离之和为4个单位长度，则把C点叫做A、B两点的“美好中心”．
（1）若A点表示的数为﹣1，则A点的美好点所表示的数应该是 ；
（2）如图，M、N为数轴上两点，M点所表示的数为3，N点所表示的数为﹣1，C点是M、N
两点的美好中心，则C点所表示的数可以是 （填一个即可）．
15．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称
点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点
B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B
的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出
【N，M】美好点H所表示的数是 ．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，
P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？16．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么
我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点
B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的
距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 所表示的点是{M，N}的奇点；数 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点
P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一
个点为其余两点的奇点？
17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），
在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q是n的最佳分解．
p
并规定：F（n）= ．
q
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，
3
所以F（12）= ．
4
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十
位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，
求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
18．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，
B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距
离是1，那么点C是【A，B】的好点．
知识运用：
（1）如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D 【A，B】
的好点；（请在横线上填是或不是）
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数 所
对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
拓展提升：
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电
子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点 A停止．当经过几秒时，P、A
和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
19．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n
的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q（p≤q）是n的最佳分解，并规定F
p 3 1
（n）
= ．例如：18可以分解成1×18，2×9，3×6，这时就有F（18） = = ．结合以上信息，给
q 6 2
出下列关于F（n） 的说法：1
①F（2） = ；
2
3
②F（24） = ；
8
1
③F（27） = ；
3
④若n是一个整数的平方，则F（n） ＝1．
其中正确的说法有 ．（只填序号）
五．线段和差类
20．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB
的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然
后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝ cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为
；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．
设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
21．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越
往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点
N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m﹣n．
如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出
发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以
每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR﹣OP+mOR为定值，若存在，请求出
m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，
OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离）
